Theorem gsumadd 18675

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumadd.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2824	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 18560	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10		gsumadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
11	1	submid 17703	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13		ssid 3847	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
14	1, 4	cntzcmn 18597	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
15	5, 13, 14	sylancl 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
16	13, 15	syl5sseqr 3878	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17		gsumadd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
18		gsumadd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
19	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18	gsumzadd 18674	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3797   class class class wbr 4872  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ∘_𝑓 cof 7154   finSupp cfsupp 8543  Basecbs 16221  +_gcplusg 16304  0_gc0g 16452   Σ_g cgsu 16453  Mndcmnd 17646  SubMndcsubmnd 17686  Cntzccntz 18097  CMndccmn 18545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-hash 13410  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-cntz 18099  df-cmn 18547

This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  18676  gsumsub  18700  evlslem1  19874  frlmup1  20503  tsmsadd  22319  tdeglem3  24217