MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem4 25905
Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑋,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)
Proof of Theorem tdeglem4
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3092 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
2 df-ne 2933 . . . . . . 7 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
3 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
5 ovex 7434 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6988 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagf 21771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
109feqmptd 6950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1211oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝑋) = (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))))
13 cnfldbas 21227 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
14 cnfld0 21248 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
15 cnfldadd 21228 . . . . . . . . . . 11 + = (+gβ€˜β„‚fld)
16 cnring 21246 . . . . . . . . . . . 12 β„‚fld ∈ Ring
17 ringcmn 20166 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
209ffnd 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
2119, 20fndmexd 7890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝐼 ∈ V)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 ∈ V)
239ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2423nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2524adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
268psrbagfsupp 21773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 finSupp 0)
2710, 26eqbrtrrd 5162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
29 disjdifr 4464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
31 difsnid 4805 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐼)
3231eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3332ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3413, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33gsumsplit2 19834 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
357, 12, 343eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
3622difexd 5319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
37 nn0subm 21279 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
399adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
40 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
41 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4239, 40, 41syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4342fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)):(𝐼 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„•0)
4436mptexd 7217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
45 funmpt 6576 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
47 funmpt 6576 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
48 difss 4123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
49 mptss 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
5122mptexd 7217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
52 funsssuppss 8169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
5347, 50, 51, 52mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
54 fsuppsssupp 9374 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
5544, 46, 28, 53, 54syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
5614, 18, 36, 38, 43, 55gsumsubmcl 19824 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0)
57 ringmnd 20133 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
5816, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚fld ∈ Mnd
59 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6039, 59ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
6160nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
62 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6313, 62gsumsn 19859 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6458, 59, 61, 63mp3an2i 1462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
65 elnn0 12470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0 ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
6660, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
67 neneq 2938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
6867ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
6966, 68olcnd 874 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•)
7064, 69eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•)
71 nn0nnaddcl 12499 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0 ∧ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7256, 70, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7372nnne0d 12258 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) β‰  0)
7435, 73eqnetrd 3000 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0)
7574expr 456 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
762, 75biimtrrid 242 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
7776rexlimdva 3147 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
781, 77biimtrrid 242 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
7978necon4bd 2952 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
80 c0ex 11204 . . . . . 6 0 ∈ V
81 fnconstg 6769 . . . . . 6 (0 ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
8280, 81mp1i 13 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
83 eqfnfv 7022 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
8420, 82, 83syl2anc 583 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
8580fvconst2 7197 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
8685eqeq2d 2735 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
8786ralbiia 3083 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
8884, 87bitrdi 287 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
8979, 88sylibrd 259 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
908psrbag0 21924 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
91 oveq2 7409 . . . . . 6 (β„Ž = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
92 ovex 7434 . . . . . 6 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) ∈ V
9391, 4, 92fvmpt 6988 . . . . 5 ((𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
9421, 90, 933syl 18 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
95 fconstmpt 5728 . . . . . 6 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
9695oveq2i 7412 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
9714gsumz 18748 . . . . . 6 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
9858, 21, 97sylancr 586 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
9996, 98eqtrid 2776 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0)
10094, 99eqtrd 2764 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0)
101 fveqeq2 6890 . . 3 (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0))
102100, 101syl5ibrcom 246 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π»β€˜π‘‹) = 0))
10389, 102impbid 211 1 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  β—‘ccnv 5665   β€œ cima 5669  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140   ↑m cmap 8815  Fincfn 8934   finSupp cfsupp 9356  β„‚cc 11103  0cc0 11105   + caddc 11108  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18654  SubMndcsubmnd 18699  CMndccmn 19685  Ringcrg 20123  β„‚fldccnfld 21223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-mulg 18983  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-ur 20072  df-ring 20125  df-cring 20126  df-cnfld 21224
This theorem is referenced by:  mdegle0  25923
  Copyright terms: Public domain W3C validator