Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq3 36795
Description: Two translations agree at any atom not under the fiducial co-atom 𝑊 iff they are equal. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd.l = (le‘𝐾)
cdlemd.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrneq3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ltrneq3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1171 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2l 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹𝑇)
3 simpl2r 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐺𝑇)
4 simpl3 1173 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simpr 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
6 cdlemd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 cdlemd.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9cdlemd 36794 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)
111, 2, 3, 4, 5, 10syl311anc 1364 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)
12 fveq1 6498 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
1312adantl 474 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
1411, 13impbida 788 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  cfv 6188  lecple 16428  Atomscatm 35850  HLchlt 35937  LHypclh 36571  LTrncltrn 36688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-map 8208  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35763  df-ol 35765  df-oml 35766  df-covers 35853  df-ats 35854  df-atl 35885  df-cvlat 35909  df-hlat 35938  df-llines 36085  df-psubsp 36090  df-pmap 36091  df-padd 36383  df-lhyp 36575  df-laut 36576  df-ldil 36691  df-ltrn 36692  df-trl 36746
This theorem is referenced by:  cdlemn3  37784
  Copyright terms: Public domain W3C validator