Theorem supxrmnf2 46205

Description: Removing minus infinity from a set does not affect its supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
supxrmnf2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrmnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdifss 4094	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*)
2		supxrmnf 13359	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ))
5		difsnid 4778	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}) = 𝐴)
6	5	supeq1d 9413	. . . 4 ⊢ (-∞ ∈ 𝐴 → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup(((𝐴 ∖ {-∞}) ∪ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
8	4, 7	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ -∞ ∈ 𝐴) → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
9		difsn 4768	. . . 4 ⊢ (¬ -∞ ∈ 𝐴 → (𝐴 ∖ {-∞}) = 𝐴)
10	9	supeq1d 9413	. . 3 ⊢ (¬ -∞ ∈ 𝐴 → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
11	10	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴) → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))
12	8, 11	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup((𝐴 ∖ {-∞}), ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591  supcsup 9407  -∞cmnf 11256  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459

This theorem is used by:  supminfxr2  46241