MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumadd 19835
Description: The sum of two group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumadd.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumadd.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumadd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
gsumadd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumadd.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
gsumadd.fn (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
gsumadd.hn (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumadd (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))

Proof of Theorem gsumadd
StepHypRef Expression
1 gsumadd.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumadd.z . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumadd.p . 2 + = (+gβ€˜πΊ)
4 eqid 2724 . 2 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
5 gsumadd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19709 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
75, 6syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
8 gsumadd.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumadd.fn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
10 gsumadd.hn . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
111submid 18727 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
127, 11syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
13 ssid 3997 . . 3 𝐡 βŠ† 𝐡
141, 4cntzcmn 19752 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐡 βŠ† 𝐡) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜π΅) = 𝐡)
155, 13, 14sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜π΅) = 𝐡)
1613, 15sseqtrrid 4028 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜π΅))
17 gsumadd.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
18 gsumadd.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐴⟢𝐡)
191, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18gsumzadd 19834 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662   finSupp cfsupp 9358  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  0gc0g 17386   Ξ£g cgsu 17387  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18704  Cntzccntz 19223  CMndccmn 19692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19225  df-cmn 19694
This theorem is referenced by:  gsummptfsadd  19836  gsumsub  19860  frlmup1  21663  evlslem1  21957  mhpmulcl  22002  tsmsadd  23975  tdeglem3  25917  tdeglem3OLD  25918
  Copyright terms: Public domain W3C validator