MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem4 26114
Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4 (𝑋𝐴 → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑋,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3098 . . . . 5 (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
2 df-ne 2939 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋𝑥) = 0)
3 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
5 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 7016 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagf 21956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐴𝑋:𝐼⟶ℕ0)
109feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐴𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1211oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))))
13 cnfldbas 21386 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfld0 21423 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
15 cnfldadd 21388 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℂfld)
16 cnring 21421 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ Ring
17 ringcmn 20296 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐴𝑋𝐴)
209ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐴𝑋 Fn 𝐼)
2119, 20fndmexd 7927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐴𝐼 ∈ V)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ V)
239ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
2524adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
268psrbagfsupp 21957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐴𝑋 finSupp 0)
2710, 26eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐴 → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
29 disjdifr 4479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31 difsnid 4815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
3231eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3332ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3413, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33gsumsplit2 19962 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
357, 12, 343eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
3622difexd 5337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37 nn0subm 21458 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
399adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
40 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦𝐼)
41 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
4239, 40, 41syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
4342fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
4436mptexd 7244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
45 funmpt 6606 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)))
47 funmpt 6606 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
48 difss 4146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
49 mptss 6062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5122mptexd 7244 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
52 funsssuppss 8214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
5347, 50, 51, 52mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
54 fsuppsssupp 9419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∧ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
5544, 46, 28, 53, 54syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
5614, 18, 36, 38, 43, 55gsumsubmcl 19952 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0)
57 ringmnd 20261 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
5816, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ Mnd
59 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑥𝐼)
6039, 59ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ0)
6160nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
62 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋𝑦) = (𝑋𝑥))
6313, 62gsumsn 19987 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
6458, 59, 61, 63mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
65 elnn0 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
6660, 65sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
67 neneq 2944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑥) ≠ 0 → ¬ (𝑋𝑥) = 0)
6867ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋𝑥) = 0)
6966, 68olcnd 877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ)
7064, 69eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ)
71 nn0nnaddcl 12555 . . . . . . . . . . 11 (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
7256, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
7372nnne0d 12314 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ≠ 0)
7435, 73eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴 ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) ≠ 0)
7574expr 456 . . . . . . 7 ((𝑋𝐴𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
762, 75biimtrrid 243 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝑥𝐼) → (¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
7776rexlimdva 3153 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
781, 77biimtrrid 243 . . . 4 (𝑋𝐴 → (¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
7978necon4bd 2958 . . 3 (𝑋𝐴 → ((𝐻𝑋) = 0 → ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
80 c0ex 11253 . . . . . 6 0 ∈ V
81 fnconstg 6797 . . . . . 6 (0 ∈ V → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
8280, 81mp1i 13 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
83 eqfnfv 7051 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
8420, 82, 83syl2anc 584 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
8580fvconst2 7224 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
8685eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑥𝐼 → ((𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
8786ralbiia 3089 . . . 4 (∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
8884, 87bitrdi 287 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
8979, 88sylibrd 259 . 2 (𝑋𝐴 → ((𝐻𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
908psrbag0 22104 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
91 oveq2 7439 . . . . . 6 ( = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
92 ovex 7464 . . . . . 6 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
9391, 4, 92fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
9421, 90, 933syl 18 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
95 fconstmpt 5751 . . . . . 6 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
9695oveq2i 7442 . . . . 5 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0))
9714gsumz 18862 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
9858, 21, 97sylancr 587 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
9996, 98eqtrid 2787 . . . 4 (𝑋𝐴 → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
10094, 99eqtrd 2775 . . 3 (𝑋𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
101 fveqeq2 6916 . . 3 (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
102100, 101syl5ibrcom 247 . 2 (𝑋𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻𝑋) = 0))
10389, 102impbid 212 1 (𝑋𝐴 → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  cc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156  cn 12264  0cn0 12524   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21383
This theorem is referenced by:  mdegle0  26131
  Copyright terms: Public domain W3C validator