Theorem cfili 25175

Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfili	⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cfil 25162	. . . . . . 7 ⊢ CauFil = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
2	1	mptrcl 6980	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
3		xmetunirn 24232	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
5		iscfil2 25173	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
7	6	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
8	7	simprd 495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
9		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
10	9	2ralbidv 3202	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
11	10	rexbidv 3158	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
12	11	rspccva 3590	. 2 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
13	8, 12	sylan 580	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   < clt 11215  ℝ⁺crp 12958  [,)cico 13315  ∞Metcxmet 21256  Filcfil 23739  CauFilccfil 25159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-2 12256  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-xmet 21264  df-fbas 21268  df-fil 23740  df-cfil 25162

This theorem is referenced by:  cfil3i  25176  fgcfil  25178  iscmet3  25200  cfilres  25203