Theorem cldopn 23153

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23148	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23149	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 504	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 700	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6534  Topctop 23015  Clsdccld 23138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-fv 6542  df-top 23016  df-cld 23141

This theorem is referenced by:  difopn  23156  iincld  23161  uncld  23163  iuncld  23167  clsval2  23172  opncldf1  23206  opncldf3  23208  restcld  23294  lecldbas  23341  cnclima  23390  nrmsep2  23478  nrmsep  23479  regsep2  23498  cmpcld  23524  dfconn2  23541  txcld  23725  ptcld  23735  kqcldsat  23855  regr1lem  23861  filconn  24005  cldsubg  24233  cnn0opn  24909  limcnlp  26002  lhop1lem  26137  abelth  26566  logdmopn  26776  lgamucov  27164  onsucconni  36833  onint1  36845  pibt2  37946  mblfinlem3  38193  mblfinlem4  38194  ismblfin  38195  dvasin  38238  dvacos  38239  dvreasin  38240  dvreacos  38241  readvrec2  43007  fourierdlem62  46769  opncldeqv  49560  iscnrm3rlem5  49602