Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dssmapclsntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dssmapclsntr 39397
Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 31796. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dssmapclsntr.x 𝑋 = 𝐽
dssmapclsntr.k 𝐾 = (cls‘𝐽)
dssmapclsntr.i 𝐼 = (int‘𝐽)
dssmapclsntr.o 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏𝑠))))))
dssmapclsntr.d 𝐷 = (𝑂𝑋)
Assertion
Ref Expression
dssmapclsntr (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷𝐼))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr
StepHypRef Expression
1 dssmapclsntr.x . . . . 5 𝑋 = 𝐽
2 dssmapclsntr.k . . . . 5 𝐾 = (cls‘𝐽)
3 dssmapclsntr.i . . . . 5 𝐼 = (int‘𝐽)
4 dssmapclsntr.o . . . . 5 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏𝑚 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏𝑠))))))
5 dssmapclsntr.d . . . . 5 𝐷 = (𝑂𝑋)
61, 2, 3, 4, 5dssmapntrcls 39396 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐼 = (𝐷𝐾))
76eqcomd 2784 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐷𝐾) = 𝐼)
81topopn 21129 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
94, 5, 8dssmapf1od 39285 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐷:(𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))
101, 2clselmap 39395 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))
11 f1ocnvfv 6808 . . . 4 ((𝐷:(𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋)) → ((𝐷𝐾) = 𝐼 → (𝐷𝐼) = 𝐾))
129, 10, 11syl2anc 579 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝐷𝐾) = 𝐼 → (𝐷𝐼) = 𝐾))
137, 12mpd 15 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐷𝐼) = 𝐾)
144, 5, 8dssmapnvod 39284 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐷 = 𝐷)
1514fveq1d 6450 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐷𝐼) = (𝐷𝐼))
1613, 15eqtr3d 2816 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cdif 3789  𝒫 cpw 4379   cuni 4673  cmpt 4967  ccnv 5356  1-1-ontowf1o 6136  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑚 cmap 8142  Topctop 21116  intcnt 21240  clsccl 21241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-map 8144  df-top 21117  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator