Theorem mgpsumunsn 48853

Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.e	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mgpsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		difsnid 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
5	4	mpteq1d 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
7		mgpsumunsn.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20124	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
10		mgpsumunsn.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20123	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑀)
12		mgpsumunsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20220	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
15		mgpsumunsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
16		diffi 9106	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
18		eldifi 4068	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19		mgpsumunsn.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
20	18, 19	sylan2 599	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
21		neldifsnd 4733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
22		mgpsumunsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
23		mgpsumunsn.e	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)
24	9, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23	gsumunsn 19933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
25	6, 24	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888  {csn 4562   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219   Σ_g cgsu 17401  CMndccmn 19753  mulGrpcmgp 20119  CRingccrg 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-mgp 20120  df-cring 20215

This theorem is referenced by:  mgpsumz  48854  mgpsumn  48855