Theorem cmnbascntr 19771

Description: The base set of a commutative monoid is its center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmnbascntr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmnbascntr.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cmnbascntr	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Proof of Theorem cmnbascntr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnbascntr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
2		cmnbascntr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4	2, 3	cntrval 19285	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = (Cntr‘𝐺)
5		ssid 3945	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	2, 6, 3	cntzval 19287	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐵 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)})
8	5, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
9	1, 4, 8	3eqtr2i 2766	. 2 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
10	2, 6	cmncom 19764	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	10	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	12	rabeqcda 3401	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)} = 𝐵)
14	9, 13	eqtr2id 2785	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Cntzccntz 19281  Cntrccntr 19282  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-cntz 19283  df-cntr 19284  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  crngbascntr  20228