Theorem cldrcl 23238

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6920	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
2		fncld 23234	. . 3 ⊢ Clsd Fn Top
3	2	fndmi 6644	. 2 ⊢ dom Clsd = Top
4	1, 3	eleqtrdi 2875	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  dom cdm 5663  ‘cfv 6541  Topctop 23105  Clsdccld 23228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-fv 6549  df-cld 23231

This theorem is used by:  cldss  23241  cldopn  23243  difopn  23246  iincld  23251  uncld  23253  cldcls  23254  clsss2  23284  opncldf3  23298  restcldi  23385  restcldr  23386  paste  23506  connsubclo  23636  txcld  23816  cldregopn  36904  clddisj  49759