Theorem tdeglem4OLD 25425

Description: Obsolete version of tdeglem4 25424 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4OLD	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑉   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4OLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3103	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagfOLD 21321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 20800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 20821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 20801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 20819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 20003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		simpll 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
20	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
21	20	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
23	8	psrbagfsuppOLD 21323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
24	23	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 finSupp 0)
26	11, 25	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
27		incom 4161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥}))
28		disjdif 4431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
29	27, 28	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33	gsumsplit2 19706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36		difexg 5284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
38		nn0subm 20852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
40		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	20, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 7063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 7174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
46		funmpt 6539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
48		funmpt 6539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
49		difss 4091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
50		resmpt 5991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
52		resss 5962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
53	51, 52	eqsstrri 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
54		mptexg 7171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
55	54	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
56		funsssuppss 8121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
57	48, 53, 55, 56	mp3an12i 1465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
58		fsuppsssupp 9321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
59	45, 47, 26, 57, 58	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
60	14, 18, 37, 39, 43, 59	gsumsubmcl 19696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
61		ringmnd 19974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
62	16, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ Mnd)
63		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
64	20, 63	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
66		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
67	13, 66	gsumsn 19731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
68	62, 63, 65, 67	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
69		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ≠ 0)
70	69, 2	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
71		elnn0 12415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	64, 71	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
73		orel2 889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ))
74	70, 72, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
75	68, 74	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
76		nn0nnaddcl 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
77	60, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
78	77	nnne0d 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
79	35, 78	eqnetrd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
80	79	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
81	2, 80	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
82	81	rexlimdva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
83	1, 82	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
84	83	necon4bd 2963	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
85	9	ffnd 6669	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
86		0nn0 12428	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
87		fnconstg 6730	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
88	86, 87	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
89		eqfnfv 6982	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
90	85, 88, 89	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
91		c0ex 11149	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
92	91	fvconst2 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
93	92	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
94	93	ralbiia 3094	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
95	90, 94	bitrdi 286	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
96	84, 95	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
97	8	psrbag0 21470	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
98	97	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
99		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
100		ovex 7390	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
101	99, 4, 100	fvmpt 6948	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
102	98, 101	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
103		fconstmpt 5694	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
104	103	oveq2i 7368	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
105	16, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
106	14	gsumz 18646	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
107	105, 106	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
108	107	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
109	104, 108	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
110	102, 109	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
111		fveqeq2 6851	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
112	110, 111	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
113	96, 112	impbid 211	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635   “ cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  ℂcc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964  ℂ_fldccnfld 20796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-cnfld 20797

This theorem is referenced by: (None)