Theorem dfxlim2 45808

Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfxlim2.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
dfxlim2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dfxlim2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
dfxlim2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfxlim2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		dfxlim2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		dfxlim2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	dfxlim2v 45807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))))
5		biid 261	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴)
6		breq2 5129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
7	6	rexralbidv 3210	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
8		fveq2 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
9	8	raleqdv 3310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
10		dfxlim2.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
11		nfcv 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
12	10, 11	nffv 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
13		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
14		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
15	12, 13, 14	nfbr 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
16		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
17		fveq2 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
18	17	breq1d 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
19	15, 16, 18	cbvralw 3290	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
20	9, 19	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
21	20	cbvrexvw 3225	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
22	7, 21	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
23	22	cbvralvw 3224	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
24	23	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))
25		breq1 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
26	25	rexralbidv 3210	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
27	8	raleqdv 3310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)))
28	14, 13, 12	nfbr 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙)
29		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)
30	17	breq2d 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
31	28, 29, 30	cbvralw 3290	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
32	27, 31	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
33	32	cbvrexvw 3225	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
34	26, 33	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
35	34	cbvralvw 3224	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))
36	35	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ↔ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))
37	5, 24, 36	3orbi123i 1156	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))) ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘))))
38	4, 37	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ⇝ 𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   class class class wbr 5125  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℝcr 11137  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  ℝ^*cxr 11277   ≤ cle 11279  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12861   ⇝ cli 15503  ~~>*clsxlim 45778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13374  df-ioc 13375  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fl 13815  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-rest 17443  df-topn 17444  df-topgen 17464  df-ordt 17522  df-ps 18585  df-tsr 18586  df-psmet 21323  df-xmet 21324  df-met 21325  df-bl 21326  df-mopn 21327  df-cnfld 21332  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-lm 23202  df-xms 24294  df-ms 24295  df-xlim 45779

This theorem is referenced by: (None)