Theorem cldss 23238

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23235	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23236	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 504	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 701	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  Topctop 23102  Clsdccld 23225

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-top 23103  df-cld 23228

This theorem is used by:  cldss2  23239  iincld  23248  uncld  23250  cldcls  23251  iuncld  23254  clsval2  23259  clsss3  23268  clsss2  23281  opncldf1  23293  restcldr  23383  lmcld  23512  nrmsep2  23565  nrmsep  23566  isnrm2  23567  regsep2  23585  cmpcld  23611  dfconn2  23628  conncompclo  23644  cldllycmp  23705  txcld  23813  ptcld  23823  imasncld  23901  kqcldsat  23943  kqnrmlem1  23953  kqnrmlem2  23954  nrmhmph  24004  ufildr  24141  metnrmlem1a  25069  metnrmlem1  25070  metnrmlem2  25071  metnrmlem3  25072  cnheiborlem  25166  cmetss  25528  bcthlem5  25540  cldssbrsiga  34644  clsun  36898  cldregopn  36901  pibt2  38122  mblfinlem3  38369  mblfinlem4  38370  ismblfin  38371  cmpfiiin  43488  kelac1  43850  stoweidlem18  46792  stoweidlem57  46831  restcls2lem  49750