Theorem climresd 45804

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
climresd	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climres 15607	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147   ↾ cres 5690  ‘cfv 6562  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875   ⇝ cli 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-clim 15520

This theorem is referenced by:  climresdm  45805