Theorem ablcntzd 19926

Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcntzd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ablcntzd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcntzd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 19192	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5		ablcntzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablcmn 19856	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		ablcntzd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	2	subgss 19192	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11		ablcntzd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	2, 11	cntzcmn 19909	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
13	7, 10, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
14	4, 13	sseqtrrd 3973	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  SubGrpcsubg 19185  Cntzccntz 19384  CMndccmn 19849  Abelcabl 19850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852

This theorem is referenced by:  lsmsubg2  19928  ablfacrp2  20138  ablfac1b  20141  pgpfaclem1  20152  pgpfaclem2  20153  pj1lmhm  21200  pj1lmhm2  21201  lvecindp  21241  lvecindp2  21242  pjdm2  21840  pjf2  21843  pjfo  21844  lshpsmreu  39851  lshpkrlem5  39856