Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntrcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntrcrng 30899
Description: The center of a ring is a commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cntrcrng.z 𝑍 = (𝑅s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
cntrcrng (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)

Proof of Theorem cntrcrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19364 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4 eqid 2738 . . . . 5 (Cntz‘(mulGrp‘𝑅)) = (Cntz‘(mulGrp‘𝑅))
53, 4cntrval 18567 . . . 4 ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) = (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))
6 ssid 3899 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
72, 1, 4cntzsubr 19687 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
86, 7mpan2 691 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((Cntz‘(mulGrp‘𝑅))‘(Base‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
95, 8eqeltrrid 2838 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅))
10 cntrcrng.z . . . 4 𝑍 = (𝑅s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
1110subrgring 19657 . . 3 ((Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑍 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ Ring)
13 fvex 6687 . . . 4 (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V
1410, 1mgpress 19369 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ V) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
1513, 14mpan2 691 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = (mulGrp‘𝑍))
161ringmgp 19422 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
17 eqid 2738 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅)))
1817cntrcmnd 19081 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
1916, 18syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Cntr‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ CMnd)
2015, 19eqeltrrd 2834 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd)
21 eqid 2738 . . 3 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
2221iscrng 19423 . 2 (𝑍 ∈ CRing ↔ (𝑍 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑍) ∈ CMnd))
2312, 20, 22sylanbrc 586 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  wss 3843  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  s cress 16587  Mndcmnd 18027  Cntzccntz 18563  Cntrccntr 18564  CMndccmn 19024  mulGrpcmgp 19358  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417  SubRingcsubrg 19650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-cntr 18566  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator