Theorem cldss 23089

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23086	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23087	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 502	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 698	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6521  Topctop 22953  Clsdccld 23076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-fv 6529  df-top 22954  df-cld 23079

This theorem is referenced by:  cldss2  23090  iincld  23099  uncld  23101  cldcls  23102  iuncld  23105  clsval2  23110  clsss3  23119  clsss2  23132  opncldf1  23144  restcldr  23234  lmcld  23363  nrmsep2  23416  nrmsep  23417  isnrm2  23418  regsep2  23436  cmpcld  23462  dfconn2  23479  conncompclo  23495  cldllycmp  23555  txcld  23663  ptcld  23673  imasncld  23751  kqcldsat  23793  kqnrmlem1  23803  kqnrmlem2  23804  nrmhmph  23854  ufildr  23991  metnrmlem1a  24919  metnrmlem1  24920  metnrmlem2  24921  metnrmlem3  24922  cnheiborlem  25016  cmetss  25378  bcthlem5  25390  cldssbrsiga  34484  clsun  36688  cldregopn  36691  pibt2  37911  mblfinlem3  38158  mblfinlem4  38159  ismblfin  38160  cmpfiiin  43278  kelac1  43640  stoweidlem18  46592  stoweidlem57  46631  restcls2lem  49534