MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatf1 22024
Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatrhmval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatrhmval.o 1 = (1rโ€˜๐ด)
scmatrhmval.t โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatrhmval.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ— 1 ))
scmatrhmval.c ๐ถ = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatf1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐น:๐พโ€“1-1โ†’๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, 1   ๐‘ฅ, โˆ—   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)

Proof of Theorem scmatf1
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatrhmval.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1rโ€˜๐ด)
4 scmatrhmval.t . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
5 scmatrhmval.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ— 1 ))
6 scmatrhmval.c . . . 4 ๐ถ = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatf 22022 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐น:๐พโŸถ๐ถ)
873adant2 1131 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐น:๐พโŸถ๐ถ)
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)
111, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 22020 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ โˆ— 1 ))
129, 10, 11syl2an 596 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ โˆ— 1 ))
13 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐พ)
141, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 22020 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง โˆ— 1 ))
159, 13, 14syl2an 596 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง โˆ— 1 ))
1612, 15eqeq12d 2748 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (๐‘ฆ โˆ— 1 ) = (๐‘ง โˆ— 1 )))
17163adantl2 1167 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (๐‘ฆ โˆ— 1 ) = (๐‘ง โˆ— 1 )))
182matring 21936 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
2019, 3ringidcl 20076 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2221, 10anim12ci 614 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)))
231, 2, 19, 4matvscl 21924 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ฆ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2422, 23syldan 591 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2521, 13anim12ci 614 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ ๐พ โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)))
261, 2, 19, 4matvscl 21924 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ง โˆˆ ๐พ โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘ง โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2725, 26syldan 591 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ง โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2824, 27jca 512 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘ง โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)))
29283adantl2 1167 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘ง โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)))
302, 19eqmat 21917 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘ง โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ— 1 ) = (๐‘ง โˆ— 1 ) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—)))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ— 1 ) = (๐‘ง โˆ— 1 ) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—)))
32 difsnid 4812 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆ– {๐‘–}) โˆช {๐‘–}) = ๐‘)
3332eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ = ((๐‘ โˆ– {๐‘–}) โˆช {๐‘–}))
3433adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ = ((๐‘ โˆ– {๐‘–}) โˆช {๐‘–}))
3534raleqdv 3325 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ((๐‘ โˆ– {๐‘–}) โˆช {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—)))
36 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–))
37 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–))
3836, 37eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘– โ†’ ((๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†” (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–)))
3938ralunsn 4893 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ((๐‘ โˆ– {๐‘–}) โˆช {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†” (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–))))
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ((๐‘ โˆ– {๐‘–}) โˆช {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†” (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–))))
4110anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
42 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
4544, 44jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘))
46 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
472, 1, 46, 3, 4scmatscmide 22000 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = if(๐‘– = ๐‘–, ๐‘ฆ, (0gโ€˜๐‘…)))
4843, 45, 47syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = if(๐‘– = ๐‘–, ๐‘ฆ, (0gโ€˜๐‘…)))
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘– = ๐‘–
5049iftruei 4534 . . . . . . . . . . . 12 if(๐‘– = ๐‘–, ๐‘ฆ, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘ฆ
5148, 50eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = ๐‘ฆ)
5213anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ))
53 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ))
5452, 53sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ))
552, 1, 46, 3, 4scmatscmide 22000 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–) = if(๐‘– = ๐‘–, ๐‘ง, (0gโ€˜๐‘…)))
5654, 45, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–) = if(๐‘– = ๐‘–, ๐‘ง, (0gโ€˜๐‘…)))
5749iftruei 4534 . . . . . . . . . . . 12 if(๐‘– = ๐‘–, ๐‘ง, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘ง
5856, 57eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–) = ๐‘ง)
5951, 58eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
6059anbi2d 629 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘–) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘–)) โ†” (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
6135, 40, 603bitrd 304 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†” (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
6261ralbidva 3175 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
63623adantl2 1167 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
64 r19.26 3111 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ง) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
65 rspn0 4351 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โ‰  โˆ… โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ ๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
66653ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ ๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
6766adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ ๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
6867com12 32 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ ๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
6964, 68simplbiim 505 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
7069com12 32 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘— โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘–})(๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โˆง ๐‘ฆ = ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
7163, 70sylbid 239 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–(๐‘ฆ โˆ— 1 )๐‘—) = (๐‘–(๐‘ง โˆ— 1 )๐‘—) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
7231, 71sylbid 239 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ— 1 ) = (๐‘ง โˆ— 1 ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
7317, 72sylbid 239 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
7473ralrimivva 3200 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐พ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
75 dff13 7250 . 2 (๐น:๐พโ€“1-1โ†’๐ถ โ†” (๐น:๐พโŸถ๐ถ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐พ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
768, 74, 75sylanbrc 583 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐น:๐พโ€“1-1โ†’๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945  โˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6536  โ€“1-1โ†’wf1 6537  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  Basecbs 17140   ยท๐‘  cvsca 17197  0gc0g 17381  1rcur 19998  Ringcrg 20049   Mat cmat 21898   ScMat cscmat 21982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-scmat 21984
This theorem is referenced by:  scmatf1o  22025
  Copyright terms: Public domain W3C validator