MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dif1card Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dif1card 10001
Description: The cardinality of a nonempty finite set is one greater than the cardinality of the set with one element removed. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dif1card ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})))
Proof of Theorem dif1card
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 9175 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin)
2 isfi 8968 . . . 4 ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin ↔ βˆƒπ‘š ∈ Ο‰ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š)
3 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š)
4 en2sn 9037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰) β†’ {𝑋} β‰ˆ {π‘š})
543adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ {𝑋} β‰ˆ {π‘š})
6 disjdifr 4471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∩ {𝑋}) = βˆ…
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∩ {𝑋}) = βˆ…)
8 nnord 7859 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ Ord π‘š)
9 ordirr 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord π‘š β†’ Β¬ π‘š ∈ π‘š)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ Β¬ π‘š ∈ π‘š)
11 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘š ∈ π‘š)
1210, 11sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ (π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ…)
13123ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ…)
14 unen 9042 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š ∧ {𝑋} β‰ˆ {π‘š}) ∧ (((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∩ {𝑋}) = βˆ… ∧ (π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ…)) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}))
153, 5, 7, 13, 14syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}))
16 difsnid 4812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) = 𝐴)
17 df-suc 6367 . . . . . . . . . . . . . 14 suc π‘š = (π‘š βˆͺ {π‘š})
1817eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š βˆͺ {π‘š}) = suc π‘š
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π‘š βˆͺ {π‘š}) = suc π‘š)
2016, 19breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}) ↔ 𝐴 β‰ˆ suc π‘š))
21203ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}) ↔ 𝐴 β‰ˆ suc π‘š))
2215, 21mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ 𝐴 β‰ˆ suc π‘š)
23 peano2 7877 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ suc π‘š ∈ Ο‰)
24233ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ suc π‘š ∈ Ο‰)
25 cardennn 9974 . . . . . . . . 9 ((𝐴 β‰ˆ suc π‘š ∧ suc π‘š ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc π‘š)
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc π‘š)
27 cardennn 9974 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š ∧ π‘š ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š)
2827ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š)
29283adant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š)
30 suceq 6427 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š β†’ suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = suc π‘š)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = suc π‘š)
3226, 31eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})))
33323expib 1122 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
3433com12 32 . . . . 5 ((π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
3534rexlimiva 3147 . . . 4 (βˆƒπ‘š ∈ Ο‰ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
362, 35sylbi 216 . . 3 ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
371, 36syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
3837imp 407 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  Ord word 6360  suc csuc 6363  β€˜cfv 6540  Ο‰com 7851   β‰ˆ cen 8932  Fincfn 8935  cardccrd 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930
This theorem is referenced by:  unidifsnel  31759  unidifsnne  31760
  Copyright terms: Public domain W3C validator