Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climresd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climresd 45864
Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
climresd.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climresd.2 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
climresd (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climresd
StepHypRef Expression
1 climresd.1 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climresd.2 . 2 (𝜑𝐹𝑉)
3 climres 15611 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2108   class class class wbr 5143  cres 5687  cfv 6561  cz 12613  cuz 12878  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  climresdm  45865
  Copyright terms: Public domain W3C validator