Theorem fsumnncl 46316

Description: Closure of a nonempty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumnncl.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumnncl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumnncl.afi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumnncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 12571	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	1, 3	fsumnn0cl 15794	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5		fsumnncl.an0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		n0 4306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
8		0red 11217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9		nfv 1943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
11	10	nfel1 2940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ
12	9, 11	nfim 1925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
13		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
14	13	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
15		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
16	15	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ))
17	14, 16	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)))
18	12, 17, 2	chvarfv 2275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
20	8, 19	readdcld 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
21		diffi 9157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
22	1, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24	23	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25	24, 3	syldan 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
26	22, 25	fsumnn0cl 15794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
29	28, 19	readdcld 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
30	18	nnrpd 13064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ+)
31	8, 30	ltaddrpd 13099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
32	26	nn0ge0d 12574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
34	8, 28, 19, 33	leadd1dd 11834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
35	8, 20, 29, 31, 34	ltletrd 11376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
36		difsnid 4775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
38	37	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
39	38	sumeq1d 15758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
40	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
42		neldifsnd 4760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43		simpl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
44	43, 24, 2	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 12255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47		nnsscn 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
49	48, 18	sseldd 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49	fsumsplitsn 15802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
51	39, 50	eqtr2d 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	35, 51	breqtrd 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
53	52	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
54	53	exlimdv 1962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
55	7, 54	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
56	4, 55	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
57		elnnnn0b 12554	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
58	56, 57	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ⦋csb 3852   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  Σcsu 15744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745

This theorem is used by: (None)