MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdifsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdifsnd 19881
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsnd.p + = (+g𝐺)
gsumdifsnd.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsnd.a (𝜑𝐴𝑊)
gsumdifsnd.f (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
gsumdifsnd.e ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumdifsnd.m (𝜑𝑀𝐴)
gsumdifsnd.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumdifsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumdifsnd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsnd
StepHypRef Expression
1 gsumdifsnd.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2726 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsumdifsnd.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumdifsnd.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsumdifsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
6 gsumdifsnd.e . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
7 gsumdifsnd.f . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
8 gsumdifsnd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐴)
98snssd 4807 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
10 difin2 4286 . . . . 5 ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
12 difid 4365 . . . 4 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1311, 12eqtr3di 2781 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
14 difsnid 4808 . . . . 5 (𝑀𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
158, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1615eqcomd 2732 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 16gsumsplit2 19849 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
18 cmnmnd 19717 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
194, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
20 gsumdifsnd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
21 gsumdifsnd.s . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
221, 19, 8, 20, 21gsumsnd 19872 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2322oveq2d 7421 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
2417, 23eqtrd 2766 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3940  cun 3941  cin 3942  wss 3943  c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394   Σg cgsu 17395  Mndcmnd 18667  CMndccmn 19700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702
This theorem is referenced by:  dmatmul  22354  matunitlindflem1  36997  lincdifsn  47380
  Copyright terms: Public domain W3C validator