Theorem cfili 25458

Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfili	⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cfil 25445	. . . . . . 7 ⊢ CauFil = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
2	1	mptrcl 7003	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
3		xmetunirn 24525	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
5		iscfil2 25456	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
7	6	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
8	7	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
9		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
10	9	2ralbidv 3231	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
11	10	rexbidv 3191	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
12	11	rspccva 3582	. 2 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
13	8, 12	sylan 592	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   × cxp 5661  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111   < clt 11254  ℝ⁺crp 13028  [,)cico 13386  ∞Metcxmet 21537  Filcfil 24033  CauFilccfil 25442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ico 13390  df-xmet 21545  df-fbas 21549  df-fil 24034  df-cfil 25445

This theorem is used by:  cfil3i  25459  fgcfil  25461  iscmet3  25483  cfilres  25486