Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dssmapclsntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dssmapclsntr 43472
Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 34740. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dssmapclsntr.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
dssmapclsntr.k 𝐾 = (clsβ€˜π½)
dssmapclsntr.i 𝐼 = (intβ€˜π½)
dssmapclsntr.o 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 βˆ– (π‘“β€˜(𝑏 βˆ– 𝑠))))))
dssmapclsntr.d 𝐷 = (π‘‚β€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
dssmapclsntr (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐾 = (π·β€˜πΌ))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr
StepHypRef Expression
1 dssmapclsntr.x . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
2 dssmapclsntr.k . . . . 5 𝐾 = (clsβ€˜π½)
3 dssmapclsntr.i . . . . 5 𝐼 = (intβ€˜π½)
4 dssmapclsntr.o . . . . 5 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 βˆ– (π‘“β€˜(𝑏 βˆ– 𝑠))))))
5 dssmapclsntr.d . . . . 5 𝐷 = (π‘‚β€˜π‘‹)
61, 2, 3, 4, 5dssmapntrcls 43471 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼 = (π·β€˜πΎ))
76eqcomd 2733 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (π·β€˜πΎ) = 𝐼)
81topopn 22782 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
94, 5, 8dssmapf1od 43364 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
101, 2clselmap 43470 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
11 f1ocnvfv 7281 . . . 4 ((𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)) β†’ ((π·β€˜πΎ) = 𝐼 β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = 𝐾))
129, 10, 11syl2anc 583 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π·β€˜πΎ) = 𝐼 β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = 𝐾))
137, 12mpd 15 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = 𝐾)
144, 5, 8dssmapnvod 43363 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ◑𝐷 = 𝐷)
1514fveq1d 6893 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = (π·β€˜πΌ))
1613, 15eqtr3d 2769 1 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐾 = (π·β€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Topctop 22769  intcnt 22895  clsccl 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8836  df-top 22770  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator