MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem4 25569
Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑋,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)
Proof of Theorem tdeglem4
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3101 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
2 df-ne 2942 . . . . . . 7 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
3 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
5 ovex 7439 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6996 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagf 21463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
109feqmptd 6958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1110adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1211oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝑋) = (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))))
13 cnfldbas 20941 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
14 cnfld0 20962 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
15 cnfldadd 20942 . . . . . . . . . . 11 + = (+gβ€˜β„‚fld)
16 cnring 20960 . . . . . . . . . . . 12 β„‚fld ∈ Ring
17 ringcmn 20093 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
209ffnd 6716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
2119, 20fndmexd 7894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝐼 ∈ V)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 ∈ V)
239ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2423nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
268psrbagfsupp 21465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 finSupp 0)
2710, 26eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
29 disjdifr 4472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
31 difsnid 4813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐼)
3231eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3413, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33gsumsplit2 19792 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
357, 12, 343eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
3622difexd 5329 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
37 nn0subm 20993 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
399adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
40 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
41 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4239, 40, 41syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4342fmpttd 7112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)):(𝐼 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„•0)
4436mptexd 7223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
45 funmpt 6584 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
47 funmpt 6584 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
48 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
49 mptss 6041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
5122mptexd 7223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
52 funsssuppss 8172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
5347, 50, 51, 52mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
54 fsuppsssupp 9376 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
5544, 46, 28, 53, 54syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
5614, 18, 36, 38, 43, 55gsumsubmcl 19782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0)
57 ringmnd 20060 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
5816, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚fld ∈ Mnd
59 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6039, 59ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
6160nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
62 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6313, 62gsumsn 19817 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6458, 59, 61, 63mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
65 elnn0 12471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0 ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
6660, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
67 neneq 2947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
6867ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
6966, 68olcnd 876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•)
7064, 69eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•)
71 nn0nnaddcl 12500 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0 ∧ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7256, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7372nnne0d 12259 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) β‰  0)
7435, 73eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0)
7574expr 458 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
762, 75biimtrrid 242 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
7776rexlimdva 3156 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
781, 77biimtrrid 242 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
7978necon4bd 2961 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
80 c0ex 11205 . . . . . 6 0 ∈ V
81 fnconstg 6777 . . . . . 6 (0 ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
8280, 81mp1i 13 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
83 eqfnfv 7030 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
8420, 82, 83syl2anc 585 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
8580fvconst2 7202 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
8685eqeq2d 2744 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
8786ralbiia 3092 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
8884, 87bitrdi 287 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
8979, 88sylibrd 259 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
908psrbag0 21615 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
91 oveq2 7414 . . . . . 6 (β„Ž = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
92 ovex 7439 . . . . . 6 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) ∈ V
9391, 4, 92fvmpt 6996 . . . . 5 ((𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
9421, 90, 933syl 18 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
95 fconstmpt 5737 . . . . . 6 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
9695oveq2i 7417 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
9714gsumz 18714 . . . . . 6 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
9858, 21, 97sylancr 588 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
9996, 98eqtrid 2785 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0)
10094, 99eqtrd 2773 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0)
101 fveqeq2 6898 . . 3 (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0))
102100, 101syl5ibrcom 246 . 2 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π»β€˜π‘‹) = 0))
10389, 102impbid 211 1 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   supp csupp 8143   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  β„‚cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469   Ξ£g cgsu 17383  Mndcmnd 18622  SubMndcsubmnd 18667  CMndccmn 19643  Ringcrg 20050  β„‚fldccnfld 20937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-cnfld 20938
This theorem is referenced by:  mdegle0  25587
  Copyright terms: Public domain W3C validator