Theorem cldss 23012

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23009	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23010	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 499	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 694	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  Topctop 22876  Clsdccld 22999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-fv 6493  df-top 22877  df-cld 23002

This theorem is referenced by:  cldss2  23013  iincld  23022  uncld  23024  cldcls  23025  iuncld  23028  clsval2  23033  clsss3  23042  clsss2  23055  opncldf1  23067  restcldr  23157  lmcld  23286  nrmsep2  23339  nrmsep  23340  isnrm2  23341  regsep2  23359  cmpcld  23385  dfconn2  23402  conncompclo  23418  cldllycmp  23478  txcld  23586  ptcld  23596  imasncld  23674  kqcldsat  23716  kqnrmlem1  23726  kqnrmlem2  23727  nrmhmph  23777  ufildr  23914  metnrmlem1a  24842  metnrmlem1  24843  metnrmlem2  24844  metnrmlem3  24845  cnheiborlem  24939  cmetss  25301  bcthlem5  25313  cldssbrsiga  34371  clsun  36556  cldregopn  36559  pibt2  37779  mblfinlem3  38026  mblfinlem4  38027  ismblfin  38028  cmpfiiin  43146  kelac1  43508  stoweidlem18  46461  stoweidlem57  46500  restcls2lem  49403