Theorem ablcntzd 19790

Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcntzd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ablcntzd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcntzd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 19061	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5		ablcntzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablcmn 19720	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		ablcntzd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	2	subgss 19061	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11		ablcntzd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	2, 11	cntzcmn 19773	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
13	7, 10, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
14	4, 13	sseqtrrd 3972	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  SubGrpcsubg 19054  Cntzccntz 19248  CMndccmn 19713  Abelcabl 19714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716

This theorem is referenced by:  lsmsubg2  19792  ablfacrp2  20002  ablfac1b  20005  pgpfaclem1  20016  pgpfaclem2  20017  pj1lmhm  21056  pj1lmhm2  21057  lvecindp  21097  lvecindp2  21098  pjdm2  21670  pjf2  21673  pjfo  21674  lshpsmreu  39437  lshpkrlem5  39442