MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dif1card Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dif1card 10005
Description: The cardinality of a nonempty finite set is one greater than the cardinality of the set with one element removed. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dif1card ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})))
Proof of Theorem dif1card
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 9179 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin)
2 isfi 8972 . . . 4 ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin ↔ βˆƒπ‘š ∈ Ο‰ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š)
3 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š)
4 en2sn 9041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰) β†’ {𝑋} β‰ˆ {π‘š})
543adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ {𝑋} β‰ˆ {π‘š})
6 disjdifr 4473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∩ {𝑋}) = βˆ…
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∩ {𝑋}) = βˆ…)
8 nnord 7863 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ Ord π‘š)
9 ordirr 6383 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ord π‘š β†’ Β¬ π‘š ∈ π‘š)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ Β¬ π‘š ∈ π‘š)
11 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘š ∈ π‘š)
1210, 11sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ (π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ…)
13123ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ…)
14 unen 9046 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š ∧ {𝑋} β‰ˆ {π‘š}) ∧ (((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∩ {𝑋}) = βˆ… ∧ (π‘š ∩ {π‘š}) = βˆ…)) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}))
153, 5, 7, 13, 14syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}))
16 difsnid 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) = 𝐴)
17 df-suc 6371 . . . . . . . . . . . . . 14 suc π‘š = (π‘š βˆͺ {π‘š})
1817eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š βˆͺ {π‘š}) = suc π‘š
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π‘š βˆͺ {π‘š}) = suc π‘š)
2016, 19breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}) ↔ 𝐴 β‰ˆ suc π‘š))
21203ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (((𝐴 βˆ– {𝑋}) βˆͺ {𝑋}) β‰ˆ (π‘š βˆͺ {π‘š}) ↔ 𝐴 β‰ˆ suc π‘š))
2215, 21mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ 𝐴 β‰ˆ suc π‘š)
23 peano2 7881 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ Ο‰ β†’ suc π‘š ∈ Ο‰)
24233ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ suc π‘š ∈ Ο‰)
25 cardennn 9978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 β‰ˆ suc π‘š ∧ suc π‘š ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc π‘š)
2622, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc π‘š)
27 cardennn 9978 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š ∧ π‘š ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š)
2827ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š)
29283adant1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š)
30 suceq 6431 . . . . . . . . 9 ((cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = π‘š β†’ suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = suc π‘š)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})) = suc π‘š)
3226, 31eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})))
33323expib 1123 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
3433com12 32 . . . . 5 ((π‘š ∈ Ο‰ ∧ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
3534rexlimiva 3148 . . . 4 (βˆƒπ‘š ∈ Ο‰ (𝐴 βˆ– {𝑋}) β‰ˆ π‘š β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
362, 35sylbi 216 . . 3 ((𝐴 βˆ– {𝑋}) ∈ Fin β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
371, 36syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋}))))
3837imp 408 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (cardβ€˜π΄) = suc (cardβ€˜(𝐴 βˆ– {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  Ord word 6364  suc csuc 6367  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855   β‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939  cardccrd 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934
This theorem is referenced by:  unidifsnel  31772  unidifsnne  31773
  Copyright terms: Public domain W3C validator