Theorem cldopn 22894

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22889	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 22890	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 499	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6499  Topctop 22756  Clsdccld 22879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-fv 6507  df-top 22757  df-cld 22882

This theorem is referenced by:  difopn  22897  iincld  22902  uncld  22904  iuncld  22908  clsval2  22913  opncldf1  22947  opncldf3  22949  restcld  23035  lecldbas  23082  cnclima  23131  nrmsep2  23219  nrmsep  23220  regsep2  23239  cmpcld  23265  dfconn2  23282  txcld  23466  ptcld  23476  kqcldsat  23596  regr1lem  23602  filconn  23746  cldsubg  23974  cnn0opn  24651  limcnlp  25755  lhop1lem  25894  abelth  26327  logdmopn  26534  lgamucov  26924  onsucconni  36398  onint1  36410  pibt2  37378  mblfinlem3  37626  mblfinlem4  37627  ismblfin  37628  dvasin  37671  dvacos  37672  dvreasin  37673  dvreacos  37674  readvrec2  42322  fourierdlem62  46139  opncldeqv  48863  iscnrm3rlem5  48905