Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfxlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfxlim2 40585
Description: An alternative definition for the convergence relation in the extended real numbers. This resembles what's found in most textbooks: three distinct definitions for the same symbol (limit of a sequence). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
dfxlim2.k 𝑘𝐹
dfxlim2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dfxlim2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dfxlim2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
dfxlim2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dfxlim2
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfxlim2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 dfxlim2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 dfxlim2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3dfxlim2v 40584 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙)))))
5 biid 251 . . 3 (𝐹𝐴𝐹𝐴)
6 breq2 4790 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
76rexralbidv 3206 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
8 fveq2 6330 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
98raleqdv 3293 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
10 dfxlim2.k . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐹
11 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙
1210, 11nffv 6337 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹𝑙)
13 nfcv 2913 . . . . . . . . . 10 𝑘
14 nfcv 2913 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑥
1512, 13, 14nfbr 4833 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
16 nfv 1995 . . . . . . . . 9 𝑙(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
17 fveq2 6330 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
1817breq1d 4796 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
1915, 16, 18cbvral 3316 . . . . . . . 8 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
209, 19syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2120cbvrexv 3321 . . . . . 6 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
227, 21syl6bb 276 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
2322cbvralv 3320 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
2423anbi2i 609 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
25 breq1 4789 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
2625rexralbidv 3206 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
278raleqdv 3293 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑙)))
2814, 13, 12nfbr 4833 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑥 ≤ (𝐹𝑙)
29 nfv 1995 . . . . . . . . 9 𝑙 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)
3017breq2d 4798 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3128, 29, 30cbvral 3316 . . . . . . . 8 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3227, 31syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3332cbvrexv 3321 . . . . . 6 (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑥 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3426, 33syl6bb 276 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
3534cbvralv 3320 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))
3635anbi2i 609 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙)) ↔ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))
375, 24, 363orbi123i 1159 . 2 ((𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖𝑍𝑙 ∈ (ℤ𝑖)𝑦 ≤ (𝐹𝑙))) ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘))))
384, 37syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹𝐴 ∨ (𝐴 = -∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∨ (𝐴 = +∞ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 ≤ (𝐹𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3o 1070   = wceq 1631  wcel 2145  wnfc 2900  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  wf 6025  cfv 6029  cr 10135  +∞cpnf 10271  -∞cmnf 10272  *cxr 10273  cle 10275  cz 11577  cuz 11886  cli 14416  ~~>*clsxlim 40555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-ordt 16362  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-lm 21247  df-xms 22338  df-ms 22339  df-xlim 40556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator