Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsubclo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsubclo 21647
 Description: If a clopen set meets a connected subspace, it must contain the entire subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connsubclo.1 𝑋 = 𝐽
connsubclo.3 (𝜑𝐴𝑋)
connsubclo.4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
connsubclo.5 (𝜑𝐵𝐽)
connsubclo.6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
connsubclo.7 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
connsubclo (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem connsubclo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . 4 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
2 connsubclo.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
3 connsubclo.7 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
4 cldrcl 21249 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 connsubclo.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
76topopn 21129 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
9 connsubclo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9ssexd 5044 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 connsubclo.5 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐽)
12 elrestr 16486 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
135, 10, 11, 12syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
14 connsubclo.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
15 eqid 2778 . . . . . 6 (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)
16 ineq1 4030 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
1716rspceeqv 3529 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
183, 15, 17sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
196restcld 21395 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
205, 9, 19syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
2118, 20mpbird 249 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)))
221, 2, 13, 14, 21connclo 21638 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (𝐽t 𝐴))
236restuni 21385 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
245, 9, 23syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2522, 24eqtr4d 2817 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
26 sseqin2 4040 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
2725, 26sylibr 226 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ∪ cuni 4673  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↾t crest 16478  Topctop 21116  Clsdccld 21239  Conncconn 21634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-fin 8247  df-fi 8607  df-rest 16480  df-topgen 16501  df-top 21117  df-topon 21134  df-bases 21169  df-cld 21242  df-conn 21635 This theorem is referenced by:  conncn  21649  conncompclo  21658
 Copyright terms: Public domain W3C validator