Theorem cldss 22971

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22968	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 22969	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4861  ‘cfv 6490  Topctop 22835  Clsdccld 22958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-fv 6498  df-top 22836  df-cld 22961

This theorem is referenced by:  cldss2  22972  iincld  22981  uncld  22983  cldcls  22984  iuncld  22987  clsval2  22992  clsss3  23001  clsss2  23014  opncldf1  23026  restcldr  23116  lmcld  23245  nrmsep2  23298  nrmsep  23299  isnrm2  23300  regsep2  23318  cmpcld  23344  dfconn2  23361  conncompclo  23377  cldllycmp  23437  txcld  23545  ptcld  23555  imasncld  23633  kqcldsat  23675  kqnrmlem1  23685  kqnrmlem2  23686  nrmhmph  23736  ufildr  23873  metnrmlem1a  24801  metnrmlem1  24802  metnrmlem2  24803  metnrmlem3  24804  cnheiborlem  24907  cmetss  25270  bcthlem5  25282  cldssbrsiga  34293  clsun  36471  cldregopn  36474  pibt2  37561  mblfinlem3  37799  mblfinlem4  37800  ismblfin  37801  cmpfiiin  42881  kelac1  43247  stoweidlem18  46204  stoweidlem57  46243  restcls2lem  49100