Theorem cldopn 22966

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22961	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 22962	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 499	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4860  ‘cfv 6489  Topctop 22828  Clsdccld 22951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-fv 6497  df-top 22829  df-cld 22954

This theorem is referenced by:  difopn  22969  iincld  22974  uncld  22976  iuncld  22980  clsval2  22985  opncldf1  23019  opncldf3  23021  restcld  23107  lecldbas  23154  cnclima  23203  nrmsep2  23291  nrmsep  23292  regsep2  23311  cmpcld  23337  dfconn2  23354  txcld  23538  ptcld  23548  kqcldsat  23668  regr1lem  23674  filconn  23818  cldsubg  24046  cnn0opn  24722  limcnlp  25826  lhop1lem  25965  abelth  26398  logdmopn  26605  lgamucov  26995  onsucconni  36553  onint1  36565  pibt2  37534  mblfinlem3  37772  mblfinlem4  37773  ismblfin  37774  dvasin  37817  dvacos  37818  dvreasin  37819  dvreacos  37820  readvrec2  42531  fourierdlem62  46328  opncldeqv  49063  iscnrm3rlem5  49105