Theorem tdeglem4OLD 24773

Description: Obsolete version of tdeglem4 24772 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4OLD	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑉   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4OLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3165	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagfOLD 20694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 20183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 20203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 20184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 20201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 19415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
20	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
21	20	ffvelrnda 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
23	8	psrbagfsuppOLD 20696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
24	23	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 finSupp 0)
26	11, 25	eqbrtrrd 5060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
27		incom 4108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥}))
28		disjdif 4371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
29	27, 28	eqtri 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33	gsumsplit2 19130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36		difexg 5201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
38		nn0subm 20234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
40		eldifi 4034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelrn 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	20, 40, 41	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 6984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
46		funmpt 6378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
48		funmpt 6378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
49		difss 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
50		resmpt 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
52		resss 5853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
53	51, 52	eqsstrri 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
54		mptexg 6981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
56		funsssuppss 7870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
57	48, 53, 55, 56	mp3an12i 1462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
58		fsuppsssupp 8895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
59	45, 47, 26, 57, 58	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
60	14, 18, 37, 39, 43, 59	gsumsubmcl 19120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
61		ringmnd 19388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
62	16, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ Mnd)
63		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
64	20, 63	ffvelrnd 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 12009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
66		fveq2 6663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
67	13, 66	gsumsn 19155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
68	62, 63, 65, 67	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
69		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ≠ 0)
70	69, 2	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
71		elnn0 11949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	64, 71	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
73		orel2 888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ))
74	70, 72, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
75	68, 74	eqeltrd 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
76		nn0nnaddcl 11978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
77	60, 75, 76	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
78	77	nnne0d 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
79	35, 78	eqnetrd 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
80	79	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
81	2, 80	syl5bir 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
82	81	rexlimdva 3208	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
83	1, 82	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
84	83	necon4bd 2971	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
85	9	ffnd 6504	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
86		0nn0 11962	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
87		fnconstg 6557	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
88	86, 87	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
89		eqfnfv 6798	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
90	85, 88, 89	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
91		c0ex 10686	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
92	91	fvconst2 6963	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
93	92	eqeq2d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
94	93	ralbiia 3096	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
95	90, 94	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
96	84, 95	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
97	8	psrbag0 20836	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
98	97	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
99		oveq2 7164	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
100		ovex 7189	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
101	99, 4, 100	fvmpt 6764	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
102	98, 101	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
103		fconstmpt 5588	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
104	103	oveq2i 7167	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
105	16, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
106	14	gsumz 18079	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
107	105, 106	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
108	107	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
109	104, 108	syl5eq 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
110	102, 109	eqtrd 2793	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
111		fveqeq2 6672	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
112	110, 111	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
113	96, 112	impbid 215	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  {csn 4525   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116   × cxp 5526  ^◡ccnv 5527   ↾ cres 5530   “ cima 5531  Fun wfun 6334   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   supp csupp 7841   ↑_m cmap 8422  Fincfn 8540   finSupp cfsupp 8879  ℂcc 10586  0cc0 10588   + caddc 10591  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947   Σ_g cgsu 16785  Mndcmnd 17990  SubMndcsubmnd 18034  CMndccmn 18986  Ringcrg 19378  ℂ_fldccnfld 20179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-cnfld 20180

This theorem is referenced by: (None)