Theorem cldopn 22996

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22991	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 22992	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 499	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 689	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Topctop 22858  Clsdccld 22981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-fv 6506  df-top 22859  df-cld 22984

This theorem is referenced by:  difopn  22999  iincld  23004  uncld  23006  iuncld  23010  clsval2  23015  opncldf1  23049  opncldf3  23051  restcld  23137  lecldbas  23184  cnclima  23233  nrmsep2  23321  nrmsep  23322  regsep2  23341  cmpcld  23367  dfconn2  23384  txcld  23568  ptcld  23578  kqcldsat  23698  regr1lem  23704  filconn  23848  cldsubg  24076  cnn0opn  24752  limcnlp  25845  lhop1lem  25980  abelth  26406  logdmopn  26613  lgamucov  27001  onsucconni  36619  onint1  36631  pibt2  37733  mblfinlem3  37980  mblfinlem4  37981  ismblfin  37982  dvasin  38025  dvacos  38026  dvreasin  38027  dvreacos  38028  readvrec2  42793  fourierdlem62  46596  opncldeqv  49377  iscnrm3rlem5  49419