MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdifsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdifsnd 19072
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsnd.p + = (+g𝐺)
gsumdifsnd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsnd.a (𝜑𝐴𝑊)
gsumdifsnd.f (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
gsumdifsnd.e ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumdifsnd.m (𝜑𝑀𝐴)
gsumdifsnd.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumdifsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumdifsnd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsnd
StepHypRef Expression
1 gsumdifsnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2822 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumdifsnd.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumdifsnd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsumdifsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
6 gsumdifsnd.e . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
7 gsumdifsnd.f . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
8 difid 4302 . . . 4 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
9 gsumdifsnd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐴)
109snssd 4715 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
11 difin2 4240 . . . . 5 ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
138, 12syl5reqr 2872 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
14 difsnid 4716 . . . . 5 (𝑀𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
159, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1615eqcomd 2828 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 16gsumsplit2 19040 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
18 cmnmnd 18913 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
194, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
20 gsumdifsnd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
21 gsumdifsnd.s . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
221, 19, 9, 20, 21gsumsnd 19063 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2322oveq2d 7156 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
2417, 23eqtrd 2857 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4265  {csn 4539   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  Mndcmnd 17902  CMndccmn 18897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899
This theorem is referenced by:  dmatmul  21100  matunitlindflem1  35012  lincdifsn  44773
  Copyright terms: Public domain W3C validator