MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motplusg 25793
Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motgrp.i 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
motplusg.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motplusg.2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motplusg (𝜑 → (𝐹(+g𝐼)𝐻) = (𝐹𝐻))
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑔
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motplusg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motplusg.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
2 motplusg.2 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
3 coexg 7352 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝐹𝐻) ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 580 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
5 coeq1 5483 . . 3 (𝑎 = 𝐹 → (𝑎𝑏) = (𝐹𝑏))
6 coeq2 5484 . . 3 (𝑏 = 𝐻 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐻))
7 ovex 6910 . . . . . 6 (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
87, 7mpt2ex 7483 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
9 motgrp.i . . . . . 6 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔))⟩}
109grpplusg 16313 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) = (+g𝐼))
118, 10ax-mp 5 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) = (+g𝐼)
12 coeq1 5483 . . . . 5 (𝑓 = 𝑎 → (𝑓𝑔) = (𝑎𝑔))
13 coeq2 5484 . . . . 5 (𝑔 = 𝑏 → (𝑎𝑔) = (𝑎𝑏))
1412, 13cbvmpt2v 6969 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎𝑏))
1511, 14eqtr3i 2823 . . 3 (+g𝐼) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎𝑏))
165, 6, 15ovmpt2g 7029 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ (𝐹𝐻) ∈ V) → (𝐹(+g𝐼)𝐻) = (𝐹𝐻))
171, 2, 4, 16syl3anc 1491 1 (𝜑 → (𝐹(+g𝐼)𝐻) = (𝐹𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  {cpr 4370  cop 4374  ccom 5316  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  ndxcnx 16181  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  distcds 16276  Ismtcismt 25783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280
This theorem is referenced by:  motgrp  25794
  Copyright terms: Public domain W3C validator