Theorem dssmapclsntr 42865

Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 34186. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dssmapclsntr.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
dssmapclsntr.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
dssmapclsntr.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
dssmapclsntr.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapclsntr.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dssmapclsntr	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dssmapclsntr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		dssmapclsntr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3		dssmapclsntr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
4		dssmapclsntr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
5		dssmapclsntr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)
6	1, 2, 3, 4, 5	dssmapntrcls 42864	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 = (𝐷‘𝐾))
7	6	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐷‘𝐾) = 𝐼)
8	1	topopn 22399	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	4, 5, 8	dssmapf1od 42757	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
10	1, 2	clselmap 42863	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
11		f1ocnvfv 7272	. . . 4 ⊢ ((𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)) → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
13	7, 12	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾)
14	4, 5, 8	dssmapnvod 42756	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ◡𝐷 = 𝐷)
15	14	fveq1d 6890	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼))
16	13, 15	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944  𝒫 cpw 4601  ∪ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8816  Topctop 22386  intcnt 22512  clsccl 22513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-top 22387  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516

This theorem is referenced by: (None)