Theorem cdleme0aa 38529

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme0aa	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme0aa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme0.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
2		simp1l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 37682	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		cdleme0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cdleme0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 37607	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	4, 5	atbase 37607	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
10		cdleme0.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 10	latjcl 18254	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
12	3, 7, 9, 11	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
13		simp1r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ 𝐻)
14		cdleme0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15	4, 14	lhpbase 38317	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ 𝐵)
17		cdleme0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
18	4, 17	latmcl 18255	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	3, 12, 16, 18	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrid 2842	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  Basecbs 17009  lecple 17066  joincjn 18126  meetcmee 18127  Latclat 18246  Atomscatm 37581  HLchlt 37668  LHypclh 38303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-lat 18247  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-lhyp 38307

This theorem is referenced by:  cdleme1b  38545  cdleme5  38559  cdleme9  38572  cdleme11g  38584  cdleme11  38589  cdleme35fnpq  38768  cdleme42e  38798  cdlemeg46frv  38844  cdlemg2fv2  38919  cdlemg2m  38923