Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfxlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfxlim2 45118
Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dfxlim2.k β„²π‘˜πΉ
dfxlim2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dfxlim2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dfxlim2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
dfxlim2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘₯   𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem dfxlim2
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfxlim2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2 dfxlim2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 dfxlim2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
41, 2, 3dfxlim2v 45117 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))))
5 biid 261 . . 3 (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)
6 breq2 5145 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
76rexralbidv 3214 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
8 fveq2 6884 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
98raleqdv 3319 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
10 dfxlim2.k . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜πΉ
11 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜π‘™
1210, 11nffv 6894 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™)
13 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜ ≀
14 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜π‘₯
1512, 13, 14nfbr 5188 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
16 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
17 fveq2 6884 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘˜))
1817breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
1915, 16, 18cbvralw 3297 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
209, 19bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
2120cbvrexvw 3229 . . . . . 6 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
227, 21bitrdi 287 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
2322cbvralvw 3228 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
2423anbi2i 622 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ↔ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
25 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2625rexralbidv 3214 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
278raleqdv 3319 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2814, 13, 12nfbr 5188 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™)
29 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑙 π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)
3017breq2d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑙 = π‘˜ β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3128, 29, 30cbvralw 3297 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3227, 31bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3332cbvrexvw 3229 . . . . . 6 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3426, 33bitrdi 287 . . . . 5 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
3534cbvralvw 3228 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
3635anbi2i 622 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ↔ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))
375, 24, 363orbi123i 1153 . 2 ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))) ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜))))
384, 37bitrdi 287 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„cr 11108  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823   ⇝ cli 15431  ~~>*clsxlim 45088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-rest 17374  df-topn 17375  df-topgen 17395  df-ordt 17453  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-lm 23083  df-xms 24176  df-ms 24177  df-xlim 45089
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator