Theorem gsumadd 20146

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumadd.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 20020	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10		gsumadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
11	1	submid 19014	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	7, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13		ssid 3931	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
14	1, 4	cntzcmn 20063	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
15	5, 13, 14	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
16	13, 15	sseqtrrid 3952	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17		gsumadd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
18		gsumadd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
19	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18	gsumzadd 20145	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  Mndcmnd 18932  SubMndcsubmnd 18986  Cntzccntz 19538  CMndccmn 20003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-cntz 19540  df-cmn 20005

This theorem is used by:  gsummptfsadd  20147  gsumsub  20171  frlmup1  22113  evlslem1  22400  mhpmulcl  22479  tsmsadd  24475  tdeglem3  26386