Theorem cldss 23007

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23004	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23005	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 689	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6493  Topctop 22871  Clsdccld 22994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-fv 6501  df-top 22872  df-cld 22997

This theorem is referenced by:  cldss2  23008  iincld  23017  uncld  23019  cldcls  23020  iuncld  23023  clsval2  23028  clsss3  23037  clsss2  23050  opncldf1  23062  restcldr  23152  lmcld  23281  nrmsep2  23334  nrmsep  23335  isnrm2  23336  regsep2  23354  cmpcld  23380  dfconn2  23397  conncompclo  23413  cldllycmp  23473  txcld  23581  ptcld  23591  imasncld  23669  kqcldsat  23711  kqnrmlem1  23721  kqnrmlem2  23722  nrmhmph  23772  ufildr  23909  metnrmlem1a  24837  metnrmlem1  24838  metnrmlem2  24839  metnrmlem3  24840  cnheiborlem  24934  cmetss  25296  bcthlem5  25308  cldssbrsiga  34350  clsun  36529  cldregopn  36532  pibt2  37750  mblfinlem3  37997  mblfinlem4  37998  ismblfin  37999  cmpfiiin  43146  kelac1  43512  stoweidlem18  46467  stoweidlem57  46506  restcls2lem  49403