Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme11.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme11.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme11.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme11.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme11.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme11.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme11.c |
. . . 4
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ π) |
8 | | cdleme11.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 8 | cdleme11j 39651 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ β€ (π β¨ πΉ)) |
10 | | simp1l 1194 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
11 | 10 | hllatd 38747 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
12 | | simp21l 1287 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
13 | | eqid 2726 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
14 | 13, 4 | atbase 38672 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 12, 14 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | | simp23l 1291 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
17 | 13, 4 | atbase 38672 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 13, 2 | latjcl 18404 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | 11, 15, 18, 19 | syl3anc 1368 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | | simp1r 1195 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
22 | 13, 5 | lhpbase 39382 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 13, 1, 3 | latmle2 18430 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
25 | 11, 20, 23, 24 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
26 | 7, 25 | eqbrtrid 5176 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ β€ π) |
27 | | simp1 1133 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
28 | | simp21 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
29 | | simp22l 1289 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
30 | | simp3r 1199 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
31 | 1, 2, 3, 4 | cdleme00a 39593 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
32 | 10, 12, 29, 16, 30, 31 | syl131anc 1380 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
33 | 32 | necomd 2990 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
34 | 1, 2, 3, 4, 5, 7 | cdleme9a 39635 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β πΆ β π΄) |
35 | 27, 28, 16, 33, 34 | syl112anc 1371 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ β π΄) |
36 | 13, 4 | atbase 38672 |
. . . . 5
β’ (πΆ β π΄ β πΆ β (BaseβπΎ)) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ β (BaseβπΎ)) |
38 | 13, 4 | atbase 38672 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
39 | 29, 38 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
40 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 | cdleme3fa 39620 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
41 | 13, 4 | atbase 38672 |
. . . . . 6
β’ (πΉ β π΄ β πΉ β (BaseβπΎ)) |
42 | 40, 41 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
43 | 13, 2 | latjcl 18404 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ πΉ β (BaseβπΎ)) β (π β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
44 | 11, 39, 42, 43 | syl3anc 1368 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
45 | 13, 1, 3 | latlem12 18431 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΆ β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ πΉ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((πΆ β€ (π β¨ πΉ) β§ πΆ β€ π) β πΆ β€ ((π β¨ πΉ) β§ π))) |
46 | 11, 37, 44, 23, 45 | syl13anc 1369 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΆ β€ (π β¨ πΉ) β§ πΆ β€ π) β πΆ β€ ((π β¨ πΉ) β§ π))) |
47 | 9, 26, 46 | mpbi2and 709 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ β€ ((π β¨ πΉ) β§ π)) |
48 | | hlatl 38743 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
49 | 10, 48 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β AtLat) |
50 | | simp22 1204 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
51 | | simp3 1135 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
52 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 8 | cdleme11h 39650 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π) |
53 | 27, 28, 50, 16, 51, 52 | syl131anc 1380 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π) |
54 | 53 | necomd 2990 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β πΉ) |
55 | 1, 2, 3, 4, 5 | lhpat 39427 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π΄ β§ π β πΉ)) β ((π β¨ πΉ) β§ π) β π΄) |
56 | 27, 50, 40, 54, 55 | syl112anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ πΉ) β§ π) β π΄) |
57 | 1, 4 | atcmp 38694 |
. . 3
β’ ((πΎ β AtLat β§ πΆ β π΄ β§ ((π β¨ πΉ) β§ π) β π΄) β (πΆ β€ ((π β¨ πΉ) β§ π) β πΆ = ((π β¨ πΉ) β§ π))) |
58 | 49, 35, 56, 57 | syl3anc 1368 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΆ β€ ((π β¨ πΉ) β§ π) β πΆ = ((π β¨ πΉ) β§ π))) |
59 | 47, 58 | mpbid 231 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΆ = ((π β¨ πΉ) β§ π)) |