MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumadd 19942
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z 0 = (0g𝐺)
gsumadd.p + = (+g𝐺)
gsumadd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumadd.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumadd.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
gsumadd.fn (𝜑𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn (𝜑𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumadd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumadd.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumadd.p . 2 + = (+g𝐺)
4 eqid 2736 . 2 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 gsumadd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19816 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumadd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumadd.fn . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
10 gsumadd.hn . 2 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
111submid 18824 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
127, 11syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13 ssid 4005 . . 3 𝐵𝐵
141, 4cntzcmn 19859 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
155, 13, 14sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
1613, 15sseqtrrid 4026 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17 gsumadd.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
18 gsumadd.h . 2 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 19941 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950   class class class wbr 5142  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  SubMndcsubmnd 18796  Cntzccntz 19334  CMndccmn 19799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-cntz 19336  df-cmn 19801
This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19943  gsumsub  19967  frlmup1  21819  evlslem1  22107  mhpmulcl  22154  tsmsadd  24156  tdeglem3  26099
  Copyright terms: Public domain W3C validator