Theorem iscfil3 25240

Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil3	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐹   𝑋,𝑟,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥

Proof of Theorem iscfil3

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfilfil 25234	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		cfil3i 25236	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
3	2	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
4	3	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹))
6		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7		rphalfcl 12971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
9		oveq2 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
10	9	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
11	10	rexbidv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (𝑠 / 2) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
12	11	rspcv 3560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹))
14		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)
15		simp-4l 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
17		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
19		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
20		blhalf 24370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
21	15, 16, 18, 19, 20	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
22		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))
23	21, 22	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠))
24	17	rpxrd 12987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
25	17, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ+)
26	25	rpxrd 12987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ*)
27		blssm 24383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑠 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ 𝑋)
28	15, 16, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ⊆ 𝑋)
29	28, 19	sseldd 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
30	28, 22	sseldd 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
31		elbl2 24355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑠 ∈ ℝ*) ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋)) → (𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
32	15, 24, 29, 30, 31	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑣 ∈ (𝑢(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
33	23, 32	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) ∧ (𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
34	33	ralrimivva 3180	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
35		raleq 3292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
36	35	raleqbi1dv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
37	36	rspcev 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))∀𝑣 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2))(𝑢𝐷𝑣) < 𝑠) → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
38	14, 34, 37	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹)) → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
39	38	rexlimdvaa 3139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)(𝑠 / 2)) ∈ 𝐹 → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
40	13, 39	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
41	40	ralrimdva 3137	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠))
42	41	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
43		iscfil2 25233	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)))
45	6, 42, 44	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷))
46	5, 45	impbida 801	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ∈ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  ∞Metcxmet 21337  ballcbl 21339  Filcfil 23810  CauFilccfil 25219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-bl 21347  df-fbas 21349  df-fil 23811  df-cfil 25222

This theorem is referenced by:  equivcfil  25266  flimcfil  25281