Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrneq3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrneq3 37224
Description: Two translations agree at any atom not under the fiducial co-atom 𝑊 iff they are equal. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd.l = (le‘𝐾)
cdlemd.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrneq3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ltrneq3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1183 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2l 1218 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹𝑇)
3 simpl2r 1219 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐺𝑇)
4 simpl3 1185 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
6 cdlemd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 cdlemd.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 9cdlemd 37223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)
111, 2, 3, 4, 5, 10syl311anc 1376 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)
12 fveq1 6662 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
1312adantl 482 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝐹 = 𝐺) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
1411, 13impbida 797 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  lecple 16560  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by:  cdlemn3  38213
  Copyright terms: Public domain W3C validator