Theorem scmatf1 22475

Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 22473	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
8	7	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
15	9, 13, 14	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
16	12, 15	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
17	16	3adantl2 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
18	2	matring 22387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
20	19, 3	ringidcl 20200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
22	21, 10	anim12ci 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
23	1, 2, 19, 4	matvscl 22375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
24	22, 23	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
25	21, 13	anim12ci 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
26	1, 2, 19, 4	matvscl 22375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
28	24, 27	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
29	28	3adantl2 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
30	2, 19	eqmat 22368	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
32		difsnid 4766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
33	32	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
35	34	raleqdv 3296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
36		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖))
37		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))
38	36, 37	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)))
39	38	ralunsn 4850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
41	10	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
42		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
43	41, 42	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
44		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑖 ∈ 𝑁)
45	44, 44	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁))
46		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
47	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 22451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
48	43, 45, 47	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
49		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 = 𝑖
50	49	iftruei 4486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)) = 𝑦
51	48, 50	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = 𝑦)
52	13	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
53		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
54	52, 53	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
55	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 22451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
56	54, 45, 55	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
57	49	iftruei 4486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)) = 𝑧
58	56, 57	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = 𝑧)
59	51, 58	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) ↔ 𝑦 = 𝑧))
60	59	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
61	35, 40, 60	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
62	61	ralbidva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
63	62	3adantl2 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
64		r19.26 3096	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) ↔ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧))
65		rspn0 4308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
66	65	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
68	67	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
69	64, 68	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
70	69	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
71	63, 70	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) → 𝑦 = 𝑧))
72	31, 71	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) → 𝑦 = 𝑧))
73	17, 72	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74	73	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
75		dff13 7200	. 2 ⊢ (𝐹:𝐾–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐾⟶𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
76	8, 74, 75	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899  ∅c0 4285  ifcif 4479  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  Basecbs 17136   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  Ringcrg 20168   Mat cmat 22351   ScMat cscmat 22433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-scmat 22435

This theorem is referenced by:  scmatf1o  22476