MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt23el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt23el 14386
Description: A set with more than two elements has at least three different elements. (Contributed by BTernaryTau, 21-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashgt23el ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hashgt23el
StepHypRef Expression
1 2pos 12317 . . . . . 6 0 < 2
2 0xr 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3 2re 12288 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
43rexri 11274 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ*
5 hashxrcl 14319 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
6 xrlttr 13121 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → ((0 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
72, 4, 5, 6mp3an12i 1465 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → ((0 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
81, 7mpani 694 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (2 < (♯‘𝑉) → 0 < (♯‘𝑉)))
9 hashgt0elex 14363 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 𝑎𝑉)
109ex 413 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 𝑎𝑉))
118, 10syld 47 . . . 4 (𝑉𝑊 → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 𝑎𝑉))
1211imp 407 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 𝑎𝑉)
13 difexg 5327 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V)
14 difsnid 4813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}) = 𝑉)
1514fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑉 → (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) = (♯‘𝑉))
1615breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑉 → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) ↔ 2 < (♯‘𝑉)))
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑉𝑊) → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) ↔ 2 < (♯‘𝑉)))
18 df-2 12277 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
1918breq1i 5155 . . . . . . . . . . . 12 (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})))
20 neldifsn 4795 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})
21 1nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
22 hashunsnggt 14356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑎𝑉 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2321, 22mp3anl3 1457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑎𝑉) ∧ ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2413, 23sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉𝑊𝑎𝑉) ∧ ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2520, 24mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2625biimp3ar 1470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑎𝑉 ∧ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
2719, 26syl3an3b 1405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑎𝑉 ∧ 2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
28273expia 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
2928ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑉𝑊) → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
3017, 29sylbird 259 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑉𝑊) → (2 < (♯‘𝑉) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
31303impia 1117 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
32313expib 1122 . . . . . 6 (𝑎𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
33 1lt2 12385 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
34 1xr 11275 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
35 xrlttr 13121 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉)))
3634, 4, 5, 35mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . 11 (𝑉𝑊 → ((1 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉)))
3733, 36mpani 694 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑊 → (2 < (♯‘𝑉) → 1 < (♯‘𝑉)))
3837imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
39383adant1 1130 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
40 difsn 4801 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑎}) = 𝑉)
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ∖ {𝑎}) = 𝑉)
4241fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) = (♯‘𝑉))
4339, 42breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
44433expib 1122 . . . . . 6 𝑎𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
4532, 44pm2.61i 182 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
46 hashgt12el 14384 . . . . 5 (((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V ∧ 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))) → ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐)
4713, 45, 46syl2an2r 683 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐)
4847alrimiv 1930 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐)
49 19.29r 1877 . . 3 ((∃𝑎 𝑎𝑉 ∧ ∀𝑎𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → ∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐))
5012, 48, 49syl2anc 584 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐))
51 df-rex 3071 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐))
52 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
53 necom 2994 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
5453anbi2i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝑉𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑉𝑎𝑏))
5552, 54bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑎𝑏))
56 ax-5 1913 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑏 → ∀𝑐 𝑎𝑏)
5756anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑉𝑎𝑏) → (𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏))
5855, 57sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏))
59 3anass 1095 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑐𝑉 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
6059exbii 1850 . . . . . . . . 9 (∃𝑐(𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
61 df-rex 3071 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐))
62 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑐𝑉𝑐𝑎))
63 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝑎𝑎𝑐)
6463anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑉𝑐𝑎) ↔ (𝑐𝑉𝑎𝑐))
6562, 64bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑐𝑉𝑎𝑐))
6665anbi1i 624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐) ↔ ((𝑐𝑉𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
67 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ((𝑐𝑉𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
6866, 67bitr4i 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐) ↔ (𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐))
6968exbii 1850 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐(𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐))
7061, 69bitri 274 . . . . . . . . 9 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐))
71 df-rex 3071 . . . . . . . . 9 (∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
7260, 70, 713bitr4i 302 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐))
7372biimpi 215 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐))
7458, 73anim12i 613 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → ((𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
75 alral 3075 . . . . . . . . . 10 (∀𝑐 𝑎𝑏 → ∀𝑐𝑉 𝑎𝑏)
7675anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((∀𝑐 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (∀𝑐𝑉 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
77 r19.29 3114 . . . . . . . . 9 ((∀𝑐𝑉 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
78 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
7978biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8079reximi 3084 . . . . . . . . 9 (∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8176, 77, 803syl 18 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8281anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝑏𝑉 ∧ (∀𝑐 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐))) → (𝑏𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
8382anassrs 468 . . . . . 6 (((𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (𝑏𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
8474, 83syl 17 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → (𝑏𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
8584reximi2 3079 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8685reximi 3084 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8751, 86sylbir 234 . 2 (∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8850, 87syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  *cxr 11249   < clt 11250  2c2 12269  0cn0 12474  chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-fz 13487  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  cusgr3cyclex  34196
  Copyright terms: Public domain W3C validator