Theorem iscfil3 25335

Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil3	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐹   𝑋,𝑟,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥

Proof of Theorem iscfil3

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfilfil 25329	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		cfil3i 25331	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
3	2	3expa 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
4	3	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
5	1, 4	jca 519	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹))
6		simprl 780	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7		rphalfcl 13022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9		oveq2 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
10	9	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
11	10	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
12	11	rspcv 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
14		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)
15		simp-4l 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16		simplrl 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 13037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
19		simprl 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
20		blhalf 24465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
21	15, 16, 18, 19, 20	syl22anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
22		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
23	21, 22	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
24	17	rpxrd 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
25	17, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
26	25	rpxrd 13038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ*)
27		blssm 24478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ 𝑋)
28	15, 16, 26, 27	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ 𝑋)
29	28, 19	sseldd 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
30	28, 22	sseldd 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
31		elbl2 24450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋)) → (𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
32	15, 24, 29, 30, 31	syl22anc 849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
33	23, 32	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
34	33	ralrimivva 3205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
35		raleq 3317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
36	35	raleqbi1dv 3330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
37	36	rspcev 3581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠) → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
38	14, 34, 37	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
39	38	rexlimdvaa 3164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
40	13, 39	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
41	40	ralrimdva 3162	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
42	41	impr 458	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
43		iscfil2 25328	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)))
44	43	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)))
45	6, 42, 44	mpbir2and 723	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))
46	5, 45	impbida 810	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   / cdiv 11844  2c2 12272  ℝ⁺crp 12993  ∞Metcxmet 21409  ballcbl 21411  Filcfil 23905  CauFilccfil 25314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ico 13355  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-bl 21419  df-fbas 21421  df-fil 23906  df-cfil 25317

This theorem is referenced by:  equivcfil  25361  flimcfil  25376