MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdifsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdifsnd 19812
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsnd.p + = (+g𝐺)
gsumdifsnd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsnd.a (𝜑𝐴𝑊)
gsumdifsnd.f (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
gsumdifsnd.e ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumdifsnd.m (𝜑𝑀𝐴)
gsumdifsnd.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumdifsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumdifsnd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsnd
StepHypRef Expression
1 gsumdifsnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2733 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumdifsnd.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumdifsnd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsumdifsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
6 gsumdifsnd.e . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
7 gsumdifsnd.f . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
8 gsumdifsnd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐴)
98snssd 4808 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
10 difin2 4289 . . . . 5 ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
12 difid 4368 . . . 4 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1311, 12eqtr3di 2788 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
14 difsnid 4809 . . . . 5 (𝑀𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
158, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1615eqcomd 2739 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 16gsumsplit2 19780 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
18 cmnmnd 19649 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
194, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
20 gsumdifsnd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
21 gsumdifsnd.s . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
221, 19, 8, 20, 21gsumsnd 19803 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2322oveq2d 7412 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
2417, 23eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3943  cun 3944  cin 3945  wss 3946  c0 4320  {csn 4624   class class class wbr 5144  cmpt 5227  cfv 6535  (class class class)co 7396   finSupp cfsupp 9349  Basecbs 17131  +gcplusg 17184  0gc0g 17372   Σg cgsu 17373  Mndcmnd 18612  CMndccmn 19632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-hash 14278  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634
This theorem is referenced by:  dmatmul  21968  matunitlindflem1  36389  lincdifsn  46945
  Copyright terms: Public domain W3C validator