Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climresdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climresdm 42553
 Description: A real function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
climresdm.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climresdm.2 (𝜑𝐹𝑉)
Assertion
Ref Expression
climresdm (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ))

Proof of Theorem climresdm
StepHypRef Expression
1 resexg 5865 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
21adantl 485 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
3 fvexd 6665 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) ∈ V)
4 climdm 14910 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
54biimpi 219 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
65adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7 climresdm.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
108, 9climresd 42552 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹)))
116, 10mpbird 260 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
122, 3, 11breldmd 5746 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ )
13 climresdm.2 . . . 4 (𝜑𝐹𝑉)
1413adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
15 fvexd 6665 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ∈ V)
16 climdm 14910 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1716biimpi 219 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
1817adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
197adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2019, 14climresd 42552 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀)))))
2118, 20mpbid 235 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘(𝐹 ↾ (ℤ𝑀))))
2214, 15, 21breldmd 5746 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
2312, 22impbida 800 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ dom ⇝ ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5031  dom cdm 5520   ↾ cres 5522  ‘cfv 6327  ℤcz 11976  ℤ≥cuz 12238   ⇝ cli 14840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator