Theorem cncfdmsn 43431

Description: A complex function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cncfdmsn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cncfdmsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfdmsn 43423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
2		snssi 4741	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ⊆ ℂ)
3		snssi 4741	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → {𝐵} ⊆ ℂ)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴})
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})
7	4, 5, 6	cncfcn 24073	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℂ ∧ {𝐵} ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
8	2, 3, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
9	4	cnfldtopon 23946	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		restsn2 22322	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		restsn2 22322	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
15	9, 13, 14	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
16	12, 15	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})) = (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
17	8, 16	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}) = ({𝐴}–cn→{𝐵}))
18	1, 17	eleqtrd 2841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ℂ_fldccnfld 20597  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375  –cn→ccncf 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-cncf 24041

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  43435