MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsubclo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsubclo 23283
Description: If a clopen set meets a connected subspace, it must contain the entire subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connsubclo.1 𝑋 = 𝐽
connsubclo.3 (𝜑𝐴𝑋)
connsubclo.4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
connsubclo.5 (𝜑𝐵𝐽)
connsubclo.6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
connsubclo.7 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
connsubclo (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem connsubclo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
2 connsubclo.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
3 connsubclo.7 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
4 cldrcl 22885 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 connsubclo.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
76topopn 22763 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
9 connsubclo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9ssexd 5317 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
11 connsubclo.5 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐽)
12 elrestr 17383 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
135, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
14 connsubclo.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ ∅)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)
16 ineq1 4200 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
1716rspceeqv 3628 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
183, 15, 17sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴))
196restcld 23031 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
205, 9, 19syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)(𝐵𝐴) = (𝑥𝐴)))
2118, 20mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ (Clsd‘(𝐽t 𝐴)))
221, 2, 13, 14, 21connclo 23274 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = (𝐽t 𝐴))
236restuni 23021 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
245, 9, 23syl2anc 583 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
2522, 24eqtr4d 2769 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = 𝐴)
26 sseqin2 4210 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐴)
2725, 26sylibr 233 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  Vcvv 3468  cin 3942  wss 3943  c0 4317   cuni 4902  cfv 6537  (class class class)co 7405  t crest 17375  Topctop 22750  Clsdccld 22875  Conncconn 23270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-conn 23271
This theorem is referenced by:  conncn  23285  conncompclo  23294
  Copyright terms: Public domain W3C validator