Theorem tdeglem4 25987

Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3084	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 21290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 21324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 21292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 21322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 20195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐴)
20	9	ffnd 6647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 Fn 𝐼)
21	19, 20	fndmexd 7829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ V)
23	9	ffvelcdmda 7012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
26	8	psrbagfsupp 21851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
27	10, 26	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
29		disjdifr 4418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33	gsumsplit2 19836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36	22	difexd 5264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		nn0subm 21354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
39	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
40		eldifi 4076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelcdm 7009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	39, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 7043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 7153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45		funmpt 6514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
47		funmpt 6514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
48		difss 4081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
49		mptss 5986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
51	22	mptexd 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
52		funsssuppss 8115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
53	47, 50, 51, 52	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
54		fsuppsssupp 9260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
55	44, 46, 28, 53, 54	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
56	14, 18, 36, 38, 43, 55	gsumsubmcl 19826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
57		ringmnd 20156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
58	16, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
59		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
60	39, 59	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
62		fveq2 6817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
63	13, 62	gsumsn 19861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
64	58, 59, 61, 63	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
65		elnn0 12378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
66	60, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
67		neneq 2934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
68	67	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
69	66, 68	olcnd 877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
70	64, 69	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
71		nn0nnaddcl 12407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
72	56, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
73	72	nnne0d 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
74	35, 73	eqnetrd 2995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
75	74	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
76	2, 75	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
77	76	rexlimdva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
78	1, 77	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
79	78	necon4bd 2948	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
80		c0ex 11101	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
81		fnconstg 6706	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
82	80, 81	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
83		eqfnfv 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
84	20, 82, 83	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
85	80	fvconst2 7133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
86	85	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
87	86	ralbiia 3076	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
88	84, 87	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
89	79, 88	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
90	8	psrbag0 21992	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
91		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
92		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
93	91, 4, 92	fvmpt 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
94	21, 90, 93	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
95		fconstmpt 5673	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
96	95	oveq2i 7352	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
97	14	gsumz 18739	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
98	58, 21, 97	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
99	96, 98	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
100	94, 99	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
101		fveqeq2 6826	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
102	100, 101	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
103	89, 102	impbid 212	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  {csn 4571   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609  ^◡ccnv 5610   “ cima 5614  Fun wfun 6470   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   supp csupp 8085   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240  ℂcc 10999  0cc0 11001   + caddc 11004  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376   Σ_g cgsu 17339  Mndcmnd 18637  SubMndcsubmnd 18685  CMndccmn 19687  Ringcrg 20146  ℂ_fldccnfld 21286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-cnfld 21287

This theorem is referenced by:  mdegle0  26004