MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfili 23285
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 23272 . . . . . . . 8 CauFil = (𝑑 ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
21dmmptss 5774 . . . . . . 7 dom CauFil ⊆ ran ∞Met
3 elfvdm 6363 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ dom CauFil)
42, 3sseldi 3750 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ran ∞Met)
5 xmetunirn 22362 . . . . . 6 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
64, 5sylib 208 . . . . 5 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
7 iscfil2 23283 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
98ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
109simprd 483 . 2 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
11 breq2 4791 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
12112ralbidv 3138 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1312rexbidv 3200 . . 3 (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1413rspccva 3459 . 2 ((∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
1510, 14sylan 569 1 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723   cuni 4575   class class class wbr 4787   × cxp 5248  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142   < clt 10280  +crp 12035  [,)cico 12382  ∞Metcxmt 19946  Filcfil 21869  CauFilccfil 23269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-2 11285  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-xmet 19954  df-fbas 19958  df-fil 21870  df-cfil 23272
This theorem is referenced by:  cfil3i  23286  fgcfil  23288  iscmet3  23310  cfilres  23313
  Copyright terms: Public domain W3C validator