MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfili 23876
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 23863 . . . . . . 7 CauFil = (𝑑 ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
21mptrcl 6758 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ran ∞Met)
3 xmetunirn 22948 . . . . . 6 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
42, 3sylib 221 . . . . 5 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
5 iscfil2 23874 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
76ibi 270 . . 3 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
87simprd 499 . 2 (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
9 breq2 5037 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1092ralbidv 3167 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1110rexbidv 3259 . . 3 (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
1211rspccva 3573 . 2 ((∀𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
138, 12sylan 583 1 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝐹𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  wss 3884   cuni 4803   class class class wbr 5033   × cxp 5521  dom cdm 5523  ran crn 5524  cima 5526  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530   < clt 10668  +crp 12381  [,)cico 12732  ∞Metcxmet 20080  Filcfil 22454  CauFilccfil 23860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-xmet 20088  df-fbas 20092  df-fil 22455  df-cfil 23863
This theorem is referenced by:  cfil3i  23877  fgcfil  23879  iscmet3  23901  cfilres  23904
  Copyright terms: Public domain W3C validator