Theorem cntrcrng 32720

Description: The center of a ring is a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrcrng.z	⊢ 𝑍 = (𝑅 ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
cntrcrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Proof of Theorem cntrcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20045	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	cntrval 19235	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
6		ssid 3999	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
7	2, 1, 4	cntzsubr 20508	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
8	6, 7	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	5, 8	eqeltrrid 2832	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
10		cntrcrng.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑅 ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	subrgring 20476	. . 3 ⊢ ((Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑍 ∈ Ring)
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Ring)
13		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V
14	10, 1	mgpress 20054	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
15	13, 14	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
16	1	ringmgp 20144	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
18	17	cntrcmnd 19762	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
19	16, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
20	15, 19	eqeltrrd 2828	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd)
21		eqid 2726	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
22	21	iscrng 20145	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ CRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd))
23	12, 20, 22	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  Mndcmnd 18667  Cntzccntz 19231  Cntrccntr 19232  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  SubRingcsubrg 20469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cntr 19234  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471

This theorem is referenced by: (None)