Theorem submcmn2 19862

Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
submcmn2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submcmn2	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))

Proof of Theorem submcmn2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgabl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	submbas 18831	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	ressplusg 17303	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	4	oveqd 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
6	4	oveqd 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
7	5, 6	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
8	2, 7	raleqbidv 3335	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
9	2, 8	raleqbidv 3335	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	submss 18826	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		submcmn2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	10, 3, 12	sscntz 19349	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
14	11, 11, 13	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
15	1	submmnd 18830	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
18	16, 17	iscmn 19812	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
19	18	baib 543	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
20	15, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
21	9, 14, 20	3bitr4rd 314	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  +_gcplusg 17269  Mndcmnd 18751  SubMndcsubmnd 18799  Cntzccntz 19338  CMndccmn 19803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-cntz 19340  df-cmn 19805

This theorem is referenced by:  cntzspan  19867  gsumzsplit  19950  gsumzoppg  19967  gsumpt  19985