Theorem cldss 23347

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23344	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23345	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 504	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 701	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6538  Topctop 23211  Clsdccld 23334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-fv 6546  df-top 23212  df-cld 23337

This theorem is used by:  cldss2  23348  iincld  23357  uncld  23359  cldcls  23360  iuncld  23363  clsval2  23368  clsss3  23377  clsss2  23390  opncldf1  23402  restcldr  23492  lmcld  23621  nrmsep2  23674  nrmsep  23675  isnrm2  23676  regsep2  23694  cmpcld  23720  dfconn2  23737  conncompclo  23753  cldllycmp  23814  txcld  23922  ptcld  23932  imasncld  24010  kqcldsat  24052  kqnrmlem1  24062  kqnrmlem2  24063  nrmhmph  24113  ufildr  24250  metnrmlem1a  25178  metnrmlem1  25179  metnrmlem2  25180  metnrmlem3  25181  cnheiborlem  25275  cmetss  25637  bcthlem5  25649  cldssbrsiga  34820  clsun  37116  cldregopn  37119  pibt2  38340  mblfinlem3  38577  mblfinlem4  38578  ismblfin  38579  cmpfiiin  43707  kelac1  44064  stoweidlem18  47027  stoweidlem57  47066  restcls2lem  50020