Theorem climresdm 41699

Description: A real function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresdm.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climresdm.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
climresdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ))

Proof of Theorem climresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resexg 5784	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ V)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ V)
3		fvexd 6558	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
4		climdm 14750	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
5	4	biimpi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7		climresdm.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
10	8, 9	climresd 41698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
11	6, 10	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
12	2, 3, 11	breldmd 5672	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
13		climresdm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
15		fvexd 6558	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ∈ V)
16		climdm 14750	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
17	16	biimpi 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
19	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19, 14	climresd 41698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
21	18, 20	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
22	14, 15, 21	breldmd 5672	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
23	12, 22	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   class class class wbr 4966  dom cdm 5448   ↾ cres 5450  ‘cfv 6230  ℤcz 11834  ℤ_≥cuz 12098   ⇝ cli 14680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-sup 8757  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-seq 13225  df-exp 13285  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684

This theorem is referenced by: (None)