Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpsumunsn 44806
 Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t · = (.r𝑅)
mgpsumunsn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i (𝜑𝐼𝑁)
mgpsumunsn.a ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.e (𝑘 = 𝐼𝐴 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
mgpsumunsn (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumunsn
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑁)
2 difsnid 4703 . . . . . 6 (𝐼𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
43eqcomd 2804 . . . 4 (𝜑𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
54mpteq1d 5120 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑁𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴))
65oveq2d 7152 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
7 mgpsumunsn.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
97, 8mgpbas 19242 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
10 mgpsumunsn.t . . . 4 · = (.r𝑅)
117, 10mgpplusg 19240 . . 3 · = (+g𝑀)
12 mgpsumunsn.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
137crngmgp 19302 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
15 mgpsumunsn.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
16 diffi 8737 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
18 eldifi 4054 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘𝑁)
19 mgpsumunsn.a . . . 4 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2018, 19sylan2 595 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
21 neldifsnd 4686 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
22 mgpsumunsn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
23 mgpsumunsn.e . . 3 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 𝑋)
249, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23gsumunsn 19077 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
256, 24eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879  {csn 4525   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  Basecbs 16478  .rcmulr 16561   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18902  mulGrpcmgp 19236  CRingccrg 19295 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-mgp 19237  df-cring 19297 This theorem is referenced by:  mgpsumz  44807  mgpsumn  44808
 Copyright terms: Public domain W3C validator