Theorem cfili 24337

Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfili	⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cfil 24324	. . . . . . 7 ⊢ CauFil = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
2	1	mptrcl 6866	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
3		xmetunirn 23398	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
4	2, 3	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
5		iscfil2 24335	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
7	6	ibi 266	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
8	7	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
9		breq2 5074	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
10	9	2ralbidv 3122	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
11	10	rexbidv 3225	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
12	11	rspccva 3551	. 2 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
13	8, 12	sylan 579	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   < clt 10940  ℝ⁺crp 12659  [,)cico 13010  ∞Metcxmet 20495  Filcfil 22904  CauFilccfil 24321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-xmet 20503  df-fbas 20507  df-fil 22905  df-cfil 24324

This theorem is referenced by:  cfil3i  24338  fgcfil  24340  iscmet3  24362  cfilres  24365