MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablcntzd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablcntzd 18977
Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcntzd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ablcntzd (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd
StepHypRef Expression
1 ablcntzd.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32subgss 18280 . . 3 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5 ablcntzd.a . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
6 ablcmn 18913 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
8 ablcntzd.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
92subgss 18280 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11 ablcntzd.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
122, 11cntzcmn 18960 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
137, 10, 12syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
144, 13sseqtrrd 3994 1 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  cfv 6343  Basecbs 16483  SubGrpcsubg 18273  Cntzccntz 18445  CMndccmn 18906  Abelcabl 18907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909
This theorem is referenced by:  lsmsubg2  18979  ablfacrp2  19189  ablfac1b  19192  pgpfaclem1  19203  pgpfaclem2  19204  pj1lmhm  19872  pj1lmhm2  19873  lvecindp  19910  lvecindp2  19911  pjdm2  20855  pjf2  20858  pjfo  20859  lshpsmreu  36350  lshpkrlem5  36355
  Copyright terms: Public domain W3C validator