Theorem submcmn2 19805

Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
submcmn2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submcmn2	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))

Proof of Theorem submcmn2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgabl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	submbas 18773	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	ressplusg 17245	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	4	oveqd 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
6	4	oveqd 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
7	5, 6	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
8	2, 7	raleqbidv 3312	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
9	2, 8	raleqbidv 3312	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	submss 18768	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		submcmn2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	10, 3, 12	sscntz 19292	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
14	11, 11, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
15	1	submmnd 18772	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
18	16, 17	iscmn 19755	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
19	18	baib 535	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
20	15, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
21	9, 14, 20	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_gcplusg 17211  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18741  Cntzccntz 19281  CMndccmn 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-cntz 19283  df-cmn 19748

This theorem is referenced by:  cntzspan  19810  gsumzsplit  19893  gsumzoppg  19910  gsumpt  19928