Theorem motplusg 28626

Description: The operation for motions is their composition. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motgrp.i	⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
motplusg.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
motplusg.2	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motplusg	⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐼(𝑓,𝑔)   − (𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem motplusg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motplusg.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
2		motplusg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
3		coexg 7881	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺)) → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V)
5		coeq1 5814	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐹 → (𝑎 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝑏))
6		coeq2 5815	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐻 → (𝐹 ∘ 𝑏) = (𝐹 ∘ 𝐻))
7		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (𝐺Ismt𝐺) ∈ V
8	7, 7	mpoex 8033	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
9		motgrp.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {⟨(Base‘ndx), (𝐺Ismt𝐺)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
10	9	grpplusg 17222	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐼)
12		coeq1 5814	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑎 → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑔))
13		coeq2 5815	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑏 → (𝑎 ∘ 𝑔) = (𝑎 ∘ 𝑏))
14	12, 13	cbvmpov 7463	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑔 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
15	11, 14	eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝐼) = (𝑎 ∈ (𝐺Ismt𝐺), 𝑏 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
16	5, 6, 15	ovmpog 7527	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ V) → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))
17	1, 2, 4, 16	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝐼)𝐻) = (𝐹 ∘ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {cpr 4584  ⟨cop 4588   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  distcds 17198  Ismtcismt 28616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202

This theorem is referenced by:  motgrp  28627