MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submcmn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submcmn2 19798
Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
submcmn2.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
submcmn2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†)))

Proof of Theorem submcmn2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
21submbas 18770 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
3 eqid 2725 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
41, 3ressplusg 17270 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π»))
54oveqd 7433 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦))
64oveqd 7433 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯))
75, 6eqeq12d 2741 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ (π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
82, 7raleqbidv 3330 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
92, 8raleqbidv 3330 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
10 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
1110submss 18765 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
12 submcmn2.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
1310, 3, 12sscntz 19281 . . 3 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
1411, 11, 13syl2anc 582 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
151submmnd 18769 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
16 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
17 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
1816, 17iscmn 19748 . . . 4 (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
1918baib 534 . . 3 (𝐻 ∈ Mnd β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
2015, 19syl 17 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
219, 14, 203bitr4rd 311 1 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  +gcplusg 17232  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18738  Cntzccntz 19270  CMndccmn 19739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-cntz 19272  df-cmn 19741
This theorem is referenced by:  cntzspan  19803  gsumzsplit  19886  gsumzoppg  19903  gsumpt  19921
  Copyright terms: Public domain W3C validator