Theorem clselmap 44404

Description: The closure function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clselmap.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
clselmap.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
clselmap	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem clselmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clselmap.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		clselmap.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3	1, 2	clsf2 44403	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
4	1	topopn 22854	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5	4	pwexd 5325	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	5, 5	elmapd 8781	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ↔ 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Topctop 22841  clsccl 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-top 22842  df-cld 22967  df-cls 22969

This theorem is referenced by:  dssmapntrcls  44405  dssmapclsntr  44406