Theorem connsubclo 23631

Description: If a clopen set meets a connected subspace, it must contain the entire subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
connsubclo.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
connsubclo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
connsubclo.4	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
connsubclo.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
connsubclo.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
connsubclo.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
connsubclo	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem connsubclo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
2		connsubclo.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
3		connsubclo.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
4		cldrcl 23233	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		connsubclo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 23113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	5, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
9		connsubclo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	ssexd 5297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		connsubclo.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
12		elrestr 17503	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
14		connsubclo.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴)
16		ineq1 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
17	16	rspceeqv 3606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
18	3, 15, 17	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
19	6	restcld 23379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)))
20	5, 9, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)))
21	18, 20	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)))
22	1, 2, 13, 14, 21	connclo 23622	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	6	restuni 23369	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
24	5, 9, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
25	22, 24	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
26		sseqin2 4176	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↾_t crest 17495  Topctop 23100  Clsdccld 23223  Conncconn 23618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-en 8950  df-fin 8953  df-fi 9378  df-rest 17497  df-topgen 17518  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-cld 23226  df-conn 23619

This theorem is used by:  conncn  23633  conncompclo  23642