Theorem cmnbascntr 19824

Description: The base set of a commutative monoid is its center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmnbascntr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmnbascntr.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cmnbascntr	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Proof of Theorem cmnbascntr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnbascntr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
2		cmnbascntr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4	2, 3	cntrval 19338	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = (Cntr‘𝐺)
5		ssid 4005	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	2, 6, 3	cntzval 19340	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐵 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)})
8	5, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
9	1, 4, 8	3eqtr2i 2770	. 2 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
10	2, 6	cmncom 19817	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	10	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	12	rabeqcda 3447	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)} = 𝐵)
14	9, 13	eqtr2id 2789	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  {crab 3435   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  Cntzccntz 19334  Cntrccntr 19335  CMndccmn 19799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-cntz 19336  df-cntr 19337  df-cmn 19801

This theorem is referenced by:  crngbascntr  20254