MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatf1 21143
Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatf1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾1-1𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1r𝐴)
4 scmatrhmval.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
5 scmatrhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
6 scmatrhmval.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatf 21141 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
873adant2 1128 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
9 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑦𝐾𝑧𝐾) → 𝑦𝐾)
111, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 21139 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
129, 10, 11syl2an 598 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
13 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑦𝐾𝑧𝐾) → 𝑧𝐾)
141, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 21139 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
159, 13, 14syl2an 598 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
1612, 15eqeq12d 2840 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 1 ) = (𝑧 1 )))
17163adantl2 1164 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 1 ) = (𝑧 1 )))
182matring 21055 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2019, 3ringidcl 19324 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
2221, 10anim12ci 616 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦𝐾1 ∈ (Base‘𝐴)))
231, 2, 19, 4matvscl 21043 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑦 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
2422, 23syldan 594 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
2521, 13anim12ci 616 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑧𝐾1 ∈ (Base‘𝐴)))
261, 2, 19, 4matvscl 21043 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑧𝐾1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑧 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
2725, 26syldan 594 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑧 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
2824, 27jca 515 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
29283adantl2 1164 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 1 ) ∈ (Base‘𝐴)))
302, 19eqmat 21036 . . . . . 6 (((𝑦 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑧 1 ) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑦 1 ) = (𝑧 1 ) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗)))
3129, 30syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 ) = (𝑧 1 ) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗)))
32 difsnid 4728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
3332eqcomd 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑖𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
3433adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
3534raleqdv 3403 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗)))
36 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑦 1 )𝑖))
37 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (𝑖(𝑧 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑖))
3836, 37eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ↔ (𝑖(𝑦 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 1 )𝑖)))
3938ralunsn 4811 . . . . . . . . . 10 (𝑖𝑁 → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 1 )𝑖))))
4039adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 1 )𝑖))))
4110anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐾))
42 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦𝐾))
4341, 42sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾))
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑁𝑖𝑁)
4544, 44jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁 → (𝑖𝑁𝑖𝑁))
46 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑅) = (0g𝑅)
472, 1, 46, 3, 4scmatscmide 21119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑖𝑁)) → (𝑖(𝑦 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g𝑅)))
4843, 45, 47syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑖(𝑦 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g𝑅)))
49 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 = 𝑖
5049iftruei 4458 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑖 = 𝑖, 𝑦, (0g𝑅)) = 𝑦
5148, 50syl6eq 2875 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑖(𝑦 1 )𝑖) = 𝑦)
5213anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧𝐾))
53 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑧𝐾))
5452, 53sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾))
552, 1, 46, 3, 4scmatscmide 21119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑖𝑁)) → (𝑖(𝑧 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g𝑅)))
5654, 45, 55syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑖(𝑧 1 )𝑖) = if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g𝑅)))
5749iftruei 4458 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑖 = 𝑖, 𝑧, (0g𝑅)) = 𝑧
5856, 57syl6eq 2875 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑖(𝑧 1 )𝑖) = 𝑧)
5951, 58eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → ((𝑖(𝑦 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 1 )𝑖) ↔ 𝑦 = 𝑧))
6059anbi2d 631 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → ((∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ (𝑖(𝑦 1 )𝑖) = (𝑖(𝑧 1 )𝑖)) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
6135, 40, 603bitrd 308 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ↔ (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
6261ralbidva 3191 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
63623adantl2 1164 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧)))
64 r19.26 3165 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) ↔ (∀𝑖𝑁𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ ∀𝑖𝑁 𝑦 = 𝑧))
65 rspn0 4297 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ ∅ → (∀𝑖𝑁 𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧))
66653ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖𝑁 𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧))
6766adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (∀𝑖𝑁 𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧))
6867com12 32 . . . . . . . 8 (∀𝑖𝑁 𝑦 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
6964, 68simplbiim 508 . . . . . . 7 (∀𝑖𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑦 = 𝑧))
7069com12 32 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (∀𝑖𝑁 (∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})(𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) ∧ 𝑦 = 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7163, 70sylbid 243 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑦 1 )𝑗) = (𝑖(𝑧 1 )𝑗) → 𝑦 = 𝑧))
7231, 71sylbid 243 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦 1 ) = (𝑧 1 ) → 𝑦 = 𝑧))
7317, 72sylbid 243 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7473ralrimivva 3186 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
75 dff13 7006 . 2 (𝐹:𝐾1-1𝐶 ↔ (𝐹:𝐾𝐶 ∧ ∀𝑦𝐾𝑧𝐾 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
768, 74, 75sylanbrc 586 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾1-1𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  cdif 3917  cun 3918  c0 4277  ifcif 4451  {csn 4551  cmpt 5133  wf 6340  1-1wf1 6341  cfv 6344  (class class class)co 7150  Fincfn 8506  Basecbs 16486   ·𝑠 cvsca 16572  0gc0g 16716  1rcur 19254  Ringcrg 19300   Mat cmat 21019   ScMat cscmat 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-ot 4560  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-sup 8904  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-hash 13699  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-mamu 20998  df-mat 21020  df-scmat 21103
This theorem is referenced by:  scmatf1o  21144
  Copyright terms: Public domain W3C validator