MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummatr01 20743
Description: Lemma 1 for smadiadetlem4 20753. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
gsummatr01.r 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
gsummatr01.0 0 = (0g𝐺)
gsummatr01.s 𝑆 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗,𝑛   𝐵,𝑖,𝑗,𝑛   𝑖,𝐺,𝑗,𝑛   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝐾,𝑟   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛   𝐿,𝑟   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   𝑆,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)   𝐺(𝑟)   𝑁(𝑟)   0 (𝑟)

Proof of Theorem gsummatr01
StepHypRef Expression
1 difsnid 4495 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
21eqcomd 2771 . . . . . 6 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
323ad2ant1 1163 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
433ad2ant3 1165 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
54mpteq1d 4897 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))
65oveq2d 6858 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))))
7 gsummatr01.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
8 gsummatr01.r . . 3 𝑅 = {𝑟𝑃 ∣ (𝑟𝐾) = 𝐿}
9 gsummatr01.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
10 gsummatr01.s . . 3 𝑆 = (Base‘𝐺)
117, 8, 9, 10gsummatr01lem3 20741 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))))
12 eqidd 2766 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
13 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟𝐾) = (𝑄𝐾))
1413eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑄 → ((𝑟𝐾) = 𝐿 ↔ (𝑄𝐾) = 𝐿))
1514, 8elrab2 3523 . . . . . . . . . 10 (𝑄𝑅 ↔ (𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿))
16 eqeq2 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄𝐾) = 𝐿 → (𝑗 = (𝑄𝐾) ↔ 𝑗 = 𝐿))
1716adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → (𝑗 = (𝑄𝐾) ↔ 𝑗 = 𝐿))
1817anbi2d 622 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑃 ∧ (𝑄𝐾) = 𝐿) → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) ↔ (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿)))
1915, 18sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑄𝑅 → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) ↔ (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿)))
20193ad2ant3 1165 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) ↔ (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿)))
21 iftrue 4249 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐾 → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵))
22 iftrue 4249 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐿 → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = 0 )
2321, 22sylan9eq 2819 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐿) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = 0 )
2420, 23syl6bi 244 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → ((𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = 0 ))
2524imp 395 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ (𝑖 = 𝐾𝑗 = (𝑄𝐾))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = 0 )
26 simp1 1166 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 𝐾𝑁)
277, 8gsummatr01lem1 20739 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑅𝐾𝑁) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
2827ancoms 450 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
29283adant2 1161 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑄𝐾) ∈ 𝑁)
309fvexi 6389 . . . . . . 7 0 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 0 ∈ V)
3212, 25, 26, 29, 31ovmpt2d 6986 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = 0 )
33323ad2ant3 1165 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾)) = 0 )
3433oveq2d 6858 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺) 0 ))
35 cmnmnd 18474 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
3635adantr 472 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
37363ad2ant1 1163 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐺 ∈ Mnd)
38 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
39 simp1l 1254 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → 𝐺 ∈ CMnd)
40 diffi 8399 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
4140adantl 473 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
42413ad2ant1 1163 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
43 eqidd 2766 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗))))
44 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
4544adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖 = 𝐾𝑛 = 𝐾))
46 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑄𝑛) → (𝑗 = 𝐿 ↔ (𝑄𝑛) = 𝐿))
4746ifbid 4265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑄𝑛) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
4847adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵) = if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵))
49 oveq12 6851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → (𝑖𝐴𝑗) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
5045, 48, 49ifbieq12d 4270 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛)) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))))
51 eldifsni 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝐾)
5251neneqd 2942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑛 = 𝐾)
5352iffalsed 4254 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
5453adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑛 = 𝐾, if((𝑄𝑛) = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑛𝐴(𝑄𝑛))) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
5550, 54sylan9eqr 2821 . . . . . . . . 9 ((((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑖 = 𝑛𝑗 = (𝑄𝑛))) → if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
56 eldifi 3894 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑛𝑁)
5756adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → 𝑛𝑁)
58 simp3 1168 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → 𝑄𝑅)
597, 8gsummatr01lem1 20739 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
6058, 56, 59syl2an 589 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
61 ovexd 6876 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ V)
6243, 55, 57, 60, 61ovmpt2d 6986 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
63623ad2antl3 1238 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛𝐴(𝑄𝑛)))
6410eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
65642ralbii 3128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
667, 8gsummatr01lem2 20740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
6765, 66syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑅𝑛𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
6858, 56, 67syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
6968ex 401 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
7069com13 88 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆 → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
7170adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) → ((𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))))
7271imp 395 . . . . . . . . 9 (((∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
73723adant1 1160 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺)))
7473imp 395 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛𝐴(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
7563, 74eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
7675ralrimiva 3113 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) ∈ (Base‘𝐺))
7738, 39, 42, 76gsummptcl 18632 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) ∈ (Base‘𝐺))
78 eqid 2765 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7938, 78, 9mndrid 17578 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))))
8037, 77, 79syl2anc 579 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))))
817, 8, 9, 10gsummatr01lem4 20742 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)) = (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))
8281mpteq2dva 4903 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛))))
8382oveq2d 6858 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
8434, 80, 833eqtrd 2803 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛))))(+g𝐺)(𝐾(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝐾))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
856, 11, 843eqtrd 2803 1 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝐴𝑗) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁𝑄𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 0 , 𝐵), (𝑖𝐴𝑗)))(𝑄𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝐴𝑗))(𝑄𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  cun 3730  ifcif 4243  {csn 4334  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  Fincfn 8160  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  0gc0g 16366   Σg cgsu 16367  Mndcmnd 17560  SymGrpcsymg 18060  CMndccmn 18459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-tset 16233  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-symg 18061  df-cmn 18461
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  20753
  Copyright terms: Public domain W3C validator