Theorem tdeglem4 26019

Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3086	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 21311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 21345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 21313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 21343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 20215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐴)
20	9	ffnd 6661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 Fn 𝐼)
21	19, 20	fndmexd 7844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ V)
23	9	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
26	8	psrbagfsupp 21873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
27	10, 26	eqbrtrrd 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
29		disjdifr 4423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33	gsumsplit2 19856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36	22	difexd 5274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		nn0subm 21375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
39	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
40		eldifi 4081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelcdm 7024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	39, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 7058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 7168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45		funmpt 6528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
47		funmpt 6528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
48		difss 4086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
49		mptss 5999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
51	22	mptexd 7168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
52		funsssuppss 8130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
53	47, 50, 51, 52	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
54		fsuppsssupp 9282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
55	44, 46, 28, 53, 54	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
56	14, 18, 36, 38, 43, 55	gsumsubmcl 19846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
57		ringmnd 20176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
58	16, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
59		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
60	39, 59	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
62		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
63	13, 62	gsumsn 19881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
64	58, 59, 61, 63	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
65		elnn0 12401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
66	60, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
67		neneq 2936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
68	67	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
69	66, 68	olcnd 877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
70	64, 69	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
71		nn0nnaddcl 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
72	56, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
73	72	nnne0d 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
74	35, 73	eqnetrd 2997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
75	74	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
76	2, 75	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
77	76	rexlimdva 3135	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
78	1, 77	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
79	78	necon4bd 2950	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
80		c0ex 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
81		fnconstg 6720	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
82	80, 81	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
83		eqfnfv 6974	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
84	20, 82, 83	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
85	80	fvconst2 7148	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
86	85	eqeq2d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
87	86	ralbiia 3078	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
88	84, 87	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
89	79, 88	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
90	8	psrbag0 22015	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
91		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
92		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
93	91, 4, 92	fvmpt 6939	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
94	21, 90, 93	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
95		fconstmpt 5684	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
96	95	oveq2i 7367	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
97	14	gsumz 18759	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
98	58, 21, 97	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
99	96, 98	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
100	94, 99	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
101		fveqeq2 6841	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
102	100, 101	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
103	89, 102	impbid 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   supp csupp 8100   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881   finSupp cfsupp 9262  ℂcc 11022  0cc0 11024   + caddc 11027  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657  SubMndcsubmnd 18705  CMndccmn 19707  Ringcrg 20166  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-cnfld 21308

This theorem is referenced by:  mdegle0  26036