Theorem dssmapclsntr 45073

Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 35893. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dssmapclsntr.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
dssmapclsntr.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
dssmapclsntr.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
dssmapclsntr.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapclsntr.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dssmapclsntr	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓, 𝑠, 𝑏)   𝐼(𝑓, 𝑠, 𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dssmapclsntr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		dssmapclsntr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3		dssmapclsntr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
4		dssmapclsntr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
5		dssmapclsntr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)
6	1, 2, 3, 4, 5	dssmapntrcls 45072	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 = (𝐷‘𝐾))
7	6	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐷‘𝐾) = 𝐼)
8	1	topopn 23186	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	4, 5, 8	dssmapf1od 44965	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
10	1, 2	clselmap 45071	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
11		f1ocnvfv 7274	. . . 4 ⊢ ((𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)) → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
13	7, 12	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾)
14	4, 5, 8	dssmapnvod 44964	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ◡𝐷 = 𝐷)
15	14	fveq1d 6875	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼))
16	13, 15	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825  Topctop 23173  intcnt 23297  clsccl 23298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8827  df-top 23174  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301

This theorem is used by: (None)