MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfili 24655
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 24642 . . . . . . 7 CauFil = (𝑑 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝑑) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
21mptrcl 6961 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
3 xmetunirn 23713 . . . . . 6 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷))
5 iscfil2 24653 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜dom dom 𝐷) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ)))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ)))
76ibi 267 . . 3 (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ (𝐹 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ))
87simprd 497 . 2 (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ)
9 breq2 5113 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1092ralbidv 3209 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1110rexbidv 3172 . . 3 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1211rspccva 3582 . 2 ((βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < π‘Ÿ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
138, 12sylan 581 1 ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆ€π‘§ ∈ π‘₯ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059   < clt 11197  β„+crp 12923  [,)cico 13275  βˆžMetcxmet 20804  Filcfil 23219  CauFilccfil 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-xmet 20812  df-fbas 20816  df-fil 23220  df-cfil 24642
This theorem is referenced by:  cfil3i  24656  fgcfil  24658  iscmet3  24680  cfilres  24683
  Copyright terms: Public domain W3C validator