Theorem dssmapclsntr 42880

Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 34198. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dssmapclsntr.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
dssmapclsntr.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
dssmapclsntr.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
dssmapclsntr.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapclsntr.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dssmapclsntr	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dssmapclsntr.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		dssmapclsntr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3		dssmapclsntr.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
4		dssmapclsntr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
5		dssmapclsntr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝑋)
6	1, 2, 3, 4, 5	dssmapntrcls 42879	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 = (𝐷‘𝐾))
7	6	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐷‘𝐾) = 𝐼)
8	1	topopn 22408	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9	4, 5, 8	dssmapf1od 42772	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
10	1, 2	clselmap 42878	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
11		f1ocnvfv 7276	. . . 4 ⊢ ((𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-onto→(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)) → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
12	9, 10, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐷‘𝐾) = 𝐼 → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾))
13	7, 12	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = 𝐾)
14	4, 5, 8	dssmapnvod 42771	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ◡𝐷 = 𝐷)
15	14	fveq1d 6894	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (◡𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼))
16	13, 15	eqtr3d 2775	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 = (𝐷‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  ^◡ccnv 5676  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  Topctop 22395  intcnt 22521  clsccl 22522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-top 22396  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525

This theorem is referenced by: (None)