Theorem dfxlim2 46620

Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfxlim2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
dfxlim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dfxlim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
dfxlim2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐴(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfxlim2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		dfxlim2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		dfxlim2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	dfxlim2v 46619	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))))
5		biid 264	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		breq2 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
7	6	rexralbidv 3233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
8		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
9	8	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
10		dfxlim2.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
12	10, 11	nffv 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
13		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
14		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
15	12, 13, 14	nfbr 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
16		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
17		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
18	17	breq1d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
19	15, 16, 18	cbvralw 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
20	9, 19	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
21	20	cbvrexvw 3246	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
22	7, 21	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
23	22	cbvralvw 3245	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
24	23	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
25		breq1 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
26	25	rexralbidv 3233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
27	8	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
28	14, 13, 12	nfbr 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)
29		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
30	17	breq2d 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
31	28, 29, 30	cbvralw 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
32	27, 31	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
33	32	cbvrexvw 3246	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
34	26, 33	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
35	34	cbvralvw 3245	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
36	35	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ↔ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	5, 24, 36	3orbi123i 1174	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))) ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
38	4, 37	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11114  +∞cpnf 11255  -∞cmnf 11256  ℝ^*cxr 11257   ≤ cle 11259  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878   ⇝ cli 15559  ~~>*clsxlim 46590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-rest 17497  df-topn 17498  df-topgen 17518  df-ordt 17577  df-ps 18644  df-tsr 18645  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-lm 23436  df-xms 24528  df-ms 24529  df-xlim 46591

This theorem is used by: (None)