Theorem cdleme00a 40833

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme00a	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑅 ≠ 𝑃)

Proof of Theorem cdleme00a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp23 1222	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simp21 1220	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp22 1221	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		simp3 1151	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
6		cdleme0.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		cdleme0.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		cdleme0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	6, 7, 8	atnlej1 40003	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑅 ≠ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	syl131anc 1402	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑅 ≠ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  lecple 17293  joincjn 18343  meetcmee 18344  Atomscatm 39887  HLchlt 39974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-lub 18376  df-join 18378  df-lat 18464  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975

This theorem is referenced by:  cdleme11h  40890  cdleme11j  40891  cdleme11k  40892