Theorem cdleme0aa 40586

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme0aa	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme0aa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme0.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
2		simp1l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39740	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		cdleme0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cdleme0.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 39665	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	6	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
8	4, 5	atbase 39665	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
9	8	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
10		cdleme0.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	4, 10	latjcl 18374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
12	3, 7, 9, 11	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
13		simp1r 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ 𝐻)
14		cdleme0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15	4, 14	lhpbase 40374	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ 𝐵)
17		cdleme0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
18	4, 17	latmcl 18375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	3, 12, 16, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
20	1, 19	eqeltrid 2841	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366  Atomscatm 39639  HLchlt 39726  LHypclh 40360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-lat 18367  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-lhyp 40364

This theorem is referenced by:  cdleme1b  40602  cdleme5  40616  cdleme9  40629  cdleme11g  40641  cdleme11  40646  cdleme35fnpq  40825  cdleme42e  40855  cdlemeg46frv  40901  cdlemg2fv2  40976  cdlemg2m  40980