MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil3 24789
Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝐹   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯   𝐷,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem iscfil3
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfil 24783 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 cfil3i 24785 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
323expa 1118 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
43ralrimiva 3146 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
51, 4jca 512 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹))
6 simprl 769 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
7 rphalfcl 13000 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
87adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
109eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
1110rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
1211rspcv 3608 . . . . . . 7 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
14 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)
15 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
17 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
1817rpred 13015 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
19 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
20 blhalf 23910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
22 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
2321, 22sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
2417rpxrd 13016 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ*)
2517, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
2625rpxrd 13016 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*)
27 blssm 23923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† 𝑋)
2815, 16, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† 𝑋)
2928, 19sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
3028, 22sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
31 elbl2 23895 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3215, 24, 29, 30, 31syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3323, 32mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3433ralrimivva 3200 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
35 raleq 3322 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3635raleqbi1dv 3333 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3736rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3814, 34, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3938rexlimdvaa 3156 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4013, 39syld 47 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4140ralrimdva 3154 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4241impr 455 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
43 iscfil2 24782 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)))
4443adantr 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)))
456, 42, 44mpbir2and 711 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·))
465, 45impbida 799 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930  Filcfil 23348  CauFilccfil 24768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-fbas 20940  df-fil 23349  df-cfil 24771
This theorem is referenced by:  equivcfil  24815  flimcfil  24830
  Copyright terms: Public domain W3C validator