Theorem clselmap 38944

Description: The closure function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clselmap.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
clselmap.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
clselmap	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem clselmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clselmap.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		clselmap.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3	1, 2	clsf2 38943	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
4	1	topopn 20924	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		pwexg 4980	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
7	6, 6	elmapd 8021	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋) ↔ 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
8	3, 7	mpbird 247	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297  ∪ cuni 4574  ⟶wf 6025  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791   ↑_𝑚 cmap 8007  Topctop 20911  clsccl 21036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-map 8009  df-top 20912  df-cld 21037  df-cls 21039

This theorem is referenced by:  dssmapntrcls  38945  dssmapclsntr  38946