Theorem motplusg 28540

Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motplusg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motplusg	⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motplusg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motplusg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
2		motplusg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
3		coexg 7868	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
5		coeq1 5803	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝑏))
6		coeq2 5804	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝐻))
7		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
8	7, 7	mpoex 8020	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
9		motgrp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
10	9	grpplusg 17201	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼)
12		coeq1 5803	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑎 → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑔))
13		coeq2 5804	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑏 → (𝑎 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑏))
14	12, 13	cbvmpov 7450	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
15	11, 14	eqtr3i 2758	. . 3 ⊢ (+g‘𝐼) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
16	5, 6, 15	ovmpog 7514	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V) → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {cpr 4579  ⟨cop 4583   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  ndxcnx 17111  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  distcds 17177  Ismtcismt 28530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181

This theorem is referenced by:  motgrp  28541