Theorem supxrmnf2 40403

Description: Removing minus infinity from a set does not affect its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
supxrmnf2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdifss 3939	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
2		supxrmnf 12396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
4	3	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
5		difsnid 4529	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
6	5	supeq1d 8594	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
7	6	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
8	4, 7	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
9		difsn 4517	. . . 4 ⊢ (¬ -∞ ∈ 𝐴 → (𝐴 ∖ {-∞}) = 𝐴)
10	9	supeq1d 8594	. . 3 ⊢ (¬ -∞ ∈ 𝐴 → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
11	10	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
12	8, 11	pm2.61dan 848	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∖ cdif 3766   ∪ cun 3767   ⊆ wss 3769  {csn 4368  supcsup 8588  -∞cmnf 10361  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559

This theorem is referenced by:  supminfxr2  40442