Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq3 36220
Description: Two translations agree at any atom not under the fiducial co-atom 𝑊 iff they are equal. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd.l = (le‘𝐾)
cdlemd.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrneq3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ltrneq3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1243 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2l 1298 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹𝑇)
3 simpl2r 1300 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐺𝑇)
4 simpl3 1247 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simpr 478 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
6 cdlemd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 cdlemd.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9cdlemd 36219 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)
111, 2, 3, 4, 5, 10syl311anc 1504 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)
12 fveq1 6408 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
1312adantl 474 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
1411, 13impbida 836 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4841  cfv 6099  lecple 16270  Atomscatm 35275  HLchlt 35362  LHypclh 35996  LTrncltrn 36113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-map 8095  df-proset 17239  df-poset 17257  df-plt 17269  df-lub 17285  df-glb 17286  df-join 17287  df-meet 17288  df-p0 17350  df-p1 17351  df-lat 17357  df-clat 17419  df-oposet 35188  df-ol 35190  df-oml 35191  df-covers 35278  df-ats 35279  df-atl 35310  df-cvlat 35334  df-hlat 35363  df-llines 35510  df-psubsp 35515  df-pmap 35516  df-padd 35808  df-lhyp 36000  df-laut 36001  df-ldil 36116  df-ltrn 36117  df-trl 36171
This theorem is referenced by:  cdlemn3  37209
  Copyright terms: Public domain W3C validator