Theorem mgpsumunsn 48086

Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.e	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mgpsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		difsnid 4835	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
5	4	mpteq1d 5261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
7		mgpsumunsn.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20167	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
10		mgpsumunsn.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20165	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑀)
12		mgpsumunsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20268	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
15		mgpsumunsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
16		diffi 9242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
18		eldifi 4154	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19		mgpsumunsn.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
20	18, 19	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
21		neldifsnd 4818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
22		mgpsumunsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
23		mgpsumunsn.e	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)
24	9, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23	gsumunsn 20002	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
25	6, 24	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500  CMndccmn 19822  mulGrpcmgp 20161  CRingccrg 20261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-mgp 20162  df-cring 20263

This theorem is referenced by:  mgpsumz  48087  mgpsumn  48088