MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumadd 19956
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z 0 = (0g𝐺)
gsumadd.p + = (+g𝐺)
gsumadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumadd.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2735 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19830 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
10 gsumadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
111submid 18836 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
127, 11syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13 ssid 4018 . . 3 𝐵𝐵
141, 4cntzcmn 19873 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
155, 13, 14sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
1613, 15sseqtrrid 4049 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17 gsumadd.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumadd.h . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 19955 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Cntzccntz 19346  CMndccmn 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815
This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19957  gsumsub  19981  frlmup1  21836  evlslem1  22124  mhpmulcl  22171  tsmsadd  24171  tdeglem3  26113
  Copyright terms: Public domain W3C validator