Theorem tdeglem4 26038

Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 21351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 21385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 21353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 21383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 20257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐴)
20	9	ffnd 6664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 Fn 𝐼)
21	19, 20	fndmexd 7849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ V)
23	9	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
26	8	psrbagfsupp 21912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
27	10, 26	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
29		disjdifr 4414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33	gsumsplit2 19898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36	22	difexd 5269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		nn0subm 21415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
39	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
40		eldifi 4072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	39, 40, 41	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 7173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45		funmpt 6531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
47		funmpt 6531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
48		difss 4077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
49		mptss 6002	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
51	22	mptexd 7173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
52		funsssuppss 8134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
53	47, 50, 51, 52	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
54		fsuppsssupp 9288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
55	44, 46, 28, 53, 54	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
56	14, 18, 36, 38, 43, 55	gsumsubmcl 19888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
57		ringmnd 20218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
58	16, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
59		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
60	39, 59	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
62		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
63	13, 62	gsumsn 19923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
64	58, 59, 61, 63	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
65		elnn0 12433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
66	60, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
67		neneq 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
68	67	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
69	66, 68	olcnd 878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
70	64, 69	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
71		nn0nnaddcl 12462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
72	56, 70, 71	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
73	72	nnne0d 12221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
74	35, 73	eqnetrd 3000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
75	74	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
76	2, 75	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
77	76	rexlimdva 3139	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
78	1, 77	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
79	78	necon4bd 2953	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
80		c0ex 11132	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
81		fnconstg 6723	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
82	80, 81	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
83		eqfnfv 6978	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
84	20, 82, 83	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
85	80	fvconst2 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
86	85	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
87	86	ralbiia 3082	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
88	84, 87	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
89	79, 88	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
90	8	psrbag0 22053	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
91		oveq2 7369	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
92		ovex 7394	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
93	91, 4, 92	fvmpt 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
94	21, 90, 93	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
95		fconstmpt 5687	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
96	95	oveq2i 7372	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
97	14	gsumz 18798	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
98	58, 21, 97	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
99	96, 98	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
100	94, 99	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
101		fveqeq2 6844	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
102	100, 101	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
103	89, 102	impbid 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   supp csupp 8104   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  ℂcc 11030  0cc0 11032   + caddc 11035  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431   Σ_g cgsu 17397  Mndcmnd 18696  SubMndcsubmnd 18744  CMndccmn 19749  Ringcrg 20208  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  mdegle0  26055