Theorem cldss 23255

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23252	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23253	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 504	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 701	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  Topctop 23119  Clsdccld 23242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541  df-top 23120  df-cld 23245

This theorem is used by:  cldss2  23256  iincld  23265  uncld  23267  cldcls  23268  iuncld  23271  clsval2  23276  clsss3  23285  clsss2  23298  opncldf1  23310  restcldr  23400  lmcld  23529  nrmsep2  23582  nrmsep  23583  isnrm2  23584  regsep2  23602  cmpcld  23628  dfconn2  23645  conncompclo  23661  cldllycmp  23722  txcld  23830  ptcld  23840  imasncld  23918  kqcldsat  23960  kqnrmlem1  23970  kqnrmlem2  23971  nrmhmph  24021  ufildr  24158  metnrmlem1a  25086  metnrmlem1  25087  metnrmlem2  25088  metnrmlem3  25089  cnheiborlem  25183  cmetss  25545  bcthlem5  25557  cldssbrsiga  34699  clsun  36948  cldregopn  36951  pibt2  38172  mblfinlem3  38409  mblfinlem4  38410  ismblfin  38411  cmpfiiin  43543  kelac1  43905  stoweidlem18  46847  stoweidlem57  46886  restcls2lem  49840