Theorem fsumnncl 43113

Description: Closure of a nonempty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumnncl.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumnncl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumnncl.afi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumnncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	1, 3	fsumnn0cl 15448	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5		fsumnncl.an0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		n0 4280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
8		0red 10978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
11	10	nfel1 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ
12	9, 11	nfim 1899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
13		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
14	13	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
15		csbeq1a 3846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
16	15	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ))
17	14, 16	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)))
18	12, 17, 2	chvarfv 2233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
19	18	nnred 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
20	8, 19	readdcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
21		diffi 8962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25	24, 3	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
26	22, 25	fsumnn0cl 15448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
29	28, 19	readdcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
30	18	nnrpd 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ+)
31	8, 30	ltaddrpd 12805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
32	26	nn0ge0d 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
34	8, 28, 19, 33	leadd1dd 11589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
35	8, 20, 29, 31, 34	ltletrd 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
36		difsnid 4743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
39	38	sumeq1d 15413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
40	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
42		neldifsnd 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
44	43, 24, 2	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47		nnsscn 11978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
49	48, 18	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49	fsumsplitsn 15456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
51	39, 50	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	35, 51	breqtrd 5100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
53	52	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
54	53	exlimdv 1936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
55	7, 54	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
56	4, 55	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
57		elnnnn0b 12277	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
58	56, 57	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ⦋csb 3832   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by: (None)