Theorem cncfdmsn 46645

Description: A complex function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cncfdmsn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cncfdmsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfdmsn 46637	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
2		snssi 4756	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ⊆ ℂ)
3		snssi 4756	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → {𝐵} ⊆ ℂ)
4		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴})
6		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})
7	4, 5, 6	cncfcn 25106	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℂ ∧ {𝐵} ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
8	2, 3, 7	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
9	4	cnfldtopon 24976	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		restsn2 23365	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
12	9, 10, 11	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		restsn2 23365	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
15	9, 13, 14	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
16	12, 15	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})) = (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
17	8, 16	eqtr2d 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}) = ({𝐴}–cn→{𝐵}))
18	1, 17	eleqtrd 2868	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   ↾_t crest 17498  TopOpenctopn 17499  ℂ_fldccnfld 21559  TopOnctopon 23104   Cn ccn 23418  –cn→ccncf 25072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-rest 17500  df-topn 17501  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-xms 24514  df-ms 24515  df-cncf 25074

This theorem is used by:  cncfiooicc  46649