Theorem cldopn 23014

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23009	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23010	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 500	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 694	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  Topctop 22876  Clsdccld 22999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-fv 6493  df-top 22877  df-cld 23002

This theorem is referenced by:  difopn  23017  iincld  23022  uncld  23024  iuncld  23028  clsval2  23033  opncldf1  23067  opncldf3  23069  restcld  23155  lecldbas  23202  cnclima  23251  nrmsep2  23339  nrmsep  23340  regsep2  23359  cmpcld  23385  dfconn2  23402  txcld  23586  ptcld  23596  kqcldsat  23716  regr1lem  23722  filconn  23866  cldsubg  24094  cnn0opn  24770  limcnlp  25863  lhop1lem  25998  abelth  26424  logdmopn  26631  lgamucov  27019  onsucconni  36665  onint1  36677  pibt2  37779  mblfinlem3  38026  mblfinlem4  38027  ismblfin  38028  dvasin  38071  dvacos  38072  dvreasin  38073  dvreacos  38074  readvrec2  42838  fourierdlem62  46611  opncldeqv  49392  iscnrm3rlem5  49434