Theorem motplusg 29062

Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motplusg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motplusg	⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑔)   𝑃(𝑓, 𝑔)   𝐹(𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑓, 𝑔)   𝐼(𝑓, 𝑔)   − (𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem motplusg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motplusg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
2		motplusg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
3		coexg 7975	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
5		coeq1 5846	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝑏))
6		coeq2 5847	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝐻))
7		ovex 7484	. . . . . 6 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
8	7, 7	mpoex 8127	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
9		motgrp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
10	9	grpplusg 17507	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼)
12		coeq1 5846	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑎 → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑔))
13		coeq2 5847	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑏 → (𝑎 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑏))
14	12, 13	cbvmpov 7546	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
15	11, 14	eqtr3i 2788	. . 3 ⊢ (+g‘𝐼) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
16	5, 6, 15	ovmpog 7611	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V) → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4840   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  distcds 17481  Ismtcismt 29052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486

This theorem is used by:  motgrp  29063