Theorem mgpsumunsn 49169

Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.e	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mgpsumunsn	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
2		difsnid 4775	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
5	4	mpteq1d 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
7		mgpsumunsn.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20227	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
10		mgpsumunsn.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20226	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑀)
12		mgpsumunsn.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20329	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
15		mgpsumunsn.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
16		diffi 9157	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
18		eldifi 4084	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19		mgpsumunsn.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
20	18, 19	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
21		neldifsnd 4760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
22		mgpsumunsn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
23		mgpsumunsn.e	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 𝑋)
24	9, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23	gsumunsn 20036	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
25	6, 24	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902  {csn 4588   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317   Σ_g cgsu 17499  CMndccmn 19856  mulGrpcmgp 20222  CRingccrg 20322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-mgp 20223  df-cring 20324

This theorem is used by:  mgpsumz  49170  mgpsumn  49171