MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexexlem4d 16575
Description: Induction step of the induction in mreexexd 16576. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem4d.9 (𝜑𝐿 ∈ ω)
mreexexlem4d.A (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝐿𝑔𝐿) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑗 ∧ (𝑗) ∈ 𝐼)))
mreexexlem4d.B (𝜑 → (𝐹 ≈ suc 𝐿𝐺 ≈ suc 𝐿))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem4d (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑋   𝑓,𝐼,𝑗,𝑔,   𝑓,𝐿,𝑔,   𝑓,𝑁,𝑔,   𝑦,𝑠,𝑧,𝑁   𝐹,𝑠,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑋,𝑠,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑗,𝑠)   𝐹(𝑓,𝑔,)   𝐺(𝑓,𝑔,)   𝐻(𝑓,𝑔,)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐿(𝑦,𝑧,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑗)

Proof of Theorem mreexexlem4d
Dummy variables 𝑖 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
21adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3 mreexexlem2d.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
4 mreexexlem2d.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
5 mreexexlem2d.4 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
65adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐹 = ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
7 mreexexlem2d.5 . . . 4 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
87adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
9 mreexexlem2d.6 . . . 4 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
109adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
11 mreexexlem2d.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
1211adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
13 mreexexlem2d.8 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
1413adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐹 = ∅) → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
15 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 = ∅)
1615orcd 899 . . 3 ((𝜑𝐹 = ∅) → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
172, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16mreexexlem3d 16574 . 2 ((𝜑𝐹 = ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
18 n0 4095 . . . . 5 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟𝐹)
1918biimpi 207 . . . 4 (𝐹 ≠ ∅ → ∃𝑟 𝑟𝐹)
2019adantl 473 . . 3 ((𝜑𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑟 𝑟𝐹)
211adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝐹) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
225adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝐹) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
237adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝐹) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
249adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝐹) → 𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
2511adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝐹) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
2613adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝐹) → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
27 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑟𝐹) → 𝑟𝐹)
2821, 3, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27mreexexlem2d 16573 . . . . 5 ((𝜑𝑟𝐹) → ∃𝑞𝐺𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))
29 3anass 1116 . . . . . 6 ((𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼) ↔ (𝑞𝐺 ∧ (¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)))
301ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3130elfvexd 6410 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ V)
32 simpr2 1250 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}))
33 difsnb 4491 . . . . . . . . . . 11 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ↔ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∖ {𝑞}) = (𝐹 ∖ {𝑟}))
3432, 33sylib 209 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∖ {𝑞}) = (𝐹 ∖ {𝑟}))
357ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
3635ssdifssd 3910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐹 ∖ {𝑟}) ⊆ (𝑋𝐻))
3736ssdifd 3908 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∖ {𝑞}) ⊆ ((𝑋𝐻) ∖ {𝑞}))
3834, 37eqsstr3d 3800 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐹 ∖ {𝑟}) ⊆ ((𝑋𝐻) ∖ {𝑞}))
39 difun1 4052 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∖ (𝐻 ∪ {𝑞})) = ((𝑋𝐻) ∖ {𝑞})
4038, 39syl6sseqr 3812 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐹 ∖ {𝑟}) ⊆ (𝑋 ∖ (𝐻 ∪ {𝑞})))
419ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
4241ssdifd 3908 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐺 ∖ {𝑞}) ⊆ ((𝑋𝐻) ∖ {𝑞}))
4342, 39syl6sseqr 3812 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐺 ∖ {𝑞}) ⊆ (𝑋 ∖ (𝐻 ∪ {𝑞})))
4411ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
45 simpr1 1248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝑞𝐺)
46 uncom 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ {𝑞}) = ({𝑞} ∪ 𝐻)
4746uneq2i 3926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) = ((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ ({𝑞} ∪ 𝐻))
48 unass 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻) = ((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ ({𝑞} ∪ 𝐻))
49 difsnid 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞𝐺 → ((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ {𝑞}) = 𝐺)
5049uneq1d 3928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞𝐺 → (((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻) = (𝐺𝐻))
5148, 50syl5eqr 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞𝐺 → ((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ ({𝑞} ∪ 𝐻)) = (𝐺𝐻))
5247, 51syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐺 → ((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) = (𝐺𝐻))
5345, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) = (𝐺𝐻))
5453fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝑁‘((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞}))) = (𝑁‘(𝐺𝐻)))
5544, 54sseqtr4d 3802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞}))))
5655ssdifssd 3910 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐹 ∖ {𝑟}) ⊆ (𝑁‘((𝐺 ∖ {𝑞}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞}))))
57 simpr3 1252 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)
58 mreexexlem4d.B . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ≈ suc 𝐿𝐺 ≈ suc 𝐿))
5958ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐹 ≈ suc 𝐿𝐺 ≈ suc 𝐿))
60 mreexexlem4d.9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ω)
6160ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝐿 ∈ ω)
62 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → 𝑟𝐹)
63 3anan12 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ω ∧ 𝐹 ≈ suc 𝐿𝑟𝐹) ↔ (𝐹 ≈ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ ω ∧ 𝑟𝐹)))
64 dif1en 8400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ω ∧ 𝐹 ≈ suc 𝐿𝑟𝐹) → (𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝐿)
6563, 64sylbir 226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ≈ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ ω ∧ 𝑟𝐹)) → (𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝐿)
6665expcom 402 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ω ∧ 𝑟𝐹) → (𝐹 ≈ suc 𝐿 → (𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝐿))
6761, 62, 66syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐹 ≈ suc 𝐿 → (𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝐿))
68 3anan12 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ω ∧ 𝐺 ≈ suc 𝐿𝑞𝐺) ↔ (𝐺 ≈ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ ω ∧ 𝑞𝐺)))
69 dif1en 8400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ω ∧ 𝐺 ≈ suc 𝐿𝑞𝐺) → (𝐺 ∖ {𝑞}) ≈ 𝐿)
7068, 69sylbir 226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ≈ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ ω ∧ 𝑞𝐺)) → (𝐺 ∖ {𝑞}) ≈ 𝐿)
7170expcom 402 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ω ∧ 𝑞𝐺) → (𝐺 ≈ suc 𝐿 → (𝐺 ∖ {𝑞}) ≈ 𝐿))
7261, 45, 71syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → (𝐺 ≈ suc 𝐿 → (𝐺 ∖ {𝑞}) ≈ 𝐿))
7367, 72orim12d 987 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ((𝐹 ≈ suc 𝐿𝐺 ≈ suc 𝐿) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝐿 ∨ (𝐺 ∖ {𝑞}) ≈ 𝐿)))
7459, 73mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝐿 ∨ (𝐺 ∖ {𝑞}) ≈ 𝐿))
75 mreexexlem4d.A . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝐿𝑔𝐿) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑗 ∧ (𝑗) ∈ 𝐼)))
7675ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝐿𝑔𝐿) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑗 ∧ (𝑗) ∈ 𝐼)))
7731, 40, 43, 56, 57, 74, 76mreexexlemd 16572 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞})((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))
78 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}))
7978elpwid 4327 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ⊆ (𝐺 ∖ {𝑞}))
8079difss2d 3902 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝐺)
81 simplr1 1275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝑞𝐺)
8281snssd 4494 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → {𝑞} ⊆ 𝐺)
8380, 82unssd 3951 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → (𝑖 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐺)
8431adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝑋 ∈ V)
859ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
8685difss2d 3902 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝐺𝑋)
8784, 86ssexd 4966 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝐺 ∈ V)
88 elpw2g 4985 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ V → ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∈ 𝒫 𝐺 ↔ (𝑖 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐺))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∈ 𝒫 𝐺 ↔ (𝑖 ∪ {𝑞}) ⊆ 𝐺))
9083, 89mpbird 248 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → (𝑖 ∪ {𝑞}) ∈ 𝒫 𝐺)
91 difsnid 4495 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ {𝑟}) = 𝐹)
9291ad3antlr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ {𝑟}) = 𝐹)
93 simprrl 799 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → (𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖)
94 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑟 ∈ V
95 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑞 ∈ V
96 en2sn 8244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ V ∧ 𝑞 ∈ V) → {𝑟} ≈ {𝑞})
9794, 95, 96mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 {𝑟} ≈ {𝑞}
9897a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → {𝑟} ≈ {𝑞})
99 incom 3967 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∩ {𝑟}) = ({𝑟} ∩ (𝐹 ∖ {𝑟}))
100 disjdif 4200 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑟} ∩ (𝐹 ∖ {𝑟})) = ∅
10199, 100eqtri 2787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∩ {𝑟}) = ∅
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∩ {𝑟}) = ∅)
103 ssdifin0 4210 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ⊆ (𝐺 ∖ {𝑞}) → (𝑖 ∩ {𝑞}) = ∅)
10479, 103syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → (𝑖 ∩ {𝑞}) = ∅)
105 unen 8247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ {𝑟} ≈ {𝑞}) ∧ (((𝐹 ∖ {𝑟}) ∩ {𝑟}) = ∅ ∧ (𝑖 ∩ {𝑞}) = ∅)) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ {𝑟}) ≈ (𝑖 ∪ {𝑞}))
10693, 98, 102, 104, 105syl22anc 867 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ {𝑟}) ≈ (𝑖 ∪ {𝑞}))
10792, 106eqbrtrrd 4833 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → 𝐹 ≈ (𝑖 ∪ {𝑞}))
108 unass 3932 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻) = (𝑖 ∪ ({𝑞} ∪ 𝐻))
109 uncom 3919 . . . . . . . . . . 11 ({𝑞} ∪ 𝐻) = (𝐻 ∪ {𝑞})
110109uneq2i 3926 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∪ ({𝑞} ∪ 𝐻)) = (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞}))
111108, 110eqtr2i 2788 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) = ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻)
112 simprrr 800 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)
113111, 112syl5eqelr 2849 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)
114 breq2 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 ∪ {𝑞}) → (𝐹𝑗𝐹 ≈ (𝑖 ∪ {𝑞})))
115 uneq1 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑖 ∪ {𝑞}) → (𝑗𝐻) = ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻))
116115eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 ∪ {𝑞}) → ((𝑗𝐻) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻) ∈ 𝐼))
117114, 116anbi12d 624 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 ∪ {𝑞}) → ((𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹 ≈ (𝑖 ∪ {𝑞}) ∧ ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)))
118117rspcev 3461 . . . . . . . 8 (((𝑖 ∪ {𝑞}) ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹 ≈ (𝑖 ∪ {𝑞}) ∧ ((𝑖 ∪ {𝑞}) ∪ 𝐻) ∈ 𝐼)) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
11990, 107, 113, 118syl12anc 865 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 ∖ {𝑞}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ≈ 𝑖 ∧ (𝑖 ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
12077, 119rexlimddv 3182 . . . . . 6 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ ¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼)) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
12129, 120sylan2br 588 . . . . 5 (((𝜑𝑟𝐹) ∧ (𝑞𝐺 ∧ (¬ 𝑞 ∈ (𝐹 ∖ {𝑟}) ∧ ((𝐹 ∖ {𝑟}) ∪ (𝐻 ∪ {𝑞})) ∈ 𝐼))) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
12228, 121rexlimddv 3182 . . . 4 ((𝜑𝑟𝐹) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
123122adantlr 706 . . 3 (((𝜑𝐹 ≠ ∅) ∧ 𝑟𝐹) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
12420, 123exlimddv 2030 . 2 ((𝜑𝐹 ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
12517, 124pm2.61dane 3024 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑗 ∧ (𝑗𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107  wal 1650   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   class class class wbr 4809  suc csuc 5910  cfv 6068  ωcom 7263  cen 8157  Moorecmre 16510  mrClscmrc 16511  mrIndcmri 16512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-om 7264  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-fin 8164  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-mri 16516
This theorem is referenced by:  mreexexd  16576
  Copyright terms: Public domain W3C validator