Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntrcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntrcrng 30612
 Description: The center of a ring is a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrcrng.z 𝑍 = (𝑅s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
cntrcrng (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Proof of Theorem cntrcrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19167 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4 eqid 2824 . . . . 5 (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
53, 4cntrval 18381 . . . 4 ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
6 ssid 3992 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
72, 1, 4cntzsubr 19490 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
86, 7mpan2 687 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
95, 8eqeltrrid 2922 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
10 cntrcrng.z . . . 4 𝑍 = (𝑅s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
1110subrgring 19460 . . 3 ((Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑍 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Ring)
13 fvex 6679 . . . 4 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V
1410, 1mgpress 19172 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
1513, 14mpan2 687 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
161ringmgp 19225 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17 eqid 2824 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
1817cntrcmnd 18884 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
1916, 18syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
2015, 19eqeltrrd 2918 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd)
21 eqid 2824 . . 3 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
2221iscrng 19226 . 2 (𝑍 ∈ CRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd))
2312, 20, 22sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2106  Vcvv 3499   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475   ↾s cress 16476  Mndcmnd 17902  Cntzccntz 18377  Cntrccntr 18378  CMndccmn 18828  mulGrpcmgp 19161  Ringcrg 19219  CRingccrg 19220  SubRingcsubrg 19453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-subg 18208  df-cntz 18379  df-cntr 18380  df-cmn 18830  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-subrg 19455 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator