MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  paste Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paste 22789
Description: Pasting lemma. If 𝐴 and 𝐡 are closed sets in 𝑋 with 𝐴 βˆͺ 𝐡 = 𝑋, then any function whose restrictions to 𝐴 and 𝐡 are continuous is continuous on all of 𝑋. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
paste.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
paste.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
paste.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
paste.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
paste.6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = 𝑋)
paste.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
paste.8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
paste.9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
paste (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem paste
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paste.7 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
2 paste.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = 𝑋)
32ineq2d 4211 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝑋))
4 indi 4272 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐴) βˆͺ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐡))
51ffund 6718 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
6 respreima 7064 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐴))
7 respreima 7064 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦) = ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐡))
86, 7uneq12d 4163 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦)) = (((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐴) βˆͺ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐡)))
95, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦)) = (((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐴) βˆͺ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝐡)))
104, 9eqtr4id 2791 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦)))
11 imassrn 6068 . . . . . . . . 9 (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ran ◑𝐹
12 dfdm4 5893 . . . . . . . . . 10 dom 𝐹 = ran ◑𝐹
13 fdm 6723 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
1412, 13eqtr3id 2786 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ran ◑𝐹 = 𝑋)
1511, 14sseqtrid 4033 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
161, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋)
17 df-ss 3964 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑋 ↔ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝑋) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
1816, 17sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑦) ∩ 𝑋) = (◑𝐹 β€œ 𝑦))
193, 10, 183eqtr3rd 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦)))
2019adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) = ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦)))
21 paste.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½))
22 paste.8 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
23 cnclima 22763 . . . . . . 7 (((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
2422, 23sylan 580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴)))
25 restcldr 22669 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐴))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2621, 24, 25syl2an2r 683 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
27 paste.5 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½))
28 paste.9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) Cn 𝐾))
29 cnclima 22763 . . . . . . 7 (((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐡) Cn 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡)))
3028, 29sylan 580 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡)))
31 restcldr 22669 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 β†Ύt 𝐡))) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
3227, 30, 31syl2an2r 683 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
33 uncld 22536 . . . . 5 (((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
3426, 32, 33syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ 𝑦) βˆͺ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐡) β€œ 𝑦)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
3520, 34eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Clsdβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
3635ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Clsdβ€˜πΎ)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))
37 cldrcl 22521 . . . 4 (𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3821, 37syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
39 cntop2 22736 . . . 4 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
4022, 39syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
41 paste.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
4241toptopon 22410 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
43 paste.2 . . . . 5 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
4443toptopon 22410 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
45 iscncl 22764 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Clsdβ€˜πΎ)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
4642, 44, 45syl2anb 598 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Clsdβ€˜πΎ)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
4738, 40, 46syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Clsdβ€˜πΎ)(◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ (Clsdβ€˜π½))))
481, 36, 47mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17362  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  Clsdccld 22511   Cn ccn 22719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722
This theorem is referenced by:  cnmpopc  24435  cvmliftlem10  34273
  Copyright terms: Public domain W3C validator