Theorem cfili 24785

Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfili	⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cfil 24772	. . . . . . 7 ⊢ CauFil = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
2	1	mptrcl 7008	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
3		xmetunirn 23843	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
4	2, 3	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
5		iscfil2 24783	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
7	6	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
8	7	simprd 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
9		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
10	9	2ralbidv 3219	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
11	10	rexbidv 3179	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
12	11	rspccva 3612	. 2 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
13	8, 12	sylan 581	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149   × cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   “ cima 5680  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   < clt 11248  ℝ⁺crp 12974  [,)cico 13326  ∞Metcxmet 20929  Filcfil 23349  CauFilccfil 24769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-xmet 20937  df-fbas 20941  df-fil 23350  df-cfil 24772

This theorem is referenced by:  cfil3i  24786  fgcfil  24788  iscmet3  24810  cfilres  24813