Theorem connsubclo 23367

Description: If a clopen set meets a connected subspace, it must contain the entire subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
connsubclo.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
connsubclo.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
connsubclo.4	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
connsubclo.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
connsubclo.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
connsubclo.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
connsubclo	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem connsubclo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
2		connsubclo.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
3		connsubclo.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
4		cldrcl 22969	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		connsubclo.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	topopn 22849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
9		connsubclo.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	ssexd 5299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
11		connsubclo.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐽)
12		elrestr 17447	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
13	5, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
14		connsubclo.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴)
16		ineq1 4193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
17	16	rspceeqv 3629	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
18	3, 15, 17	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴))
19	6	restcld 23115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)))
20	5, 9, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∩ 𝐴)))
21	18, 20	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽 ↾t 𝐴)))
22	1, 2, 13, 14, 21	connclo 23358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	6	restuni 23105	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
24	5, 9, 23	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
25	22, 24	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
26		sseqin2 4203	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ∪ cuni 4888  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17439  Topctop 22836  Clsdccld 22959  Conncconn 23354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cld 22962  df-conn 23355

This theorem is referenced by:  conncn  23369  conncompclo  23378