Theorem cncfdmsn 45175

Description: A complex function with a singleton domain is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cncfdmsn	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cncfdmsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfdmsn 45167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
2		snssi 4806	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝐴} ⊆ ℂ)
3		snssi 4806	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → {𝐵} ⊆ ℂ)
4		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴})
6		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})
7	4, 5, 6	cncfcn 24785	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℂ ∧ {𝐵} ⊆ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
8	2, 3, 7	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({𝐴}–cn→{𝐵}) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})))
9	4	cnfldtopon 24654	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		restsn2 23030	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
12	9, 10, 11	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		restsn2 23030	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
15	9, 13, 14	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵}) = 𝒫 {𝐵})
16	12, 15	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐴}) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t {𝐵})) = (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}))
17	8, 16	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝒫 {𝐴} Cn 𝒫 {𝐵}) = ({𝐴}–cn→{𝐵}))
18	1, 17	eleqtrd 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) ∈ ({𝐴}–cn→{𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110   ↾_t crest 17375  TopOpenctopn 17376  ℂ_fldccnfld 21240  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083  –cn→ccncf 24751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182  df-cncf 24753

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  45179