Theorem cldrcl 23371

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6939	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ dom Clsd)
2		fncld 23367	. . 3 ⊢ Clsd Fn Top
3	2	fndmi 6662	. 2 ⊢ dom Clsd = Top
4	1, 3	eleqtrdi 2874	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  dom cdm 5655  ‘cfv 6555  Topctop 23238  Clsdccld 23361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-fv 6563  df-cld 23364

This theorem is used by:  cldss  23374  cldopn  23376  difopn  23379  iincld  23384  uncld  23386  cldcls  23387  clsss2  23417  opncldf3  23431  restcldi  23518  restcldr  23519  paste  23639  connsubclo  23769  txcld  23949  cldregopn  37296  clddisj  50221