Theorem gsumdifsnd 19936

Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdifsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumdifsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
gsumdifsnd.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
gsumdifsnd.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumdifsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumdifsnd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumdifsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumdifsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdifsnd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsumdifsnd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumdifsnd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumdifsnd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
6		gsumdifsnd.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		gsumdifsnd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
8		gsumdifsnd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
9	8	snssd 4730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
10		difin2 4241	. . . . 5 ⊢ ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
12		difid 4316	. . . 4 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
13	11, 12	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
14		difsnid 4753	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
15	8, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
16	15	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 16	gsumsplit2 19904	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
18		cmnmnd 19772	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
19	4, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
20		gsumdifsnd.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
21		gsumdifsnd.s	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
22	1, 19, 8, 20, 21	gsumsnd 19927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
23	22	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
24	17, 23	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   finSupp cfsupp 9274  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  dmatmul  22462  matunitlindflem1  37937  lincdifsn  48900