MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submcmn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submcmn2 19759
Description: A submonoid is commutative iff it is a subset of its own centralizer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
submcmn2.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
submcmn2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†)))

Proof of Theorem submcmn2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
21submbas 18739 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π»))
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
41, 3ressplusg 17244 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π»))
54oveqd 7422 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦))
64oveqd 7422 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯))
75, 6eqeq12d 2742 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ (π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
82, 7raleqbidv 3336 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
92, 8raleqbidv 3336 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
10 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
1110submss 18734 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
12 submcmn2.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
1310, 3, 12sscntz 19242 . . 3 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
1411, 11, 13syl2anc 583 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
151submmnd 18738 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
16 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
17 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
1816, 17iscmn 19709 . . . 4 (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
1918baib 535 . . 3 (𝐻 ∈ Mnd β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
2015, 19syl 17 . 2 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(+gβ€˜π»)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π»)π‘₯)))
219, 14, 203bitr4rd 312 1 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐻 ∈ CMnd ↔ 𝑆 βŠ† (π‘β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712  Cntzccntz 19231  CMndccmn 19700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-cntz 19233  df-cmn 19702
This theorem is referenced by:  cntzspan  19764  gsumzsplit  19847  gsumzoppg  19864  gsumpt  19882
  Copyright terms: Public domain W3C validator