Theorem scmatf1 20834

Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 20832	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
8	7	3adant2 1111	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
9		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 20830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
12	9, 10, 11	syl2an 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
13		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 20830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
15	9, 13, 14	syl2an 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
16	12, 15	eqeq12d 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
17	16	3adantl2 1147	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
18	2	matring 20746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19		eqid 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
20	19, 3	ringidcl 19031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
22	21, 10	anim12ci 604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
23	1, 2, 19, 4	matvscl 20734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
24	22, 23	syldan 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
25	21, 13	anim12ci 604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
26	1, 2, 19, 4	matvscl 20734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
27	25, 26	syldan 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
28	24, 27	jca 504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
29	28	3adantl2 1147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
30	2, 19	eqmat 20727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
32		difsnid 4611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
33	32	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
34	33	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
35	34	raleqdv 3349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
36		oveq2 6978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖))
37		oveq2 6978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))
38	36, 37	eqeq12d 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)))
39	38	ralunsn 4692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
40	39	adantl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
41	10	anim2i 607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
42		df-3an 1070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
43	41, 42	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
44		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑖 ∈ 𝑁)
45	44, 44	jca 504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁))
46		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
47	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 20810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
48	43, 45, 47	syl2an 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
49		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 = 𝑖
50	49	iftruei 4351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)) = 𝑦
51	48, 50	syl6eq 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = 𝑦)
52	13	anim2i 607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
53		df-3an 1070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
54	52, 53	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
55	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 20810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
56	54, 45, 55	syl2an 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
57	49	iftruei 4351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)) = 𝑧
58	56, 57	syl6eq 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = 𝑧)
59	51, 58	eqeq12d 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) ↔ 𝑦 = 𝑧))
60	59	anbi2d 619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
61	35, 40, 60	3bitrd 297	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
62	61	ralbidva 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
63	62	3adantl2 1147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
64		r19.26 3114	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) ↔ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧))
65		rspn0 4194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
66	65	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
67	66	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
68	67	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
69	64, 68	simplbiim 497	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
70	69	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
71	63, 70	sylbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) → 𝑦 = 𝑧))
72	31, 71	sylbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) → 𝑦 = 𝑧))
73	17, 72	sylbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74	73	ralrimivva 3135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
75		dff13 6832	. 2 ⊢ (𝐹:𝐾–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐾⟶𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
76	8, 74, 75	sylanbrc 575	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ∖ cdif 3822   ∪ cun 3823  ∅c0 4173  ifcif 4344  {csn 4435   ↦ cmpt 5002  ⟶wf 6178  –1-1→wf1 6179  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  Basecbs 16329   ·_𝑠 cvsca 16415  0_gc0g 16559  1_rcur 18964  Ringcrg 19010   Mat cmat 20710   ScMat cscmat 20792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-sup 8693  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-hash 13499  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-hom 16435  df-cco 16436  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-prds 16567  df-pws 16569  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-ghm 18117  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-subrg 19246  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-dsmm 20568  df-frlm 20583  df-mamu 20687  df-mat 20711  df-scmat 20794

This theorem is referenced by:  scmatf1o  20835