Theorem cicref 17763

Description: Isomorphism is reflexive. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cicref	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑂)

Proof of Theorem cicref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
4		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
6	2, 5, 3, 4	idiso 17750	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → ((Id‘𝐶)‘𝑂) ∈ (𝑂(Iso‘𝐶)𝑂))
7	1, 2, 3, 4, 4, 6	brcici 17762	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  Catccat 17625  Idccid 17626  Isociso 17708   ≃_𝑐 ccic 17757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-cat 17629  df-cid 17630  df-sect 17709  df-inv 17710  df-iso 17711  df-cic 17758

This theorem is referenced by:  cicer  17768  cicerALT  49035