Theorem cncfdmsn 43391

Description: A complex function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cncfdmsn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cncfdmsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfdmsn 43383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
2		snssi 4743	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ⊆ ℂ)
3		snssi 4743	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → {𝐵} ⊆ ℂ)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴})
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})
7	4, 5, 6	cncfcn 24062	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℂ ∧ {𝐵} ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
8	2, 3, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
9	4	cnfldtopon 23935	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		restsn2 22311	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		restsn2 22311	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
15	9, 13, 14	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
16	12, 15	oveq12d 7287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})) = (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
17	8, 16	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}) = ({𝐴}–cn→{𝐵}))
18	1, 17	eleqtrd 2841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3888  𝒫 cpw 4535  {csn 4563   ↦ cmpt 5158  ‘cfv 6428  (class class class)co 7269  ℂcc 10858   ↾_t crest 17120  TopOpenctopn 17121  ℂ_fldccnfld 20586  TopOnctopon 22048   Cn ccn 22364  –cn→ccncf 24028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-pre-sup 10938

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-fi 9159  df-sup 9190  df-inf 9191  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-q 12678  df-rp 12720  df-xneg 12837  df-xadd 12838  df-xmul 12839  df-fz 13229  df-seq 13711  df-exp 13772  df-cj 14799  df-re 14800  df-im 14801  df-sqrt 14935  df-abs 14936  df-struct 16837  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-starv 16966  df-tset 16970  df-ple 16971  df-ds 16973  df-unif 16974  df-rest 17122  df-topn 17123  df-topgen 17143  df-psmet 20578  df-xmet 20579  df-met 20580  df-bl 20581  df-mopn 20582  df-cnfld 20587  df-top 22032  df-topon 22049  df-topsp 22071  df-bases 22085  df-cn 22367  df-cnp 22368  df-xms 23462  df-ms 23463  df-cncf 24030

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  43395