Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0aa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0aa 36896
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme0aa (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)

Proof of Theorem cdleme0aa
StepHypRef Expression
1 cdleme0.u . 2 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2 simp1l 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 36050 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 cdleme0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdleme0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 35975 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
763ad2ant2 1127 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃𝐵)
84, 5atbase 35975 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
983ad2ant3 1128 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
10 cdleme0.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
114, 10latjcl 17490 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
123, 7, 9, 11syl3anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
13 simp1r 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑊𝐻)
14 cdleme0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
154, 14lhpbase 36684 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1613, 15syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑊𝐵)
17 cdleme0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
184, 17latmcl 17491 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
193, 12, 16, 18syl3anc 1364 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ 𝐵)
201, 19syl5eqel 2887 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑈𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  meetcmee 17384  Latclat 17484  Atomscatm 35949  HLchlt 36036  LHypclh 36670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-lat 17485  df-ats 35953  df-atl 35984  df-cvlat 36008  df-hlat 36037  df-lhyp 36674
This theorem is referenced by:  cdleme1b  36912  cdleme5  36926  cdleme9  36939  cdleme11g  36951  cdleme11  36956  cdleme35fnpq  37135  cdleme42e  37165  cdlemeg46frv  37211  cdlemg2fv2  37286  cdlemg2m  37290
  Copyright terms: Public domain W3C validator