Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfdmsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfdmsn 45307
Description: A complex function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cncfdmsn ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝐡) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝐡}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡

Proof of Theorem cncfdmsn
StepHypRef Expression
1 cnfdmsn 45299 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝐡) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐡}))
2 snssi 4816 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ {𝐴} βŠ† β„‚)
3 snssi 4816 . . . 4 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
4 eqid 2728 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5 eqid 2728 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐴}) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐴})
6 eqid 2728 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐡}) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐡})
74, 5, 6cncfcn 24850 . . . 4 (({𝐴} βŠ† β„‚ ∧ {𝐡} βŠ† β„‚) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝐡}) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐴}) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐡})))
82, 3, 7syl2an 594 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ({𝐴}–cnβ†’{𝐡}) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐴}) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐡})))
94cnfldtopon 24719 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
10 simpl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11 restsn2 23095 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
129, 10, 11sylancr 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
13 simpr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
14 restsn2 23095 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐡}) = 𝒫 {𝐡})
159, 13, 14sylancr 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐡}) = 𝒫 {𝐡})
1612, 15oveq12d 7444 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐴}) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt {𝐡})) = (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐡}))
178, 16eqtr2d 2769 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐡}) = ({𝐴}–cnβ†’{𝐡}))
181, 17eleqtrd 2831 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ {𝐴} ↦ 𝐡) ∈ ({𝐴}–cnβ†’{𝐡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148  β€“cnβ†’ccncf 24816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-cncf 24818
This theorem is referenced by:  cncfiooicc  45311
  Copyright terms: Public domain W3C validator