Theorem fsumnncl 46215

Description: Closure of a nonempty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumnncl.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumnncl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumnncl.afi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumnncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	1, 3	fsumnn0cl 15787	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5		fsumnncl.an0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		n0 4313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
8		0red 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9		nfv 1941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
11	10	nfel1 2947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ
12	9, 11	nfim 1923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
13		eleq1w 2852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
14	13	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
15		csbeq1a 3873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
16	15	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ))
17	14, 16	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)))
18	12, 17, 2	chvarfv 2282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
20	8, 19	readdcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
21		diffi 9159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
22	1, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23		eldifi 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24	23	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25	24, 3	syldan 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
26	22, 25	fsumnn0cl 15787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
29	28, 19	readdcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
30	18	nnrpd 13058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ+)
31	8, 30	ltaddrpd 13093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
32	26	nn0ge0d 12568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
34	8, 28, 19, 33	leadd1dd 11828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
35	8, 20, 29, 31, 34	ltletrd 11370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
36		difsnid 4778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
38	37	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
39	38	sumeq1d 15751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
40	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
42		neldifsnd 4763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43		simpl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
44	43, 24, 2	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47		nnsscn 12238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
49	48, 18	sseldd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49	fsumsplitsn 15795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
51	39, 50	eqtr2d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	35, 51	breqtrd 5139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
53	52	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
54	53	exlimdv 1960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
55	7, 54	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
56	4, 55	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
57		elnnnn0b 12548	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
58	56, 57	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ⦋csb 3859   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4592   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by: (None)