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Theorem mreexexlem4d 17618
Description: Induction step of the induction in mreexexd 17619. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
mreexexlem2d.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
mreexexlem2d.8 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem4d.9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Ο‰)
mreexexlem4d.A (πœ‘ β†’ βˆ€β„Žβˆ€π‘“ ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)βˆ€π‘” ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)(((𝑓 β‰ˆ 𝐿 ∨ 𝑔 β‰ˆ 𝐿) ∧ 𝑓 βŠ† (π‘β€˜(𝑔 βˆͺ β„Ž)) ∧ (𝑓 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼)))
mreexexlem4d.B (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem4d (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑋   𝑓,𝐼,𝑗,𝑔,β„Ž   𝑓,𝐿,𝑔,β„Ž   𝑓,𝑁,𝑔,β„Ž   𝑦,𝑠,𝑧,𝑁   𝐹,𝑠,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑋,𝑠,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,𝑠)   𝐹(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐺(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐻(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐿(𝑦,𝑧,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑗)
Proof of Theorem mreexexlem4d
Dummy variables 𝑖 π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
21adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
3 mreexexlem2d.2 . . 3 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
4 mreexexlem2d.3 . . 3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
5 mreexexlem2d.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
65adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
7 mreexexlem2d.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
9 mreexexlem2d.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
109adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
11 mreexexlem2d.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
1211adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
13 mreexexlem2d.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
1413adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
15 animorrl 979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝐹 = βˆ… ∨ 𝐺 = βˆ…))
162, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15mreexexlem3d 17617 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
17 n0 4342 . . . . 5 (𝐹 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
1817biimpi 215 . . . 4 (𝐹 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
1918adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
201adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
215adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
227adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
239adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
2411adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
2513adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
26 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
2720, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 25, 26mreexexlem2d 17616 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐺 (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))
28 3anass 1093 . . . . . 6 ((π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼) ↔ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)))
291ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
3029elfvexd 6930 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ V)
31 simpr2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}))
32 difsnb 4805 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ↔ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆ– {π‘ž}) = (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}))
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆ– {π‘ž}) = (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}))
347ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
3534ssdifssd 4138 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
3635ssdifd 4136 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆ– {π‘ž}) βŠ† ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž}))
3733, 36eqsstrrd 4017 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž}))
38 difun1 4285 . . . . . . . . 9 (𝑋 βˆ– (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž})
3937, 38sseqtrrdi 4029 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† (𝑋 βˆ– (𝐻 βˆͺ {π‘ž})))
409ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
4140ssdifd 4136 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) βŠ† ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž}))
4241, 38sseqtrrdi 4029 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) βŠ† (𝑋 βˆ– (𝐻 βˆͺ {π‘ž})))
4311ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
44 simpr1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ π‘ž ∈ 𝐺)
45 uncom 4149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 βˆͺ {π‘ž}) = ({π‘ž} βˆͺ 𝐻)
4645uneq2i 4156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻))
47 unass 4162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) = ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻))
48 difsnid 4809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ {π‘ž}) = 𝐺)
4948uneq1d 4158 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ (((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5047, 49eqtr3id 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻)) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5146, 50eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5244, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5352fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (π‘β€˜((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))) = (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
5443, 53sseqtrrd 4019 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))))
5554ssdifssd 4138 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† (π‘β€˜((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))))
56 simpr3 1194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)
57 mreexexlem4d.B . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿))
59 mreexexlem4d.9 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Ο‰)
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐿 ∈ Ο‰)
61 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
62 3anan12 1094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹)))
63 dif1ennn 9177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿)
6462, 63sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿)
6564expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿))
6660, 61, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿))
67 3anan12 1094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘ž ∈ 𝐺) ↔ (𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘ž ∈ 𝐺)))
68 dif1ennn 9177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘ž ∈ 𝐺) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿)
6967, 68sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘ž ∈ 𝐺)) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿)
7069expcom 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘ž ∈ 𝐺) β†’ (𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿))
7160, 44, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿))
7266, 71orim12d 963 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿 ∨ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿)))
7358, 72mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿 ∨ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿))
74 mreexexlem4d.A . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Žβˆ€π‘“ ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)βˆ€π‘” ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)(((𝑓 β‰ˆ 𝐿 ∨ 𝑔 β‰ˆ 𝐿) ∧ 𝑓 βŠ† (π‘β€˜(𝑔 βˆͺ β„Ž)) ∧ (𝑓 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼)))
7574ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ βˆ€β„Žβˆ€π‘“ ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)βˆ€π‘” ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)(((𝑓 β‰ˆ 𝐿 ∨ 𝑔 β‰ˆ 𝐿) ∧ 𝑓 βŠ† (π‘β€˜(𝑔 βˆͺ β„Ž)) ∧ (𝑓 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼)))
7630, 39, 42, 55, 56, 73, 75mreexexlemd 17615 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž})((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))
7730adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑋 ∈ V)
789ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
7978difss2d 4130 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐺 βŠ† 𝑋)
8077, 79ssexd 5318 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐺 ∈ V)
81 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}))
8281elpwid 4607 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑖 βŠ† (𝐺 βˆ– {π‘ž}))
8382difss2d 4130 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑖 βŠ† 𝐺)
84 simplr1 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ π‘ž ∈ 𝐺)
8584snssd 4808 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ {π‘ž} βŠ† 𝐺)
8683, 85unssd 4182 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βŠ† 𝐺)
8780, 86sselpwd 5322 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∈ 𝒫 𝐺)
88 difsnid 4809 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝐹 β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) = 𝐹)
8988ad3antlr 730 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) = 𝐹)
90 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖)
91 en2sn 9057 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ ∈ V ∧ π‘ž ∈ V) β†’ {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž})
9291el2v 3477 . . . . . . . . . . 11 {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž}
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž})
94 disjdifr 4468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∩ {π‘Ÿ}) = βˆ…
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∩ {π‘Ÿ}) = βˆ…)
96 ssdifin0 4481 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 βŠ† (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β†’ (𝑖 ∩ {π‘ž}) = βˆ…)
9782, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 ∩ {π‘ž}) = βˆ…)
98 unen 9062 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž}) ∧ (((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∩ {π‘Ÿ}) = βˆ… ∧ (𝑖 ∩ {π‘ž}) = βˆ…)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}))
9990, 93, 95, 97, 98syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}))
10089, 99eqbrtrrd 5166 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}))
101 unass 4162 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) = (𝑖 βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻))
102 uncom 4149 . . . . . . . . . . 11 ({π‘ž} βˆͺ 𝐻) = (𝐻 βˆͺ {π‘ž})
103102uneq2i 4156 . . . . . . . . . 10 (𝑖 βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻)) = (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))
104101, 103eqtr2i 2756 . . . . . . . . 9 (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻)
105 simprrr 781 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)
106104, 105eqeltrrid 2833 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
107 breq2 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ (𝐹 β‰ˆ 𝑗 ↔ 𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž})))
108 uneq1 4152 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ (𝑗 βˆͺ 𝐻) = ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻))
109108eleq1d 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ ((𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
110107, 109anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ ((𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∧ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)))
111110rspcev 3607 . . . . . . . 8 (((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∧ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11287, 100, 106, 111syl12anc 836 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11376, 112rexlimddv 3156 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11428, 113sylan2br 594 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11527, 114rexlimddv 3156 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
116115adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11719, 116exlimddv 1931 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11816, 117pm2.61dane 3024 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1532   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7864   β‰ˆ cen 8952  Moorecmre 17553  mrClscmrc 17554  mrIndcmri 17555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-en 8956  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-mri 17559
This theorem is referenced by:  mreexexd  17619
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