Theorem cmnbascntr 19932

Description: The base set of a commutative monoid is its center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmnbascntr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmnbascntr.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cmnbascntr	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Proof of Theorem cmnbascntr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnbascntr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
2		cmnbascntr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4	2, 3	cntrval 19446	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = (Cntr‘𝐺)
5		ssid 3953	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	2, 6, 3	cntzval 19448	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐵 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)})
8	5, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
9	1, 4, 8	3eqtr2i 2789	. 2 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
10	2, 6	cmncom 19925	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	10	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	12	rabeqcda 3423	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)} = 𝐵)
14	9, 13	eqtr2id 2808	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Cntzccntz 19442  Cntrccntr 19443  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-cntz 19444  df-cntr 19445  df-cmn 19909

This theorem is used by:  crngbascntr  20395