Theorem climresdm 46307

Description: A real function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
climresdm.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climresdm.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
climresdm	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ))

Proof of Theorem climresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resexg 5986	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ V)
2	1	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ V)
3		fvexd 6846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
4		climdm 15511	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
5	4	bilani 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
6		climresdm.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
9	7, 8	climresd 46306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
10	5, 9	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
11	2, 3, 10	breldmd 5861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
12		climresdm.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
14		fvexd 6846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ∈ V)
15		climdm 15511	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
16	15	bilani 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
17	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	17, 13	climresd 46306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)))))
19	16, 18	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))))
20	13, 14, 19	breldmd 5861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
21	11, 20	impbida 807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   class class class wbr 5075  dom cdm 5621   ↾ cres 5623  ‘cfv 6489  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445

This theorem is referenced by: (None)