MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumadd 19871
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumadd.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
gsumadd.fn (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumadd (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumadd.z . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumadd.p . 2 + = (+gβ€˜πΊ)
4 eqid 2728 . 2 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumadd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19745 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumadd.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumadd.fn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
10 gsumadd.hn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
111submid 18755 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
127, 11syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
13 ssid 4000 . . 3 𝐡 βŠ† 𝐡
141, 4cntzcmn 19788 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐡 βŠ† 𝐡) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜π΅) = 𝐡)
155, 13, 14sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜π΅) = 𝐡)
1613, 15sseqtrrid 4031 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜π΅))
17 gsumadd.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
18 gsumadd.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 19870 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677   finSupp cfsupp 9379  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  0gc0g 17414   Ξ£g cgsu 17415  Mndcmnd 18687  SubMndcsubmnd 18732  Cntzccntz 19259  CMndccmn 19728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-cntz 19261  df-cmn 19730
This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19872  gsumsub  19896  frlmup1  21725  evlslem1  22021  mhpmulcl  22066  tsmsadd  24044  tdeglem3  25986  tdeglem3OLD  25987
  Copyright terms: Public domain W3C validator