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Theorem cictr 17731
Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
cictr ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)

Proof of Theorem cictr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ciclcl 17728 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2 cicrcl 17729 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
31, 2jca 512 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆) β†’ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
43ex 413 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 β†’ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))))
5 cicrcl 17729 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
65ex 413 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
74, 6anim12d 609 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))))
873impib 1116 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))
9 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Isoβ€˜πΆ) = (Isoβ€˜πΆ)
10 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
11 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
12 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1312adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
14 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
169, 10, 11, 13, 15cic 17725 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)))
17 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
189, 10, 11, 15, 17cic 17725 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ (𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇 ↔ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇)))
1916, 18anbi12d 631 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) ↔ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) ∧ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇))))
2011adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2113adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2217adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
23 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
2415adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
25 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆))
26 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇))
2710, 23, 9, 20, 21, 24, 22, 25, 26isoco 17703 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘…, π‘†βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑇)𝑓) ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑇))
289, 10, 20, 21, 22, 27brcici 17726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) ∧ (𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)))) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)
2928ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆)) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇))
3029ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)))
3130exlimiv 1933 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) β†’ (𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)))
3231com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)))
3332exlimiv 1933 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) β†’ (βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)))
3433imp 407 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) ∧ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇)) β†’ ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇))
3534com12 32 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑅(Isoβ€˜πΆ)𝑆) ∧ βˆƒπ‘” 𝑔 ∈ (𝑆(Isoβ€˜πΆ)𝑇)) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇))
3619, 35sylbid 239 . . . . 5 ((𝐢 ∈ Cat ∧ ((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ))) β†’ ((𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇))
3736ex 413 . . . 4 (𝐢 ∈ Cat β†’ (((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ ((𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)))
3837com23 86 . . 3 (𝐢 ∈ Cat β†’ ((𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ (((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)))
39383impib 1116 . 2 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ (((𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇))
408, 39mpd 15 1 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑆 ∧ 𝑆( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇) β†’ 𝑅( ≃𝑐 β€˜πΆ)𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4625   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  compcco 17188  Catccat 17587  Isociso 17672   ≃𝑐 ccic 17721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-supp 8126  df-cat 17591  df-cid 17592  df-sect 17673  df-inv 17674  df-iso 17675  df-cic 17722
This theorem is referenced by:  cicer  17732  nzerooringczr  46604
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