Theorem cncfdmsn 40618

Description: A complex function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cncfdmsn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cncfdmsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfdmsn 40610	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
2		snssi 4475	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ⊆ ℂ)
3		snssi 4475	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → {𝐵} ⊆ ℂ)
4		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴})
6		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})
7	4, 5, 6	cncfcn 22931	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℂ ∧ {𝐵} ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
8	2, 3, 7	syl2an 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
9	4	cnfldtopon 22805	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl 468	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		restsn2 21195	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
12	9, 10, 11	sylancr 575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
13		simpr 471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		restsn2 21195	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
15	9, 13, 14	sylancr 575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
16	12, 15	oveq12d 6813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})) = (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
17	8, 16	eqtr2d 2806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}) = ({𝐴}–cn→{𝐵}))
18	1, 17	eleqtrd 2852	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4298  {csn 4317   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  (class class class)co 6795  ℂcc 10139   ↾_t crest 16288  TopOpenctopn 16289  ℂ_fldccnfld 19960  TopOnctopon 20934   Cn ccn 21248  –cn→ccncf 22898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-rest 16290  df-topn 16291  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-xms 22344  df-ms 22345  df-cncf 22900

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  40622