Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrmnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrmnf2 41927
Description: Removing minus infinity from a set does not affect its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
supxrmnf2 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrmnf2
StepHypRef Expression
1 ssdifss 4096 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
2 supxrmnf 12698 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
43adantr 484 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
5 difsnid 4726 . . . . 5 (-∞ ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
65supeq1d 8896 . . . 4 (-∞ ∈ 𝐴 → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
76adantl 485 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
84, 7eqtr3d 2861 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
9 difsn 4714 . . . 4 (¬ -∞ ∈ 𝐴 → (𝐴 ∖ {-∞}) = 𝐴)
109supeq1d 8896 . . 3 (¬ -∞ ∈ 𝐴 → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1110adantl 485 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
128, 11pm2.61dan 812 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3915  cun 3916  wss 3918  {csn 4548  supcsup 8890  -∞cmnf 10660  *cxr 10661   < clt 10662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-sup 8892  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860
This theorem is referenced by:  supminfxr2  41965
  Copyright terms: Public domain W3C validator