MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumadd 19520
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z 0 = (0g𝐺)
gsumadd.p + = (+g𝐺)
gsumadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumadd.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2740 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19398 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
10 gsumadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
111submid 18445 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
127, 11syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13 ssid 3948 . . 3 𝐵𝐵
141, 4cntzcmn 19437 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
155, 13, 14sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
1613, 15sseqtrrid 3979 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17 gsumadd.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumadd.h . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 19519 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892   class class class wbr 5079  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  f cof 7523   finSupp cfsupp 9104  Basecbs 16908  +gcplusg 16958  0gc0g 17146   Σg cgsu 17147  Mndcmnd 18381  SubMndcsubmnd 18425  Cntzccntz 18917  CMndccmn 19382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-hash 14041  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-cntz 18919  df-cmn 19384
This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19521  gsumsub  19545  frlmup1  21001  evlslem1  21288  mhpmulcl  21335  tsmsadd  23294  tdeglem3  25218  tdeglem3OLD  25219
  Copyright terms: Public domain W3C validator