Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climres 14921
 Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climres ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climres
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 resexg 5879 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
32adantl 485 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
4 simpr 488 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
5 simpl 486 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 fvres 6670 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
76adantl 485 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
81, 3, 4, 5, 7climeq 14913 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   class class class wbr 5047   ↾ cres 5538  ‘cfv 6336  ℤcz 11967  ℤ≥cuz 12229   ⇝ cli 14830 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-neg 10858  df-z 11968  df-uz 12230  df-clim 14834 This theorem is referenced by:  sumrb  15059  divcnvshft  15199  prodrblem2  15274  iscmet3lem3  23883  leibpilem2  25516  lgamcvg2  25629  divcnvlin  32982  radcnvrat  40854  hashnzfzclim  40862  climresmpt  42143  xlimclim2lem  42323  climxlim2  42330  climresd  42333
 Copyright terms: Public domain W3C validator