Theorem tdeglem4 26084

Description: There is only one multi-index with total degree 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 7-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3093	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 21928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 21359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 21396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 21361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 21394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 20273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐴)
20	9	ffnd 6731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 Fn 𝐼)
21	19, 20	fndmexd 7922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝐼 ∈ V)
22	21	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ V)
23	9	ffvelcdmda 7100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
26	8	psrbagfsupp 21929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 finSupp 0)
27	10, 26	eqbrtrrd 5178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
28	27	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
29		disjdifr 4478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 22, 25, 28, 30, 33	gsumsplit2 19939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36	22	difexd 5337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		nn0subm 21431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
39	9	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
40		eldifi 4134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelcdm 7097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	39, 40, 41	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 7131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 7243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45		funmpt 6599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
47		funmpt 6599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
48		difss 4139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
49		mptss 6054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
51	22	mptexd 7243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
52		funsssuppss 8209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
53	47, 50, 51, 52	mp3an12i 1462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
54		fsuppsssupp 9425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
55	44, 46, 28, 53, 54	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
56	14, 18, 36, 38, 43, 55	gsumsubmcl 19929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
57		ringmnd 20238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
58	16, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
59		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
60	39, 59	ffvelcdmd 7101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
62		fveq2 6903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
63	13, 62	gsumsn 19964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
64	58, 59, 61, 63	mp3an2i 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
65		elnn0 12530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
66	60, 65	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
67		neneq 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
68	67	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
69	66, 68	olcnd 875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
70	64, 69	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
71		nn0nnaddcl 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
72	56, 70, 71	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
73	72	nnne0d 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
74	35, 73	eqnetrd 3001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
75	74	expr 455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
76	2, 75	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
77	76	rexlimdva 3148	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
78	1, 77	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
79	78	necon4bd 2953	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
80		c0ex 11259	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
81		fnconstg 6792	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
82	80, 81	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
83		eqfnfv 7046	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
84	20, 82, 83	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
85	80	fvconst2 7223	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
86	85	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
87	86	ralbiia 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
88	84, 87	bitrdi 286	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
89	79, 88	sylibrd 258	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
90	8	psrbag0 22076	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
91		oveq2 7435	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
92		ovex 7460	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
93	91, 4, 92	fvmpt 7011	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
94	21, 90, 93	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
95		fconstmpt 5746	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
96	95	oveq2i 7438	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
97	14	gsumz 18839	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
98	58, 21, 97	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
99	96, 98	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
100	94, 99	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
101		fveqeq2 6912	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
102	100, 101	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
103	89, 102	impbid 211	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  ∀wral 3054  ∃wrex 3063  {crab 3428  Vcvv 3472   ∖ cdif 3955   ∪ cun 3956   ∩ cin 3957   ⊆ wss 3958  ∅c0 4333  {csn 4634   class class class wbr 5154   ↦ cmpt 5237   × cxp 5682  ^◡ccnv 5683   “ cima 5687  Fun wfun 6550   Fn wfn 6551  ⟶wf 6552  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427   supp csupp 8179   ↑_m cmap 8859  Fincfn 8978   finSupp cfsupp 9406  ℂcc 11157  0cc0 11159   + caddc 11162  ℕcn 12268  ℕ₀cn0 12528   Σ_g cgsu 17468  Mndcmnd 18740  SubMndcsubmnd 18785  CMndccmn 19790  Ringcrg 20228  ℂ_fldccnfld 21355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-addf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4917  df-int 4958  df-iun 5006  df-iin 5007  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7692  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8180  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-1o 8500  df-2o 8501  df-er 8738  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9407  df-oi 9554  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12529  df-z 12615  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13543  df-fzo 13686  df-seq 14027  df-hash 14354  df-struct 17162  df-sets 17179  df-slot 17197  df-ndx 17209  df-base 17227  df-ress 17256  df-plusg 17292  df-mulr 17293  df-starv 17294  df-tset 17298  df-ple 17299  df-ds 17301  df-unif 17302  df-0g 17469  df-gsum 17470  df-mre 17612  df-mrc 17613  df-acs 17615  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18787  df-grp 18944  df-minusg 18945  df-mulg 19076  df-cntz 19325  df-cmn 19792  df-abl 19793  df-mgp 20130  df-ur 20177  df-ring 20230  df-cring 20231  df-cnfld 21356

This theorem is referenced by:  mdegle0  26101