MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relcmpcmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relcmpcmet 25352
Description: If 𝐷 is a metric space such that all the balls of some fixed size are relatively compact, then 𝐷 is complete. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
relcmpcmet.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
relcmpcmet.4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
relcmpcmet (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Proof of Theorem relcmpcmet
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.2 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2 metxmet 24344 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷))
6 relcmpcmet.3 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
8 cfil3i 25303 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)
94, 5, 7, 8syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∃𝑥𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)
103ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 relcmpcmet.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1211mopntopon 24449 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 cfilfil 25301 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
153, 14sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
1615adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
17 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)
18 topontop 22919 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝐽 ∈ Top)
20 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝑥𝑋)
216rpxrd 13078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23 blssm 24428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
2410, 20, 22, 23syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝑋)
25 toponuni 22920 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2613, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝑋 = 𝐽)
2724, 26sseqtrd 4020 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝐽)
28 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = 𝐽
2928clsss3 23067 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝐽)
3019, 27, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝐽)
3130, 26sseqtrrd 4021 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑋)
3228sscls 23064 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ 𝐽) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))
3319, 27, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))
34 filss 23861 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓 ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ∈ 𝑓)
3516, 17, 31, 33, 34syl13anc 1374 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ∈ 𝑓)
36 fclsrest 24032 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ∈ 𝑓) → ((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) fClus (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) = ((𝐽 fClus 𝑓) ∩ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))
3713, 16, 35, 36syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) fClus (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) = ((𝐽 fClus 𝑓) ∩ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))
38 inss1 4237 . . . . . . 7 ((𝐽 fClus 𝑓) ∩ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ⊆ (𝐽 fClus 𝑓)
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 dom dom 𝐷 = dom dom 𝐷
4011, 39cfilfcls 25308 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐽 fClus 𝑓) = (𝐽 fLim 𝑓))
4140ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝐽 fClus 𝑓) = (𝐽 fLim 𝑓))
4238, 41sseqtrid 4026 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((𝐽 fClus 𝑓) ∩ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ⊆ (𝐽 fLim 𝑓))
4337, 42eqsstrd 4018 . . . . 5 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) fClus (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) ⊆ (𝐽 fLim 𝑓))
44 relcmpcmet.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ Comp)
4544ad2ant2r 747 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ Comp)
46 filfbas 23856 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
4716, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
48 fbncp 23847 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ 𝑓)
4947, 35, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ¬ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ 𝑓)
50 trfil3 23896 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑋) → ((𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (Fil‘((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ↔ ¬ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ 𝑓))
5116, 31, 50syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (Fil‘((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ↔ ¬ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ 𝑓))
5249, 51mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (Fil‘((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))
53 resttopon 23169 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) ⊆ 𝑋) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (TopOn‘((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))
5413, 31, 53syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (TopOn‘((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))
55 toponuni 22920 . . . . . . . . 9 ((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (TopOn‘((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) = (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)) = (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))
5756fveq2d 6910 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (Fil‘((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) = (Fil‘ (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))))
5852, 57eleqtrd 2843 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (Fil‘ (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))))
59 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) = (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))
6059fclscmpi 24037 . . . . . 6 (((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ Comp ∧ (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) ∈ (Fil‘ (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))))) → ((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) fClus (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) ≠ ∅)
6145, 58, 60syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → ((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) fClus (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) ≠ ∅)
62 ssn0 4404 . . . . 5 ((((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) fClus (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) ⊆ (𝐽 fLim 𝑓) ∧ ((𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅))) fClus (𝑓t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)𝑅)))) ≠ ∅) → (𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
6343, 61, 62syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑅) ∈ 𝑓)) → (𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
649, 63rexlimddv 3161 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
6564ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅)
6611iscmet 25318 . 2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)(𝐽 fLim 𝑓) ≠ ∅))
671, 65, 66sylanbrc 583 1 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333   cuni 4907  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  *cxr 11294  +crp 13034  t crest 17465  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351  fBascfbas 21352  MetOpencmopn 21354  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  clsccl 23026  Compccmp 23394  Filcfil 23853   fLim cflim 23942   fClus cfcls 23944  CauFilccfil 25286  CMetccmet 25288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cmp 23395  df-fil 23854  df-flim 23947  df-fcls 23949  df-cfil 25289  df-cmet 25291
This theorem is referenced by:  cmpcmet  25353  cncmet  25356
  Copyright terms: Public domain W3C validator