Theorem fsumnncl 42638

Description: Closure of a nonempty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumnncl.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumnncl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumnncl.afi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumnncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	1, 3	fsumnn0cl 15179	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5		fsumnncl.an0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		n0 4233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
8		0red 10715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9		nfv 1920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
11	10	nfel1 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ
12	9, 11	nfim 1902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
13		eleq1w 2815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
14	13	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
15		csbeq1a 3802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
16	15	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ))
17	14, 16	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)))
18	12, 17, 2	chvarfv 2241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
19	18	nnred 11724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
20	8, 19	readdcld 10741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
21		diffi 8820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23		eldifi 4015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24	23	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25	24, 3	syldan 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
26	22, 25	fsumnn0cl 15179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
29	28, 19	readdcld 10741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
30	18	nnrpd 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ+)
31	8, 30	ltaddrpd 12540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
32	26	nn0ge0d 12032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
34	8, 28, 19, 33	leadd1dd 11325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
35	8, 20, 29, 31, 34	ltletrd 10871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
36		difsnid 4695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
37	36	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
39	38	sumeq1d 15144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
40	22	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
42		neldifsnd 4678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43		simpl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
44	43, 24, 2	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 11725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47		nnsscn 11714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
49	48, 18	sseldd 3876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49	fsumsplitsn 15186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
51	39, 50	eqtr2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	35, 51	breqtrd 5053	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
53	52	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
54	53	exlimdv 1939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
55	7, 54	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
56	4, 55	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
57		elnnnn0b 12013	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
58	56, 57	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ⦋csb 3788   ∖ cdif 3838   ∪ cun 3839   ⊆ wss 3841  ∅c0 4209  {csn 4513   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  ℂcc 10606  ℝcr 10607  0cc0 10608   + caddc 10611   < clt 10746   ≤ cle 10747  ℕcn 11709  ℕ₀cn0 11969  Σcsu 15128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-sum 15129

This theorem is referenced by: (None)