Theorem mgpsumunsn 45370

Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.e	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mgpsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		difsnid 4723	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
5	4	mpteq1d 5144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
7		mgpsumunsn.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 19510	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
10		mgpsumunsn.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 19508	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑀)
12		mgpsumunsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 19570	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
15		mgpsumunsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
16		diffi 8906	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
18		eldifi 4041	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19		mgpsumunsn.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
20	18, 19	sylan2 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
21		neldifsnd 4706	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
22		mgpsumunsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
23		mgpsumunsn.e	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)
24	9, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23	gsumunsn 19345	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
25	6, 24	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864  {csn 4541   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803   Σ_g cgsu 16945  CMndccmn 19170  mulGrpcmgp 19504  CRingccrg 19563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-cring 19565

This theorem is referenced by:  mgpsumz  45371  mgpsumn  45372