MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfili 24560
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 24547 . . . . . . 7 CauFil = (𝑑 ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
21mptrcl 6953 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ran ∞Met)
3 xmetunirn 23618 . . . . . 6 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
5 iscfil2 24558 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
76ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
87simprd 497 . 2 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
9 breq2 5108 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1092ralbidv 3211 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1110rexbidv 3174 . . 3 (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1211rspccva 3579 . 2 ((∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
138, 12sylan 581 1 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  wrex 3072  {crab 3406  wss 3909   cuni 4864   class class class wbr 5104   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632  cima 5634  cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985   < clt 11123  +crp 12845  [,)cico 13196  ∞Metcxmet 20710  Filcfil 23124  CauFilccfil 24544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ico 13200  df-xmet 20718  df-fbas 20722  df-fil 23125  df-cfil 24547
This theorem is referenced by:  cfil3i  24561  fgcfil  24563  iscmet3  24585  cfilres  24588
  Copyright terms: Public domain W3C validator