MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem4OLD 25577
Description: Obsolete version of tdeglem4 25576 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4OLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑉   β„Ž,𝑋,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑉(π‘š)

Proof of Theorem tdeglem4OLD
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3100 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
2 df-ne 2941 . . . . . . 7 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
3 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
5 ovex 7441 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
76ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
109feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1110adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1211oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝑋) = (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))))
13 cnfldbas 20947 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
14 cnfld0 20968 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
15 cnfldadd 20948 . . . . . . . . . . 11 + = (+gβ€˜β„‚fld)
16 cnring 20966 . . . . . . . . . . . 12 β„‚fld ∈ Ring
17 ringcmn 20098 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
19 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
209adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
2120ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12533 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
238psrbagfsuppOLD 21473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2423ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2611, 25eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
27 incom 4201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
28 disjdif 4471 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = βˆ…
2927, 28eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
31 difsnid 4813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐼)
3231eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3332ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3413, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33gsumsplit2 19796 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
357, 12, 343eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
36 difexg 5327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3736ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
38 nn0subm 20999 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
40 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
41 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4220, 40, 41syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4342fmpttd 7114 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)):(𝐼 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„•0)
4436mptexd 7225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
4544ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
46 funmpt 6586 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
48 funmpt 6586 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
49 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
50 resmpt 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
52 resss 6006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
5351, 52eqsstrri 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
54 mptexg 7222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
56 funsssuppss 8174 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
5748, 53, 55, 56mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
58 fsuppsssupp 9378 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
5945, 47, 26, 57, 58syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
6014, 18, 37, 39, 43, 59gsumsubmcl 19786 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0)
61 ringmnd 20065 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
6216, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6420, 63ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
6564nn0cnd 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
66 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6713, 66gsumsn 19821 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6862, 63, 65, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
69 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
7069, 2sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
71 elnn0 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0 ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7264, 71sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
73 orel2 889 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•))
7470, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•)
7568, 74eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•)
76 nn0nnaddcl 12502 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0 ∧ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7760, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7877nnne0d 12261 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) β‰  0)
7935, 78eqnetrd 3008 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0)
8079expr 457 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
812, 80biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
8281rexlimdva 3155 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
831, 82biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
8483necon4bd 2960 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
859ffnd 6718 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
86 0nn0 12486 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
87 fnconstg 6779 . . . . . 6 (0 ∈ β„•0 β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
8886, 87mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
89 eqfnfv 7032 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
9085, 88, 89syl2anc 584 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
91 c0ex 11207 . . . . . . 7 0 ∈ V
9291fvconst2 7204 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
9392eqeq2d 2743 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
9493ralbiia 3091 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
9590, 94bitrdi 286 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
9684, 95sylibrd 258 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
978psrbag0 21622 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
9897adantr 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
99 oveq2 7416 . . . . . 6 (β„Ž = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
100 ovex 7441 . . . . . 6 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) ∈ V
10199, 4, 100fvmpt 6998 . . . . 5 ((𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
10298, 101syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
103 fconstmpt 5738 . . . . . 6 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
104103oveq2i 7419 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
10516, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ Mnd
10614gsumz 18716 . . . . . . 7 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
107105, 106mpan 688 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
108107adantr 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
109104, 108eqtrid 2784 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0)
110102, 109eqtrd 2772 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0)
111 fveqeq2 6900 . . 3 (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0))
112110, 111syl5ibrcom 246 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π»β€˜π‘‹) = 0))
11396, 112impbid 211 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471   Ξ£g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669  CMndccmn 19647  Ringcrg 20055  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator