Theorem gsumadd 19820

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumadd.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19694	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10		gsumadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
11	1	submid 18702	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13		ssid 3960	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
14	1, 4	cntzcmn 19737	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
15	5, 13, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
16	13, 15	sseqtrrid 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17		gsumadd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
18		gsumadd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
19	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18	gsumzadd 19819	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   finSupp cfsupp 9270  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18626  SubMndcsubmnd 18674  Cntzccntz 19212  CMndccmn 19677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-cntz 19214  df-cmn 19679

This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19821  gsumsub  19845  frlmup1  21723  evlslem1  22005  mhpmulcl  22052  tsmsadd  24050  tdeglem3  25980