MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsubclo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsubclo 22798
Description: If a clopen set meets a connected subspace, it must contain the entire subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connsubclo.1 𝑋 = 𝐽
connsubclo.3 (𝜑𝐴𝑋)
connsubclo.4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
connsubclo.5 (𝜑𝐵𝐽)
connsubclo.6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
connsubclo.7 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
connsubclo (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem connsubclo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
2 connsubclo.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
3 connsubclo.7 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
4 cldrcl 22400 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 connsubclo.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
76topopn 22278 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
9 connsubclo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9ssexd 5285 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 connsubclo.5 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐽)
12 elrestr 17318 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
135, 10, 11, 12syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
14 connsubclo.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)
16 ineq1 4169 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
1716rspceeqv 3599 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
183, 15, 17sylancl 587 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
196restcld 22546 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
205, 9, 19syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
2118, 20mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)))
221, 2, 13, 14, 21connclo 22789 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (𝐽t 𝐴))
236restuni 22536 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
245, 9, 23syl2anc 585 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2522, 24eqtr4d 2776 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
26 sseqin2 4179 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
2725, 26sylibr 233 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3447  cin 3913  wss 3914  c0 4286   cuni 4869  cfv 6500  (class class class)co 7361  t crest 17310  Topctop 22265  Clsdccld 22390  Conncconn 22785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-conn 22786
This theorem is referenced by:  conncn  22800  conncompclo  22809
  Copyright terms: Public domain W3C validator