Theorem ablcntzd 19988

Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcntzd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ablcntzd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcntzd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 19254	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5		ablcntzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablcmn 19918	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		ablcntzd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	2	subgss 19254	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11		ablcntzd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	2, 11	cntzcmn 19971	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
13	7, 10, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
14	4, 13	sseqtrrd 3971	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  SubGrpcsubg 19247  Cntzccntz 19446  CMndccmn 19911  Abelcabl 19912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-subg 19250  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914

This theorem is used by:  lsmsubg2  19990  ablfacrp2  20200  ablfac1b  20203  pgpfaclem1  20214  pgpfaclem2  20215  pj1lmhm  21288  pj1lmhm2  21289  lvecindp  21329  lvecindp2  21330  pjdm2  21928  pjf2  21931  pjfo  21932  lshpsmreu  39984  lshpkrlem5  39989