MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsubclo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsubclo 23448
Description: If a clopen set meets a connected subspace, it must contain the entire subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connsubclo.1 𝑋 = 𝐽
connsubclo.3 (𝜑𝐴𝑋)
connsubclo.4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
connsubclo.5 (𝜑𝐵𝐽)
connsubclo.6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
connsubclo.7 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
connsubclo (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem connsubclo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
2 connsubclo.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
3 connsubclo.7 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
4 cldrcl 23050 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 connsubclo.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
76topopn 22928 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
9 connsubclo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9ssexd 5330 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 connsubclo.5 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐽)
12 elrestr 17475 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
135, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
14 connsubclo.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
15 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)
16 ineq1 4221 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
1716rspceeqv 3645 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
183, 15, 17sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
196restcld 23196 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
205, 9, 19syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
2118, 20mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)))
221, 2, 13, 14, 21connclo 23439 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (𝐽t 𝐴))
236restuni 23186 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
245, 9, 23syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2522, 24eqtr4d 2778 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
26 sseqin2 4231 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
2725, 26sylibr 234 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339   cuni 4912  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Topctop 22915  Clsdccld 23040  Conncconn 23435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-conn 23436
This theorem is referenced by:  conncn  23450  conncompclo  23459
  Copyright terms: Public domain W3C validator