![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cmnbascntr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The base set of a commutative monoid is its center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
cmnbascntr.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
cmnbascntr.z | โข ๐ = (Cntrโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
cmnbascntr | โข (๐บ โ CMnd โ ๐ต = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cmnbascntr.z | . . 3 โข ๐ = (Cntrโ๐บ) | |
2 | cmnbascntr.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
3 | eqid 2725 | . . . 4 โข (Cntzโ๐บ) = (Cntzโ๐บ) | |
4 | 2, 3 | cntrval 19274 | . . 3 โข ((Cntzโ๐บ)โ๐ต) = (Cntrโ๐บ) |
5 | ssid 3995 | . . . 4 โข ๐ต โ ๐ต | |
6 | eqid 2725 | . . . . 5 โข (+gโ๐บ) = (+gโ๐บ) | |
7 | 2, 6, 3 | cntzval 19276 | . . . 4 โข (๐ต โ ๐ต โ ((Cntzโ๐บ)โ๐ต) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ(+gโ๐บ)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐บ)๐ฅ)}) |
8 | 5, 7 | ax-mp 5 | . . 3 โข ((Cntzโ๐บ)โ๐ต) = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ(+gโ๐บ)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐บ)๐ฅ)} |
9 | 1, 4, 8 | 3eqtr2i 2759 | . 2 โข ๐ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ(+gโ๐บ)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐บ)๐ฅ)} |
10 | 2, 6 | cmncom 19757 | . . . . 5 โข ((๐บ โ CMnd โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ(+gโ๐บ)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐บ)๐ฅ)) |
11 | 10 | 3expa 1115 | . . . 4 โข (((๐บ โ CMnd โง ๐ฅ โ ๐ต) โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ(+gโ๐บ)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐บ)๐ฅ)) |
12 | 11 | ralrimiva 3136 | . . 3 โข ((๐บ โ CMnd โง ๐ฅ โ ๐ต) โ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ(+gโ๐บ)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐บ)๐ฅ)) |
13 | 12 | rabeqcda 3431 | . 2 โข (๐บ โ CMnd โ {๐ฅ โ ๐ต โฃ โ๐ฆ โ ๐ต (๐ฅ(+gโ๐บ)๐ฆ) = (๐ฆ(+gโ๐บ)๐ฅ)} = ๐ต) |
14 | 9, 13 | eqtr2id 2778 | 1 โข (๐บ โ CMnd โ ๐ต = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3051 {crab 3419 โ wss 3939 โcfv 6543 (class class class)co 7416 Basecbs 17179 +gcplusg 17232 Cntzccntz 19270 Cntrccntr 19271 CMndccmn 19739 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7419 df-cntz 19272 df-cntr 19273 df-cmn 19741 |
This theorem is referenced by: crngbascntr 20200 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |