Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clselmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clselmap 38944
Description: The closure function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clselmap.x 𝑋 = 𝐽
clselmap.k 𝐾 = (cls‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
clselmap (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem clselmap
StepHypRef Expression
1 clselmap.x . . 3 𝑋 = 𝐽
2 clselmap.k . . 3 𝐾 = (cls‘𝐽)
31, 2clsf2 38943 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
41topopn 20924 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
5 pwexg 4980 . . . 4 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
76, 6elmapd 8021 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋) ↔ 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
83, 7mpbird 247 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4297   cuni 4574  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  𝑚 cmap 8007  Topctop 20911  clsccl 21036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-map 8009  df-top 20912  df-cld 21037  df-cls 21039
This theorem is referenced by:  dssmapntrcls  38945  dssmapclsntr  38946
  Copyright terms: Public domain W3C validator