Theorem motplusg 28773

Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motplusg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motplusg	⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motplusg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motplusg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
2		motplusg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
3		coexg 7922	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
5		coeq1 5841	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝑏))
6		coeq2 5842	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝐻))
7		ovex 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
8	7, 7	mpoex 8072	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
9		motgrp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
10	9	grpplusg 17339	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼)
12		coeq1 5841	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑎 → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑔))
13		coeq2 5842	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑏 → (𝑎 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑏))
14	12, 13	cbvmpov 7503	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
15	11, 14	eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (+g‘𝐼) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
16	5, 6, 15	ovmpog 7567	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V) → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {cpr 4593  ⟨cop 4597   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ndxcnx 17249  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  distcds 17315  Ismtcismt 28763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319

This theorem is referenced by:  motgrp  28774