Theorem connsubclo 23649

Description: If a clopen set meets a connected subspace, it must contain the entire subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
connsubclo.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
connsubclo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
connsubclo.4	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
connsubclo.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
connsubclo.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
connsubclo.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
connsubclo	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem connsubclo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
2		connsubclo.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
3		connsubclo.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
4		cldrcl 23251	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		connsubclo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 23131	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	5, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
9		connsubclo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	ssexd 5289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		connsubclo.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
12		elrestr 17513	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
14		connsubclo.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴)
16		ineq1 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
17	16	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
18	3, 15, 17	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
19	6	restcld 23397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)))
20	5, 9, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)))
21	18, 20	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)))
22	1, 2, 13, 14, 21	connclo 23640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	6	restuni 23387	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
24	5, 9, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
25	22, 24	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
26		sseqin2 4169	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17505  Topctop 23118  Clsdccld 23241  Conncconn 23636

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-en 8953  df-fin 8956  df-fi 9381  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-cld 23244  df-conn 23637

This theorem is used by:  conncn  23651  conncompclo  23660