Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumnncl 43113
Description: Closure of a nonempty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumnncl.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fsumnncl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumnncl.afi . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumnncl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12293 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
41, 3fsumnn0cl 15448 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5 fsumnncl.an0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
6 n0 4280 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗𝐴)
75, 6sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗 𝑗𝐴)
8 0red 10978 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
10 nfcsb1v 3857 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1110nfel1 2923 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ
129, 11nfim 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
13 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1413anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
15 csbeq1a 3846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
1615eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ))
1714, 16imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)))
1812, 17, 2chvarfv 2233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
1918nnred 11988 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
208, 19readdcld 11004 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
21 diffi 8962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23 eldifi 4061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘𝐴)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘𝐴)
2524, 3syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2622, 25fsumnn0cl 15448 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
2726nn0red 12294 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2928, 19readdcld 11004 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
3018nnrpd 12770 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ+)
318, 30ltaddrpd 12805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
3226nn0ge0d 12296 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
348, 28, 19, 33leadd1dd 11589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
358, 20, 29, 31, 34ltletrd 11135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
36 difsnid 4743 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3837eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
3938sumeq1d 15413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
4022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
42 neldifsnd 4726 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
4443, 24, 2syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
4544nncnd 11989 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47 nnsscn 11978 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
4948, 18sseldd 3922 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
509, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49fsumsplitsn 15456 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
5139, 50eqtr2d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5235, 51breqtrd 5100 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
5352ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5453exlimdv 1936 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
557, 54mpd 15 . . 3 (𝜑 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
564, 55jca 512 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
57 elnnnn0b 12277 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5856, 57sylibr 233 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  csb 3832  cdif 3884  cun 3885  wss 3887  c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   < clt 11009  cle 11010  cn 11973  0cn0 12233  Σcsu 15397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator