Theorem dssmapclsntr 44406

Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 35382. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dssmapclsntr.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
dssmapclsntr.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
dssmapclsntr.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
dssmapclsntr.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapclsntr.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dssmapclsntr	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dssmapclsntr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		dssmapclsntr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3		dssmapclsntr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
4		dssmapclsntr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
5		dssmapclsntr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)
6	1, 2, 3, 4, 5	dssmapntrcls 44405	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 = (𝐷‘𝐾))
7	6	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐷‘𝐾) = 𝐼)
8	1	topopn 22854	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	4, 5, 8	dssmapf1od 44298	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
10	1, 2	clselmap 44404	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
11		f1ocnvfv 7226	. . . 4 ⊢ ((𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)) → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
13	7, 12	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾)
14	4, 5, 8	dssmapnvod 44297	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ◡𝐷 = 𝐷)
15	14	fveq1d 6837	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼))
16	13, 15	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Topctop 22841  intcnt 22965  clsccl 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8769  df-top 22842  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969

This theorem is referenced by: (None)