Theorem tdeglem4 26117

Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3114	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 21425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 21445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 21427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 21443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 20328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐴)
20	9	ffnd 6692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 Fn 𝐼)
21	19, 20	fndmexd 7885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ V)
23	9	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
26	8	psrbagfsupp 21968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
27	10, 26	eqbrtrrd 5124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
28	27	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
29		disjdifr 4427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33	gsumsplit2 19969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36	22	difexd 5287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		nn0subm 21471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
39	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
40		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelcdm 7062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	39, 40, 41	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 7096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 7208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45		funmpt 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
47		funmpt 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
48		difss 4089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
49		mptss 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
51	22	mptexd 7208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
52		funsssuppss 8170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
53	47, 50, 51, 52	mp3an12i 1486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
54		fsuppsssupp 9327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
55	44, 46, 28, 53, 54	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
56	14, 18, 36, 38, 43, 55	gsumsubmcl 19959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
57		ringmnd 20289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
58	16, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
59		simprl 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
60	39, 59	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
62		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
63	13, 62	gsumsn 19994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
64	58, 59, 61, 63	mp3an2i 1487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
65		elnn0 12483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
66	60, 65	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
67		neneq 2963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
68	67	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
69	66, 68	olcnd 888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
70	64, 69	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
71		nn0nnaddcl 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
72	56, 70, 71	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
73	72	nnne0d 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
74	35, 73	eqnetrd 3024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
75	74	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
76	2, 75	biimtrrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
77	76	rexlimdva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
78	1, 77	biimtrrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
79	78	necon4bd 2977	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
80		c0ex 11173	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
81		fnconstg 6752	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
82	80, 81	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
83		eqfnfv 7011	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
84	20, 82, 83	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
85	80	fvconst2 7188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
86	85	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
87	86	ralbiia 3106	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
88	84, 87	bitrdi 289	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
89	79, 88	sylibrd 261	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
90	8	psrbag0 22112	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
91		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
92		ovex 7429	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
93	91, 4, 92	fvmpt 6975	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
94	21, 90, 93	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
95		fconstmpt 5709	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
96	95	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
97	14	gsumz 18870	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
98	58, 21, 97	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
99	96, 98	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
100	94, 99	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
101		fveqeq2 6876	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
102	100, 101	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
103	89, 102	impbid 214	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3414  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   supp csupp 8140   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9307  ℂcc 11071  0cc0 11073   + caddc 11076  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481   Σ_g cgsu 17469  Mndcmnd 18768  SubMndcsubmnd 18816  CMndccmn 19820  Ringcrg 20279  ℂ_fldccnfld 21421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-ur 20228  df-ring 20281  df-cring 20282  df-cnfld 21422

This theorem is referenced by:  mdegle0  26134