Theorem submcmn2 18959

Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
submcmn2.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submcmn2	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))

Proof of Theorem submcmn2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgabl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	submbas 17979	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
3		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	ressplusg 16612	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	4	oveqd 7173	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
6	4	oveqd 7173	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
7	5, 6	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
8	2, 7	raleqbidv 3401	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
9	2, 8	raleqbidv 3401	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	10	submss 17974	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12		submcmn2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
13	10, 3, 12	sscntz 18456	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
14	11, 11, 13	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
15	1	submmnd 17978	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
16		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
18	16, 17	iscmn 18914	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
19	18	baib 538	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
20	15, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
21	9, 14, 20	3bitr4rd 314	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483   ↾_s cress 16484  +_gcplusg 16565  Mndcmnd 17911  SubMndcsubmnd 17955  Cntzccntz 18445  CMndccmn 18906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-cntz 18447  df-cmn 18908

This theorem is referenced by:  cntzspan  18964  gsumzsplit  19047  gsumzoppg  19064  gsumpt  19082