Theorem cmnbascntr 19898

Description: The base set of a commutative monoid is its center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmnbascntr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cmnbascntr.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cmnbascntr	⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

Proof of Theorem cmnbascntr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnbascntr.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝐺)
2		cmnbascntr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
4	2, 3	cntrval 19412	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = (Cntr‘𝐺)
5		ssid 3960	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	2, 6, 3	cntzval 19414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐵 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)})
8	5, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
9	1, 4, 8	3eqtr2i 2794	. 2 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)}
10	2, 6	cmncom 19891	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
11	10	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
12	11	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
13	12	rabeqcda 3429	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)} = 𝐵)
14	9, 13	eqtr2id 2813	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐵 = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  Cntzccntz 19408  Cntrccntr 19409  CMndccmn 19873

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-cntz 19410  df-cntr 19411  df-cmn 19875

This theorem is used by:  crngbascntr  20361