MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt23el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt23el 14384
Description: A set with more than two elements has at least three different elements. (Contributed by BTernaryTau, 21-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashgt23el ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hashgt23el
StepHypRef Expression
1 2pos 12315 . . . . . 6 0 < 2
2 0xr 11261 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3 2re 12286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
43rexri 11272 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ*
5 hashxrcl 14317 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
6 xrlttr 13119 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → ((0 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
72, 4, 5, 6mp3an12i 1466 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → ((0 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
81, 7mpani 695 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (2 < (♯‘𝑉) → 0 < (♯‘𝑉)))
9 hashgt0elex 14361 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 𝑎𝑉)
109ex 414 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 𝑎𝑉))
118, 10syld 47 . . . 4 (𝑉𝑊 → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 𝑎𝑉))
1211imp 408 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 𝑎𝑉)
13 difexg 5328 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V)
14 difsnid 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}) = 𝑉)
1514fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑉 → (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) = (♯‘𝑉))
1615breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑉 → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) ↔ 2 < (♯‘𝑉)))
1716adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑉𝑊) → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) ↔ 2 < (♯‘𝑉)))
18 df-2 12275 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
1918breq1i 5156 . . . . . . . . . . . 12 (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})))
20 neldifsn 4796 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})
21 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
22 hashunsnggt 14354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑎𝑉 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2321, 22mp3anl3 1458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑎𝑉) ∧ ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2413, 23sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉𝑊𝑎𝑉) ∧ ¬ 𝑎 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2520, 24mpan2 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) ↔ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))))
2625biimp3ar 1471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑎𝑉 ∧ (1 + 1) < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
2719, 26syl3an3b 1406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑎𝑉 ∧ 2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎}))) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
28273expia 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
2928ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑉𝑊) → (2 < (♯‘((𝑉 ∖ {𝑎}) ∪ {𝑎})) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
3017, 29sylbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑉𝑊) → (2 < (♯‘𝑉) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
31303impia 1118 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
32313expib 1123 . . . . . 6 (𝑎𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
33 1lt2 12383 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
34 1xr 11273 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
35 xrlttr 13119 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉)))
3634, 4, 5, 35mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . 11 (𝑉𝑊 → ((1 < 2 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉)))
3733, 36mpani 695 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑊 → (2 < (♯‘𝑉) → 1 < (♯‘𝑉)))
3837imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
39383adant1 1131 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
40 difsn 4802 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑎}) = 𝑉)
41403ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ∖ {𝑎}) = 𝑉)
4241fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})) = (♯‘𝑉))
4339, 42breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((¬ 𝑎𝑉𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
44433expib 1123 . . . . . 6 𝑎𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))))
4532, 44pm2.61i 182 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎})))
46 hashgt12el 14382 . . . . 5 (((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ V ∧ 1 < (♯‘(𝑉 ∖ {𝑎}))) → ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐)
4713, 45, 46syl2an2r 684 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐)
4847alrimiv 1931 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐)
49 19.29r 1878 . . 3 ((∃𝑎 𝑎𝑉 ∧ ∀𝑎𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → ∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐))
5012, 48, 49syl2anc 585 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐))
51 df-rex 3072 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐))
52 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
53 necom 2995 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
5453anbi2i 624 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝑉𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑉𝑎𝑏))
5552, 54bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑎𝑏))
56 ax-5 1914 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑏 → ∀𝑐 𝑎𝑏)
5756anim2i 618 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑉𝑎𝑏) → (𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏))
5855, 57sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → (𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏))
59 3anass 1096 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑐𝑉 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
6059exbii 1851 . . . . . . . . 9 (∃𝑐(𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
61 df-rex 3072 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐))
62 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑐𝑉𝑐𝑎))
63 necom 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝑎𝑎𝑐)
6463anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑉𝑐𝑎) ↔ (𝑐𝑉𝑎𝑐))
6562, 64bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑐𝑉𝑎𝑐))
6665anbi1i 625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐) ↔ ((𝑐𝑉𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
67 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ((𝑐𝑉𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
6866, 67bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐) ↔ (𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐))
6968exbii 1851 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐(𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑏𝑐) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐))
7061, 69bitri 275 . . . . . . . . 9 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉𝑎𝑐𝑏𝑐))
71 df-rex 3072 . . . . . . . . 9 (∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ∃𝑐(𝑐𝑉 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
7260, 70, 713bitr4i 303 . . . . . . . 8 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 ↔ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐))
7372biimpi 215 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐))
7458, 73anim12i 614 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → ((𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
75 alral 3076 . . . . . . . . . 10 (∀𝑐 𝑎𝑏 → ∀𝑐𝑉 𝑎𝑏)
7675anim1i 616 . . . . . . . . 9 ((∀𝑐 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (∀𝑐𝑉 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
77 r19.29 3115 . . . . . . . . 9 ((∀𝑐𝑉 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
78 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)))
7978biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8079reximi 3085 . . . . . . . . 9 (∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏 ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8176, 77, 803syl 18 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8281anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝑏𝑉 ∧ (∀𝑐 𝑎𝑏 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐))) → (𝑏𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
8382anassrs 469 . . . . . 6 (((𝑏𝑉 ∧ ∀𝑐 𝑎𝑏) ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (𝑏𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
8474, 83syl 17 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → (𝑏𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)))
8584reximi2 3080 . . . 4 (∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8685reximi 3085 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8751, 86sylbir 234 . 2 (∃𝑎(𝑎𝑉 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})𝑏𝑐) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
8850, 87syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cdif 3946  cun 3947  {csn 4629   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  *cxr 11247   < clt 11248  2c2 12267  0cn0 12472  chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  cusgr3cyclex  34127
  Copyright terms: Public domain W3C validator