Theorem cntrcrng 33165

Description: The center of a ring is a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcrng.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
cntrcrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Proof of Theorem cntrcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20082	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	cntrval 19250	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
6		ssid 3956	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
7	2, 1, 4	cntzsubr 20541	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
8	6, 7	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	5, 8	eqeltrrid 2841	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
10		cntrcrng.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	subrgring 20509	. . 3 ⊢ ((Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑍 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Ring)
13		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V
14	10, 1	mgpress 20087	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
15	13, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
16	1	ringmgp 20176	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
18	17	cntrcmnd 19773	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
19	16, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
20	15, 19	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
22	21	iscrng 20177	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ CRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd))
23	12, 20, 22	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  Mndcmnd 18661  Cntzccntz 19246  Cntrccntr 19247  CMndccmn 19711  mulGrpcmgp 20077  Ringcrg 20170  CRingccrg 20171  SubRingcsubrg 20504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-cntr 19249  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-subrng 20481  df-subrg 20505

This theorem is referenced by: (None)