MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsgrpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsgrpcl 19287
Description: Centralizers are closed under the semigroup operation. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsgrpcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
cntzsgrpcl.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
cntzsgrpcl.c ๐ถ = (๐‘โ€˜๐‘†)
Assertion
Ref Expression
cntzsgrpcl ((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ถ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ต,๐‘ง   ๐‘ฆ,๐ถ,๐‘ง   ๐‘ฆ,๐‘€,๐‘ง   ๐‘ฆ,๐‘†,๐‘ง   ๐‘ฆ,๐‘,๐‘ง

Proof of Theorem cntzsgrpcl
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Smgrp)
2 cntzsgrpcl.c . . . . . 6 ๐ถ = (๐‘โ€˜๐‘†)
3 cntzsgrpcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
4 cntzsgrpcl.z . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
53, 4cntzssv 19281 . . . . . 6 (๐‘โ€˜๐‘†) โІ ๐ต
62, 5eqsstri 4007 . . . . 5 ๐ถ โІ ๐ต
7 simprl 769 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ)
86, 7sselid 3970 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
9 simprr 771 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)
106, 9sselid 3970 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
11 eqid 2725 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘€) = (+gโ€˜๐‘€)
123, 11sgrpcl 18683 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
131, 8, 10, 12syl3anc 1368 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
141adantr 479 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘€ โˆˆ Smgrp)
158adantr 479 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
1610adantr 479 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
17 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ ๐‘† โІ ๐ต)
1817sselda 3972 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
1918adantlr 713 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
203, 11sgrpass 18682 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
2114, 15, 16, 19, 20syl13anc 1369 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)))
222eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ถ โ†” ๐‘ง โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
2311, 4cntzi 19282 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง))
2422, 23sylanb 579 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง))
259, 24sylan 578 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง))
2625oveq2d 7431 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))
273, 11sgrpass 18682 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))
2814, 15, 19, 16, 27syl13anc 1369 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))
292eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
3011, 4cntzi 19282 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
3129, 30sylanb 579 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
327, 31sylan 578 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ))
3332oveq1d 7430 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง))
3426, 28, 333eqtr2d 2771 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ง(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ)) = ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง))
353, 11sgrpass 18682 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))
3614, 19, 15, 16, 35syl13anc 1369 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฆ)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))
3721, 34, 363eqtrd 2769 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))
3837ralrimiva 3136 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))
392eleq2i 2817 . . . . 5 ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ถ โ†” (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
403, 11, 4elcntz 19275 . . . . 5 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))))
4139, 40bitrid 282 . . . 4 (๐‘† โІ ๐ต โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ถ โ†” ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))))
4241ad2antlr 725 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ถ โ†” ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)(+gโ€˜๐‘€)๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘€)(๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง)))))
4313, 38, 42mpbir2and 711 . 2 (((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ถ)
4443ralrimivva 3191 1 ((๐‘€ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘† โІ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ถ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ถ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐‘€)๐‘ง) โˆˆ ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051   โІ wss 3940  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Smgrpcsgrp 18675  Cntzccntz 19268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-cntz 19270
This theorem is referenced by:  cntzsubrng  20506
  Copyright terms: Public domain W3C validator