Theorem cldopn 22974

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22969	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 22970	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 499	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 689	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6490  Topctop 22836  Clsdccld 22959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-fv 6498  df-top 22837  df-cld 22962

This theorem is referenced by:  difopn  22977  iincld  22982  uncld  22984  iuncld  22988  clsval2  22993  opncldf1  23027  opncldf3  23029  restcld  23115  lecldbas  23162  cnclima  23211  nrmsep2  23299  nrmsep  23300  regsep2  23319  cmpcld  23345  dfconn2  23362  txcld  23546  ptcld  23556  kqcldsat  23676  regr1lem  23682  filconn  23826  cldsubg  24054  cnn0opn  24730  limcnlp  25823  lhop1lem  25959  abelth  26391  logdmopn  26598  lgamucov  26988  onsucconni  36625  onint1  36637  pibt2  37729  mblfinlem3  37971  mblfinlem4  37972  ismblfin  37973  dvasin  38016  dvacos  38017  dvreasin  38018  dvreacos  38019  readvrec2  42792  fourierdlem62  46600  opncldeqv  49335  iscnrm3rlem5  49377