Theorem climres 15786

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climres	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climres

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		resexg 6034	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ V)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ V)
4		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
5		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		fvres 6935	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
8	1, 3, 4, 5, 7	climeq 15778	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005   ⇝ cli 15695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-neg 11583  df-z 12734  df-uz 13006  df-clim 15699

This theorem is used by:  sumrb  15923  divcnvshft  16068  prodrblem2  16142  iscmet3lem3  25666  leibpilem2  27326  lgamcvg2  27439  divcnvlin  36713  radcnvrat  45559  hashnzfzclim  45567  climresmpt  46942  xlimclim2lem  47122  climxlim2  47129  climresd  47132