MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climres 15523
Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climres ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climres
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 resexg 6026 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
32adantl 480 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
4 simpr 483 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
5 simpl 481 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 fvres 6909 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
76adantl 480 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
81, 3, 4, 5, 7climeq 15515 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472   class class class wbr 5147  cres 5677  cfv 6542  cz 12562  cuz 12826  cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-clim 15436
This theorem is referenced by:  sumrb  15663  divcnvshft  15805  prodrblem2  15879  iscmet3lem3  25038  leibpilem2  26682  lgamcvg2  26795  divcnvlin  35006  radcnvrat  43375  hashnzfzclim  43383  climresmpt  44673  xlimclim2lem  44853  climxlim2  44860  climresd  44863
  Copyright terms: Public domain W3C validator