Theorem cmnbascntr 19712

Description: The base set of a commutative monoid is its center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmnbascntr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmnbascntr.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cmnbascntr	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Proof of Theorem cmnbascntr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnbascntr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
2		cmnbascntr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4	2, 3	cntrval 19226	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = (Cntr‘𝐺)
5		ssid 3952	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	2, 6, 3	cntzval 19228	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐵 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)})
8	5, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
9	1, 4, 8	3eqtr2i 2760	. 2 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
10	2, 6	cmncom 19705	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	10	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	12	rabeqcda 3406	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)} = 𝐵)
14	9, 13	eqtr2id 2779	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  Cntzccntz 19222  Cntrccntr 19223  CMndccmn 19687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-cntz 19224  df-cntr 19225  df-cmn 19689

This theorem is referenced by:  crngbascntr  20169