Theorem cicref 17725

Description: Isomorphism is reflexive. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cicref	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑂)

Proof of Theorem cicref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
4		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
6	2, 5, 3, 4	idiso 17712	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → ((Id‘𝐶)‘𝑂) ∈ (𝑂(Iso‘𝐶)𝑂))
7	1, 2, 3, 4, 4, 6	brcici 17724	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Catccat 17587  Idccid 17588  Isociso 17670   ≃_𝑐 ccic 17719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-cat 17591  df-cid 17592  df-sect 17671  df-inv 17672  df-iso 17673  df-cic 17720

This theorem is referenced by:  cicer  17730  cicerALT  49287