Theorem mgpsumunsn 48931

Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.e	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mgpsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		difsnid 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
5	4	mpteq1d 5184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
7		mgpsumunsn.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20167	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
10		mgpsumunsn.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20166	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑀)
12		mgpsumunsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20263	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
15		mgpsumunsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
16		diffi 9132	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
18		eldifi 4079	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19		mgpsumunsn.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
20	18, 19	sylan2 601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
21		neldifsnd 4747	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
22		mgpsumunsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
23		mgpsumunsn.e	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)
24	9, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23	gsumunsn 19976	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
25	6, 24	eqtrd 2791	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4576   ↦ cmpt 5175  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263   Σ_g cgsu 17445  CMndccmn 19796  mulGrpcmgp 20162  CRingccrg 20256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-hash 14334  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-mgp 20163  df-cring 20258

This theorem is referenced by:  mgpsumz  48932  mgpsumn  48933