Theorem cicref 17896

Description: Isomorphism is reflexive. (Contributed by AV, 5-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cicref	⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑂)

Proof of Theorem cicref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
4		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐶))
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
6	2, 5, 3, 4	idiso 17883	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → ((Id‘𝐶)‘𝑂) ∈ (𝑂(Iso‘𝐶)𝑂))
7	1, 2, 3, 4, 4, 6	brcici 17895	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑂( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  Catccat 17758  Idccid 17759  Isociso 17841   ≃_𝑐 ccic 17890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-cat 17762  df-cid 17763  df-sect 17842  df-inv 17843  df-iso 17844  df-cic 17891

This theorem is used by:  cicer  17901  cicerALT  49980