Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dssmapclsntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dssmapclsntr 42865
Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 34186. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dssmapclsntr.x 𝑋 = 𝐽
dssmapclsntr.k 𝐾 = (cls‘𝐽)
dssmapclsntr.i 𝐼 = (int‘𝐽)
dssmapclsntr.o 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏𝑠))))))
dssmapclsntr.d 𝐷 = (𝑂𝑋)
Assertion
Ref Expression
dssmapclsntr (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷𝐼))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr
StepHypRef Expression
1 dssmapclsntr.x . . . . 5 𝑋 = 𝐽
2 dssmapclsntr.k . . . . 5 𝐾 = (cls‘𝐽)
3 dssmapclsntr.i . . . . 5 𝐼 = (int‘𝐽)
4 dssmapclsntr.o . . . . 5 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏𝑠))))))
5 dssmapclsntr.d . . . . 5 𝐷 = (𝑂𝑋)
61, 2, 3, 4, 5dssmapntrcls 42864 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐼 = (𝐷𝐾))
76eqcomd 2738 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐷𝐾) = 𝐼)
81topopn 22399 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
94, 5, 8dssmapf1od 42757 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐷:(𝒫 𝑋m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋m 𝒫 𝑋))
101, 2clselmap 42863 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋m 𝒫 𝑋))
11 f1ocnvfv 7272 . . . 4 ((𝐷:(𝒫 𝑋m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋m 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋m 𝒫 𝑋)) → ((𝐷𝐾) = 𝐼 → (𝐷𝐼) = 𝐾))
129, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((𝐷𝐾) = 𝐼 → (𝐷𝐼) = 𝐾))
137, 12mpd 15 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐷𝐼) = 𝐾)
144, 5, 8dssmapnvod 42756 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐷 = 𝐷)
1514fveq1d 6890 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐷𝐼) = (𝐷𝐼))
1613, 15eqtr3d 2774 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  cdif 3944  𝒫 cpw 4601   cuni 4907  cmpt 5230  ccnv 5674  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  Topctop 22386  intcnt 22512  clsccl 22513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-top 22387  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator