MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submcmn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submcmn2 19701
Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
submcmn2.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
submcmn2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†)))

Proof of Theorem submcmn2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
21submbas 18691 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
41, 3ressplusg 17231 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π»))
54oveqd 7422 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦))
64oveqd 7422 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯))
75, 6eqeq12d 2748 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ (π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
82, 7raleqbidv 3342 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
92, 8raleqbidv 3342 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
10 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
1110submss 18686 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
12 submcmn2.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
1310, 3, 12sscntz 19184 . . 3 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
1411, 11, 13syl2anc 584 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
151submmnd 18690 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
16 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
17 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
1816, 17iscmn 19651 . . . 4 (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
1918baib 536 . . 3 (𝐻 ∈ Mnd β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
2015, 19syl 17 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
219, 14, 203bitr4rd 311 1 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  Mndcmnd 18621  SubMndcsubmnd 18666  Cntzccntz 19173  CMndccmn 19642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-cntz 19175  df-cmn 19644
This theorem is referenced by:  cntzspan  19706  gsumzsplit  19789  gsumzoppg  19806  gsumpt  19824
  Copyright terms: Public domain W3C validator