Theorem scmatf1 22847

Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 22845	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
8	7	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
12	9, 10, 11	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
13		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
15	9, 13, 14	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
16	12, 15	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
17	16	3adantl2 1186	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
18	2	matring 22759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
20	19, 3	ringidcl 20495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
21	18, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
22	21, 10	anim12ci 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
23	1, 2, 19, 4	matvscl 22747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
24	22, 23	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
25	21, 13	anim12ci 626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
26	1, 2, 19, 4	matvscl 22747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
27	25, 26	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
28	24, 27	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
29	28	3adantl2 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
30	2, 19	eqmat 22740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
31	29, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
32		difsnid 4770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
33	32	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
35	34	raleqdv 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
36		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖))
37		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))
38	36, 37	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)))
39	38	ralunsn 4853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
41	10	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
42		df-3an 1105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
43	41, 42	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
44		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑖 ∈ 𝑁)
45	44, 44	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁))
46		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
47	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 22823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
48	43, 45, 47	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
49		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 = 𝑖
50	49	iftruei 4488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)) = 𝑦
51	48, 50	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = 𝑦)
52	13	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
53		df-3an 1105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
54	52, 53	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
55	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 22823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
56	54, 45, 55	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
57	49	iftruei 4488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)) = 𝑧
58	56, 57	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = 𝑧)
59	51, 58	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) ↔ 𝑦 = 𝑧))
60	59	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
61	35, 40, 60	3bitrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
62	61	ralbidva 3183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
63	62	3adantl2 1186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
64		r19.26 3122	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) ↔ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧))
65		rspn0 4303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
66	65	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
67	66	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
68	67	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
69	64, 68	simplbiim 514	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
70	69	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
71	63, 70	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) → 𝑦 = 𝑧))
72	31, 71	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) → 𝑦 = 𝑧))
73	17, 72	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74	73	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
75		dff13 7258	. 2 ⊢ (𝐹:𝐾–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐾⟶𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
76	8, 74, 75	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  Basecbs 17388   ·_𝑠 cvsca 17433  0_gc0g 17611  1_rcur 20408  Ringcrg 20460   Mat cmat 22723   ScMat cscmat 22805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-dsmm 22039  df-frlm 22054  df-mamu 22707  df-mat 22724  df-scmat 22807

This theorem is used by:  scmatf1o  22848