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Theorem mreexexlem4d 17587
Description: Induction step of the induction in mreexexd 17588. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
mreexexlem2d.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
mreexexlem2d.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
mreexexlem2d.8 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem4d.9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Ο‰)
mreexexlem4d.A (πœ‘ β†’ βˆ€β„Žβˆ€π‘“ ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)βˆ€π‘” ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)(((𝑓 β‰ˆ 𝐿 ∨ 𝑔 β‰ˆ 𝐿) ∧ 𝑓 βŠ† (π‘β€˜(𝑔 βˆͺ β„Ž)) ∧ (𝑓 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼)))
mreexexlem4d.B (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem4d (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑋   𝑓,𝐼,𝑗,𝑔,β„Ž   𝑓,𝐿,𝑔,β„Ž   𝑓,𝑁,𝑔,β„Ž   𝑦,𝑠,𝑧,𝑁   𝐹,𝑠,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑠,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻   𝑋,𝑠,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,𝑠)   𝐹(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐺(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐻(𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐿(𝑦,𝑧,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑗)   𝑋(𝑧,𝑗)
Proof of Theorem mreexexlem4d
Dummy variables 𝑖 π‘ž π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
21adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
3 mreexexlem2d.2 . . 3 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
4 mreexexlem2d.3 . . 3 𝐼 = (mrIndβ€˜π΄)
5 mreexexlem2d.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
65adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
7 mreexexlem2d.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
87adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
9 mreexexlem2d.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
109adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
11 mreexexlem2d.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
1211adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
13 mreexexlem2d.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
1413adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
15 animorrl 979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝐹 = βˆ… ∨ 𝐺 = βˆ…))
162, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15mreexexlem3d 17586 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
17 n0 4345 . . . . 5 (𝐹 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
1817biimpi 215 . . . 4 (𝐹 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
1918adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
201adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
215adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 π‘‹βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ ((π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑦})) βˆ– (π‘β€˜π‘ ))𝑦 ∈ (π‘β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑧})))
227adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
239adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
2411adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
2513adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
26 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
2720, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 25, 26mreexexlem2d 17585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐺 (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))
28 3anass 1095 . . . . . 6 ((π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼) ↔ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)))
291ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
3029elfvexd 6927 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝑋 ∈ V)
31 simpr2 1195 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}))
32 difsnb 4808 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ↔ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆ– {π‘ž}) = (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}))
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆ– {π‘ž}) = (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}))
347ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐹 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
3534ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
3635ssdifd 4139 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆ– {π‘ž}) βŠ† ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž}))
3733, 36eqsstrrd 4020 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž}))
38 difun1 4288 . . . . . . . . 9 (𝑋 βˆ– (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž})
3937, 38sseqtrrdi 4032 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† (𝑋 βˆ– (𝐻 βˆͺ {π‘ž})))
409ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
4140ssdifd 4139 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) βŠ† ((𝑋 βˆ– 𝐻) βˆ– {π‘ž}))
4241, 38sseqtrrdi 4032 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) βŠ† (𝑋 βˆ– (𝐻 βˆͺ {π‘ž})))
4311ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
44 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ π‘ž ∈ 𝐺)
45 uncom 4152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 βˆͺ {π‘ž}) = ({π‘ž} βˆͺ 𝐻)
4645uneq2i 4159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻))
47 unass 4165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) = ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻))
48 difsnid 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ {π‘ž}) = 𝐺)
4948uneq1d 4161 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ (((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5047, 49eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻)) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5146, 50eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝐺 β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5244, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = (𝐺 βˆͺ 𝐻))
5352fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (π‘β€˜((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))) = (π‘β€˜(𝐺 βˆͺ 𝐻)))
5443, 53sseqtrrd 4022 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐹 βŠ† (π‘β€˜((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))))
5554ssdifssd 4141 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βŠ† (π‘β€˜((𝐺 βˆ– {π‘ž}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))))
56 simpr3 1196 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)
57 mreexexlem4d.B . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿))
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿))
59 mreexexlem4d.9 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Ο‰)
6059ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ 𝐿 ∈ Ο‰)
61 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐹)
62 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ↔ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹)))
63 dif1ennn 9157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿)
6462, 63sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹)) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿)
6564expcom 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿))
6660, 61, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿))
67 3anan12 1096 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘ž ∈ 𝐺) ↔ (𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘ž ∈ 𝐺)))
68 dif1ennn 9157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ π‘ž ∈ 𝐺) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿)
6967, 68sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 ∧ (𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘ž ∈ 𝐺)) β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿)
7069expcom 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ Ο‰ ∧ π‘ž ∈ 𝐺) β†’ (𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿))
7160, 44, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ (𝐺 β‰ˆ suc 𝐿 β†’ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿))
7266, 71orim12d 963 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 β‰ˆ suc 𝐿 ∨ 𝐺 β‰ˆ suc 𝐿) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿 ∨ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿)))
7358, 72mpd 15 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝐿 ∨ (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β‰ˆ 𝐿))
74 mreexexlem4d.A . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Žβˆ€π‘“ ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)βˆ€π‘” ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)(((𝑓 β‰ˆ 𝐿 ∨ 𝑔 β‰ˆ 𝐿) ∧ 𝑓 βŠ† (π‘β€˜(𝑔 βˆͺ β„Ž)) ∧ (𝑓 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼)))
7574ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ βˆ€β„Žβˆ€π‘“ ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)βˆ€π‘” ∈ 𝒫 (𝑋 βˆ– β„Ž)(((𝑓 β‰ˆ 𝐿 ∨ 𝑔 β‰ˆ 𝐿) ∧ 𝑓 βŠ† (π‘β€˜(𝑔 βˆͺ β„Ž)) ∧ (𝑓 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝑔(𝑓 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ β„Ž) ∈ 𝐼)))
7630, 39, 42, 55, 56, 73, 75mreexexlemd 17584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž})((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))
7730adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑋 ∈ V)
789ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐺 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐻))
7978difss2d 4133 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐺 βŠ† 𝑋)
8077, 79ssexd 5323 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐺 ∈ V)
81 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}))
8281elpwid 4610 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑖 βŠ† (𝐺 βˆ– {π‘ž}))
8382difss2d 4133 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝑖 βŠ† 𝐺)
84 simplr1 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ π‘ž ∈ 𝐺)
8584snssd 4811 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ {π‘ž} βŠ† 𝐺)
8683, 85unssd 4185 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βŠ† 𝐺)
8780, 86sselpwd 5325 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∈ 𝒫 𝐺)
88 difsnid 4812 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ 𝐹 β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) = 𝐹)
8988ad3antlr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) = 𝐹)
90 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖)
91 en2sn 9037 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ ∈ V ∧ π‘ž ∈ V) β†’ {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž})
9291el2v 3482 . . . . . . . . . . 11 {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž}
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž})
94 disjdifr 4471 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∩ {π‘Ÿ}) = βˆ…
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∩ {π‘Ÿ}) = βˆ…)
96 ssdifin0 4484 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 βŠ† (𝐺 βˆ– {π‘ž}) β†’ (𝑖 ∩ {π‘ž}) = βˆ…)
9782, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 ∩ {π‘ž}) = βˆ…)
98 unen 9042 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ {π‘Ÿ} β‰ˆ {π‘ž}) ∧ (((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∩ {π‘Ÿ}) = βˆ… ∧ (𝑖 ∩ {π‘ž}) = βˆ…)) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}))
9990, 93, 95, 97, 98syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ {π‘Ÿ}) β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}))
10089, 99eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ 𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}))
101 unass 4165 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) = (𝑖 βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻))
102 uncom 4152 . . . . . . . . . . 11 ({π‘ž} βˆͺ 𝐻) = (𝐻 βˆͺ {π‘ž})
103102uneq2i 4159 . . . . . . . . . 10 (𝑖 βˆͺ ({π‘ž} βˆͺ 𝐻)) = (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž}))
104101, 103eqtr2i 2761 . . . . . . . . 9 (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) = ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻)
105 simprrr 780 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)
106104, 105eqeltrrid 2838 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)
107 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ (𝐹 β‰ˆ 𝑗 ↔ 𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž})))
108 uneq1 4155 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ (𝑗 βˆͺ 𝐻) = ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻))
109108eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ ((𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
110107, 109anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) β†’ ((𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∧ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)))
111110rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹 β‰ˆ (𝑖 βˆͺ {π‘ž}) ∧ ((𝑖 βˆͺ {π‘ž}) βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11287, 100, 106, 111syl12anc 835 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 (𝐺 βˆ– {π‘ž}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) β‰ˆ 𝑖 ∧ (𝑖 βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11376, 112rexlimddv 3161 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11428, 113sylan2br 595 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) ∧ (π‘ž ∈ 𝐺 ∧ (Β¬ π‘ž ∈ (𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) ∧ ((𝐹 βˆ– {π‘Ÿ}) βˆͺ (𝐻 βˆͺ {π‘ž})) ∈ 𝐼))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11527, 114rexlimddv 3161 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
116115adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11719, 116exlimddv 1938 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
11816, 117pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝒫 𝐺(𝐹 β‰ˆ 𝑗 ∧ (𝑗 βˆͺ 𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  suc csuc 6363  β€˜cfv 6540  Ο‰com 7851   β‰ˆ cen 8932  Moorecmre 17522  mrClscmrc 17523  mrIndcmri 17524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-en 8936  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mri 17528
This theorem is referenced by:  mreexexd  17588
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