Theorem cldss 23155

Description: A closed set is a subset of the underlying set of a topology. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldss	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem cldss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23152	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 23153	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbda 503	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 4	mpancom 700	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4876  ‘cfv 6537  Topctop 23019  Clsdccld 23142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-top 23020  df-cld 23145

This theorem is referenced by:  cldss2  23156  iincld  23165  uncld  23167  cldcls  23168  iuncld  23171  clsval2  23176  clsss3  23185  clsss2  23198  opncldf1  23210  restcldr  23300  lmcld  23429  nrmsep2  23482  nrmsep  23483  isnrm2  23484  regsep2  23502  cmpcld  23528  dfconn2  23545  conncompclo  23561  cldllycmp  23621  txcld  23729  ptcld  23739  imasncld  23817  kqcldsat  23859  kqnrmlem1  23869  kqnrmlem2  23870  nrmhmph  23920  ufildr  24057  metnrmlem1a  24985  metnrmlem1  24986  metnrmlem2  24987  metnrmlem3  24988  cnheiborlem  25082  cmetss  25444  bcthlem5  25456  cldssbrsiga  34522  clsun  36728  cldregopn  36731  pibt2  37951  mblfinlem3  38198  mblfinlem4  38199  ismblfin  38200  cmpfiiin  43320  kelac1  43682  stoweidlem18  46624  stoweidlem57  46663  restcls2lem  49576