Theorem cldss 22967

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22964	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 22965	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 688	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883  ‘cfv 6531  Topctop 22831  Clsdccld 22954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-fv 6539  df-top 22832  df-cld 22957

This theorem is referenced by:  cldss2  22968  iincld  22977  uncld  22979  cldcls  22980  iuncld  22983  clsval2  22988  clsss3  22997  clsss2  23010  opncldf1  23022  restcldr  23112  lmcld  23241  nrmsep2  23294  nrmsep  23295  isnrm2  23296  regsep2  23314  cmpcld  23340  dfconn2  23357  conncompclo  23373  cldllycmp  23433  txcld  23541  ptcld  23551  imasncld  23629  kqcldsat  23671  kqnrmlem1  23681  kqnrmlem2  23682  nrmhmph  23732  ufildr  23869  metnrmlem1a  24798  metnrmlem1  24799  metnrmlem2  24800  metnrmlem3  24801  cnheiborlem  24904  cmetss  25268  bcthlem5  25280  cldssbrsiga  34218  clsun  36346  cldregopn  36349  pibt2  37435  mblfinlem3  37683  mblfinlem4  37684  ismblfin  37685  cmpfiiin  42720  kelac1  43087  stoweidlem18  46047  stoweidlem57  46086  restcls2lem  48887