Theorem scmatf1 22447

Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatf1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 22445	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
8	7	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ 𝐾)
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
15	9, 13, 14	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
16	12, 15	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
17	16	3adantl2 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 )))
18	2	matring 22359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
20	19, 3	ringidcl 20185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
22	21, 10	anim12ci 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
23	1, 2, 19, 4	matvscl 22347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
24	22, 23	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
25	21, 13	anim12ci 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴)))
26	1, 2, 19, 4	matvscl 22347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑧 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
28	24, 27	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
29	28	3adantl2 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
30	2, 19	eqmat 22340	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
32		difsnid 4761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
33	32	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
35	34	raleqdv 3293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗)))
36		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖))
37		oveq2 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))
38	36, 37	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)))
39	38	ralunsn 4845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖))))
41	10	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
42		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
43	41, 42	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾))
44		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑖 ∈ 𝑁)
45	44, 44	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁))
46		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
47	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 22423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
48	43, 45, 47	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)))
49		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑖 = 𝑖
50	49	iftruei 4481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g‘𝑅)) = 𝑦
51	48, 50	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = 𝑦)
52	13	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
53		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
54	52, 53	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
55	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 22423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
56	54, 45, 55	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)))
57	49	iftruei 4481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g‘𝑅)) = 𝑧
58	56, 57	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) = 𝑧)
59	51, 58	eqeq12d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖) ↔ 𝑦 = 𝑧))
60	59	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑖)) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
61	35, 40, 60	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
62	61	ralbidva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
63	62	3adantl2 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
64		r19.26 3093	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) ↔ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧))
65		rspn0 4305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
66	65	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧))
68	67	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑦 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
69	64, 68	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
70	69	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
71	63, 70	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑦 ∗ 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 ∗ 1 )𝑗) → 𝑦 = 𝑧))
72	31, 71	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∗ 1 ) = (𝑧 ∗ 1 ) → 𝑦 = 𝑧))
73	17, 72	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
74	73	ralrimivva 3176	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
75		dff13 7194	. 2 ⊢ (𝐹:𝐾–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐾⟶𝐶 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
76	8, 74, 75	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾–1-1→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896  ∅c0 4282  ifcif 4474  {csn 4575   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  Basecbs 17122   ·_𝑠 cvsca 17167  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153   Mat cmat 22323   ScMat cscmat 22405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrg 20487  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-scmat 22407

This theorem is referenced by:  scmatf1o  22448