Theorem cldopn 21636

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 21631	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 21632	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 503	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 687	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  Topctop 21498  Clsdccld 21621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-fv 6332  df-top 21499  df-cld 21624

This theorem is referenced by:  difopn  21639  iincld  21644  uncld  21646  iuncld  21650  clsval2  21655  opncldf1  21689  opncldf3  21691  restcld  21777  lecldbas  21824  cnclima  21873  nrmsep2  21961  nrmsep  21962  regsep2  21981  cmpcld  22007  dfconn2  22024  txcld  22208  ptcld  22218  kqcldsat  22338  regr1lem  22344  filconn  22488  cldsubg  22716  limcnlp  24481  dvrec  24558  dvexp3  24581  lhop1lem  24616  abelth  25036  logdmopn  25240  lgamucov  25623  onsucconni  33898  onint1  33910  pibt2  34834  mblfinlem3  35096  mblfinlem4  35097  ismblfin  35098  dvtanlem  35106  dvasin  35141  dvacos  35142  dvreasin  35143  dvreacos  35144  fourierdlem62  42810