Theorem cldss 23356

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23353	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23354	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 504	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 701	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6543  Topctop 23220  Clsdccld 23343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-top 23221  df-cld 23346

This theorem is used by:  cldss2  23357  iincld  23366  uncld  23368  cldcls  23369  iuncld  23372  clsval2  23377  clsss3  23386  clsss2  23399  opncldf1  23411  restcldr  23501  lmcld  23630  nrmsep2  23683  nrmsep  23684  isnrm2  23685  regsep2  23703  cmpcld  23729  dfconn2  23746  conncompclo  23762  cldllycmp  23823  txcld  23931  ptcld  23941  imasncld  24019  kqcldsat  24061  kqnrmlem1  24071  kqnrmlem2  24072  nrmhmph  24122  ufildr  24259  metnrmlem1a  25187  metnrmlem1  25188  metnrmlem2  25189  metnrmlem3  25190  cnheiborlem  25284  cmetss  25646  bcthlem5  25658  cldssbrsiga  34870  clsun  37240  cldregopn  37243  pibt2  38477  mblfinlem3  38714  mblfinlem4  38715  ismblfin  38716  cmpfiiin  43845  kelac1  44202  stoweidlem18  47164  stoweidlem57  47203  restcls2lem  50163