Theorem climresd 46623

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
climresd	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climres 15652	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880   ⇝ cli 15561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881  df-clim 15565

This theorem is used by:  climresdm  46624