Theorem ablcntzd 19373

Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcntzd.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ablcntzd	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcntzd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	subgss 18671	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5		ablcntzd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablcmn 19308	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		ablcntzd.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	2	subgss 18671	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11		ablcntzd.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	2, 11	cntzcmn 19356	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
13	7, 10, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘𝑈) = (Base‘𝐺))
14	4, 13	sseqtrrd 3958	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  SubGrpcsubg 18664  Cntzccntz 18836  CMndccmn 19301  Abelcabl 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304

This theorem is referenced by:  lsmsubg2  19375  ablfacrp2  19585  ablfac1b  19588  pgpfaclem1  19599  pgpfaclem2  19600  pj1lmhm  20277  pj1lmhm2  20278  lvecindp  20315  lvecindp2  20316  pjdm2  20828  pjf2  20831  pjfo  20832  lshpsmreu  37050  lshpkrlem5  37055