MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil3 25152
Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝐹   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯   𝐷,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem iscfil3
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfil 25146 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 cfil3i 25148 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
323expa 1115 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
43ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
51, 4jca 511 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹))
6 simprl 768 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
7 rphalfcl 13004 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
87adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
109eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
1110rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
1211rspcv 3602 . . . . . . 7 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
14 simprr 770 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)
15 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 simplrl 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
17 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
1817rpred 13019 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
19 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
20 blhalf 24262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
22 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
2321, 22sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
2417rpxrd 13020 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ*)
2517, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
2625rpxrd 13020 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*)
27 blssm 24275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† 𝑋)
2815, 16, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† 𝑋)
2928, 19sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
3028, 22sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
31 elbl2 24247 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3215, 24, 29, 30, 31syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3323, 32mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3433ralrimivva 3194 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
35 raleq 3316 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3635raleqbi1dv 3327 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3736rspcev 3606 . . . . . . . 8 (((π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3814, 34, 37syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3938rexlimdvaa 3150 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4013, 39syld 47 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4140ralrimdva 3148 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4241impr 454 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
43 iscfil2 25145 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)))
4443adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)))
456, 42, 44mpbir2and 710 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·))
465, 45impbida 798 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  β„*cxr 11248   < clt 11249   / cdiv 11872  2c2 12268  β„+crp 12977  βˆžMetcxmet 21221  ballcbl 21223  Filcfil 23700  CauFilccfil 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-bl 21231  df-fbas 21233  df-fil 23701  df-cfil 25134
This theorem is referenced by:  equivcfil  25178  flimcfil  25193
  Copyright terms: Public domain W3C validator