Theorem cldss 23402

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23399	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23400	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 504	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 701	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  Topctop 23266  Clsdccld 23389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-fv 6574  df-top 23267  df-cld 23392

This theorem is used by:  cldss2  23403  iincld  23412  uncld  23414  cldcls  23415  iuncld  23418  clsval2  23423  clsss3  23432  clsss2  23445  opncldf1  23457  restcldr  23547  lmcld  23676  nrmsep2  23729  nrmsep  23730  isnrm2  23731  regsep2  23749  cmpcld  23775  dfconn2  23792  conncompclo  23808  cldllycmp  23869  txcld  23977  ptcld  23987  imasncld  24065  kqcldsat  24107  kqnrmlem1  24117  kqnrmlem2  24118  nrmhmph  24168  ufildr  24305  metnrmlem1a  25233  metnrmlem1  25234  metnrmlem2  25235  metnrmlem3  25236  cnheiborlem  25330  cmetss  25692  bcthlem5  25704  cldssbrsiga  34931  clsun  37331  cldregopn  37334  pibt2  38608  mblfinlem3  38845  mblfinlem4  38846  ismblfin  38847  cmpfiiin  43974  kelac1  44331  stoweidlem18  47301  stoweidlem57  47340  restcls2lem  50358