MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil3 24660
Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝐹   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯   𝐷,π‘Ÿ,π‘₯

Proof of Theorem iscfil3
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfil 24654 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 cfil3i 24656 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
323expa 1119 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
43ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)
51, 4jca 513 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹))
6 simprl 770 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
7 rphalfcl 12950 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
87adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
109eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
1110rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (𝑠 / 2) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
1211rspcv 3579 . . . . . . 7 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
14 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)
15 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
17 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
1817rpred 12965 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
19 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
20 blhalf 23781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
22 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))
2321, 22sseldd 3949 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠))
2417rpxrd 12966 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ*)
2517, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
2625rpxrd 12966 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*)
27 blssm 23794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† 𝑋)
2815, 16, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) βŠ† 𝑋)
2928, 19sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
3028, 22sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
31 elbl2 23766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3215, 24, 29, 30, 31syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑣 ∈ (𝑒(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3323, 32mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑒 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3433ralrimivva 3194 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
35 raleq 3308 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3635raleqbi1dv 3306 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
3736rspcev 3583 . . . . . . . 8 (((π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))βˆ€π‘£ ∈ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2))(𝑒𝐷𝑣) < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3814, 34, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
3938rexlimdvaa 3150 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4013, 39syld 47 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4140ralrimdva 3148 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹 β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠))
4241impr 456 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
43 iscfil2 24653 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)))
4443adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)))
456, 42, 44mpbir2and 712 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·))
465, 45impbida 800 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  Filcfil 23219  CauFilccfil 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-fbas 20816  df-fil 23220  df-cfil 24642
This theorem is referenced by:  equivcfil  24686  flimcfil  24701
  Copyright terms: Public domain W3C validator