Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dssmapclsntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dssmapclsntr 43620
Description: The closure and interior operators on a topology are duals of each other. See also kur14lem2 34870. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dssmapclsntr.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
dssmapclsntr.k 𝐾 = (clsβ€˜π½)
dssmapclsntr.i 𝐼 = (intβ€˜π½)
dssmapclsntr.o 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 βˆ– (π‘“β€˜(𝑏 βˆ– 𝑠))))))
dssmapclsntr.d 𝐷 = (π‘‚β€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
dssmapclsntr (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐾 = (π·β€˜πΌ))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑏,𝑓,𝑠   𝑓,𝐾,𝑠   𝑋,𝑏,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapclsntr
StepHypRef Expression
1 dssmapclsntr.x . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
2 dssmapclsntr.k . . . . 5 𝐾 = (clsβ€˜π½)
3 dssmapclsntr.i . . . . 5 𝐼 = (intβ€˜π½)
4 dssmapclsntr.o . . . . 5 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 βˆ– (π‘“β€˜(𝑏 βˆ– 𝑠))))))
5 dssmapclsntr.d . . . . 5 𝐷 = (π‘‚β€˜π‘‹)
61, 2, 3, 4, 5dssmapntrcls 43619 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐼 = (π·β€˜πΎ))
76eqcomd 2731 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (π·β€˜πΎ) = 𝐼)
81topopn 22821 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
94, 5, 8dssmapf1od 43512 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
101, 2clselmap 43618 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))
11 f1ocnvfv 7281 . . . 4 ((𝐷:(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)–1-1-ontoβ†’(𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋)) β†’ ((π·β€˜πΎ) = 𝐼 β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = 𝐾))
129, 10, 11syl2anc 582 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π·β€˜πΎ) = 𝐼 β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = 𝐾))
137, 12mpd 15 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = 𝐾)
144, 5, 8dssmapnvod 43511 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ◑𝐷 = 𝐷)
1514fveq1d 6892 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ (β—‘π·β€˜πΌ) = (π·β€˜πΌ))
1613, 15eqtr3d 2767 1 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐾 = (π·β€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938  π’« cpw 4599  βˆͺ cuni 4904   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  Topctop 22808  intcnt 22934  clsccl 22935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8840  df-top 22809  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator