Theorem cntrcrng 33057

Description: The center of a ring is a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcrng.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
cntrcrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Proof of Theorem cntrcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20065	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	cntrval 19233	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
6		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
7	2, 1, 4	cntzsubr 20523	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
8	6, 7	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	5, 8	eqeltrrid 2838	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
10		cntrcrng.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	subrgring 20491	. . 3 ⊢ ((Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑍 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Ring)
13		fvex 6841	. . . 4 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V
14	10, 1	mgpress 20070	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
15	13, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
16	1	ringmgp 20159	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
18	17	cntrcmnd 19756	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
19	16, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
20	15, 19	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd)
21		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
22	21	iscrng 20160	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ CRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd))
23	12, 20, 22	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  Mndcmnd 18644  Cntzccntz 19229  Cntrccntr 19230  CMndccmn 19694  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  SubRingcsubrg 20486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-cntr 19232  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20463  df-subrg 20487

This theorem is referenced by: (None)