Theorem gsumadd 19045

Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumadd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
gsumadd.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn	⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumadd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumadd.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumadd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2823	. 2 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5		gsumadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 18924	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		gsumadd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumadd.fn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
10		gsumadd.hn	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
11	1	submid 17977	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
12	7, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝐺))
13		ssid 3991	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
14	1, 4	cntzcmn 18962	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
15	5, 13, 14	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘𝐺)‘𝐵) = 𝐵)
16	13, 15	sseqtrrid 4022	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐵))
17		gsumadd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
18		gsumadd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
19	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18	gsumzadd 19044	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409   finSupp cfsupp 8835  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716  Mndcmnd 17913  SubMndcsubmnd 17957  Cntzccntz 18447  CMndccmn 18908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-cntz 18449  df-cmn 18910

This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19046  gsumsub  19070  evlslem1  20297  frlmup1  20944  tsmsadd  22757  tdeglem3  24655