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Theorem cicsym 17751
Description: Isomorphism is symmetric. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cicsym ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅)

Proof of Theorem cicsym
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cicrcl 17750 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2 ciclcl 17749 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3 eqid 2733 . . . . 5 (Isoβ€˜πΆ) = (Isoβ€˜πΆ)
4 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
5 simpl 484 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
76adantl 483 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
8 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
98adantl 483 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
103, 4, 5, 7, 9cic 17746 . . . 4 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)))
11 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
124, 11, 5, 7, 9, 3isoval 17712 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) = dom (𝑅(Invβ€˜πΆ)𝑆))
134, 11, 5, 9, 7invsym2 17710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ β—‘(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) = (𝑅(Invβ€˜πΆ)𝑆))
1413eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑅(Invβ€˜πΆ)𝑆) = β—‘(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
1514dmeqd 5906 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ dom (𝑅(Invβ€˜πΆ)𝑆) = dom β—‘(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
16 df-rn 5688 . . . . . . . . . 10 ran (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) = dom β—‘(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)
1715, 16eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ dom (𝑅(Invβ€˜πΆ)𝑆) = ran (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
1812, 17eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) = ran (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
1918eleq2d 2820 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) ↔ 𝑓 ∈ ran (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)))
20 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
21 elrng 5892 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ V β†’ (𝑓 ∈ ran (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) ↔ βˆƒπ‘” 𝑔(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)𝑓))
2220, 21mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑓 ∈ ran (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) ↔ βˆƒπ‘” 𝑔(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)𝑓))
2319, 22bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) ↔ βˆƒπ‘” 𝑔(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)𝑓))
24 df-br 5150 . . . . . . . 8 (𝑔(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)𝑓 ↔ βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∈ (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
2524exbii 1851 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘” 𝑔(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)𝑓 ↔ βˆƒπ‘”βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∈ (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
26 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
2726, 20opeldm 5908 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∈ (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) β†’ 𝑔 ∈ dom (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
284, 11, 5, 9, 7, 3isoval 17712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅) = dom (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅))
2928eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ dom (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) = (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅))
3029eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑔 ∈ dom (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) ↔ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅)))
315adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
329adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
337adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅)) β†’ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅))
353, 4, 31, 32, 33, 34brcici 17747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅)) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅)
3635ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑅) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
3730, 36sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑔 ∈ dom (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
3827, 37syl5com 31 . . . . . . . . 9 (βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∈ (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
3938exlimiv 1934 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘”βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∈ (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
4039com12 32 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘”βŸ¨π‘”, π‘“βŸ© ∈ (𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
4125, 40biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔(𝑆(Invβ€˜πΆ)𝑅)𝑓 β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
4223, 41sylbid 239 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
4342exlimdv 1937 . . . 4 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
4410, 43sylbid 239 . . 3 ((𝐢 ∈ Cat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
4544impancom 453 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ ((𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅))
461, 2, 45mp2and 698 1 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Catccat 17608  Invcinv 17692  Isociso 17693   ≃𝑐 ccic 17742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-sect 17694  df-inv 17695  df-iso 17696  df-cic 17743
This theorem is referenced by:  cicer  17753  initoeu2  17966
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