MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmnbascntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmnbascntr 19764
Description: The base set of a commutative monoid is its center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cmnbascntr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cmnbascntr.z ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
cmnbascntr (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐ต = ๐‘)

Proof of Theorem cmnbascntr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnbascntr.z . . 3 ๐‘ = (Cntrโ€˜๐บ)
2 cmnbascntr.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
3 eqid 2725 . . . 4 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
42, 3cntrval 19274 . . 3 ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜๐ต) = (Cntrโ€˜๐บ)
5 ssid 3995 . . . 4 ๐ต โІ ๐ต
6 eqid 2725 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
72, 6, 3cntzval 19276 . . . 4 (๐ต โІ ๐ต โ†’ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜๐ต) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)})
85, 7ax-mp 5 . . 3 ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜๐ต) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)}
91, 4, 83eqtr2i 2759 . 2 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)}
102, 6cmncom 19757 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))
11103expa 1115 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))
1211ralrimiva 3136 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))
1312rabeqcda 3431 . 2 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)} = ๐ต)
149, 13eqtr2id 2778 1 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐ต = ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  {crab 3419   โІ wss 3939  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Cntzccntz 19270  Cntrccntr 19271  CMndccmn 19739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-cntz 19272  df-cntr 19273  df-cmn 19741
This theorem is referenced by:  crngbascntr  20200
  Copyright terms: Public domain W3C validator