Theorem iscfil3 25180

Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil3	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐹   𝑋,𝑟,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥

Proof of Theorem iscfil3

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfilfil 25174	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		cfil3i 25176	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
3	2	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
4	3	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹))
6		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7		rphalfcl 12987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
10	9	eleq1d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
11	10	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
12	11	rspcv 3587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
14		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)
15		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 13002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
19		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
20		blhalf 24300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
21	15, 16, 18, 19, 20	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
22		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
23	21, 22	sseldd 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
24	17	rpxrd 13003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
25	17, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
26	25	rpxrd 13003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ*)
27		blssm 24313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ 𝑋)
28	15, 16, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ 𝑋)
29	28, 19	sseldd 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
30	28, 22	sseldd 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
31		elbl2 24285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋)) → (𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
32	15, 24, 29, 30, 31	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
33	23, 32	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
34	33	ralrimivva 3181	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
35		raleq 3298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
36	35	raleqbi1dv 3313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
37	36	rspcev 3591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠) → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
38	14, 34, 37	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
39	38	rexlimdvaa 3136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
40	13, 39	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
41	40	ralrimdva 3134	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
42	41	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
43		iscfil2 25173	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)))
45	6, 42, 44	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))
46	5, 45	impbida 800	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   / cdiv 11842  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  ∞Metcxmet 21256  ballcbl 21258  Filcfil 23739  CauFilccfil 25159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-bl 21266  df-fbas 21268  df-fil 23740  df-cfil 25162

This theorem is referenced by:  equivcfil  25206  flimcfil  25221