Theorem gsumadd 19853

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumadd.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19727	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10		gsumadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
11	1	submid 18737	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13		ssid 3969	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
14	1, 4	cntzcmn 19770	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
15	5, 13, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
16	13, 15	sseqtrrid 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17		gsumadd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
18		gsumadd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
19	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18	gsumzadd 19852	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  Cntzccntz 19247  CMndccmn 19710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-cntz 19249  df-cmn 19712

This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19854  gsumsub  19878  frlmup1  21707  evlslem1  21989  mhpmulcl  22036  tsmsadd  24034  tdeglem3  25964