MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilucfil4 24688
Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the Cauchy filters for the metric. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)))

Proof of Theorem cfilucfil4
StepHypRef Expression
1 cfilucfil3 24687 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
2 cfilfil 24634 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
32ex 414 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ 𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹)))
43adantl 483 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ 𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹)))
54pm4.71rd 564 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·))))
61, 5bitrd 279 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·))))
7 pm5.32 575 . . 3 ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·))) ↔ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·))))
86, 7sylibr 233 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·))))
983impia 1118 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  βˆžMetcxmet 20784  metUnifcmetu 20790  Filcfil 23199  CauFiluccfilu 23641  CauFilccfil 24619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-metu 20798  df-fil 23200  df-ust 23555  df-cfilu 23642  df-cfil 24622
This theorem is referenced by:  cmetcusp1  24720
  Copyright terms: Public domain W3C validator