Theorem tdeglem4OLD 25130

Description: Obsolete version of tdeglem4 25129 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem4OLD	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑉   ℎ,𝑋,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4OLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexnal 3165	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
2		df-ne 2943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
3		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4		tdeglem.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
5		ovex 7288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
7	6	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8		tdeglem.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagfOLD 21032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10	9	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)))
12	11	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))))
13		cnfldbas 20514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		cnfld0 20534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
15		cnfldadd 20515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
16		cnring 20532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ Ring
17		ringcmn 19735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19		simpll 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
20	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
21	20	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
23	8	psrbagfsuppOLD 21034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
24	23	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 finSupp 0)
26	11, 25	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
27		incom 4131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥}))
28		disjdif 4402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
29	27, 28	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31		difsnid 4740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
32	31	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
33	32	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
34	13, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33	gsumsplit2 19445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
35	7, 12, 34	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))))
36		difexg 5246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37	36	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
38		nn0subm 20565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
40		eldifi 4057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝐼)
41		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
42	20, 40, 41	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	fmpttd 6971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
44	36	mptexd 7082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
45	44	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
46		funmpt 6456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
48		funmpt 6456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
49		difss 4062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
50		resmpt 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))
52		resss 5905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
53	51, 52	eqsstrri 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦))
54		mptexg 7079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
55	54	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V)
56		funsssuppss 7977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ⊆ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
57	48, 53, 55, 56	mp3an12i 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))
58		fsuppsssupp 9074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
59	45, 47, 26, 57, 58	syl22anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦)) finSupp 0)
60	14, 18, 37, 39, 43, 59	gsumsubmcl 19435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0)
61		ringmnd 19708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
62	16, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ Mnd)
63		simprl 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
64	20, 63	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 12225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
66		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑋‘𝑦) = (𝑋‘𝑥))
67	13, 66	gsumsn 19470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
68	62, 63, 65, 67	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) = (𝑋‘𝑥))
69		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ≠ 0)
70	69, 2	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋‘𝑥) = 0)
71		elnn0 12165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
72	64, 71	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0))
73		orel2 887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (((𝑋‘𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋‘𝑥) = 0) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ))
74	70, 72, 73	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℕ)
75	68, 74	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ)
76		nn0nnaddcl 12194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
77	60, 75, 76	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ∈ ℕ)
78	77	nnne0d 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋‘𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋‘𝑦)))) ≠ 0)
79	35, 78	eqnetrd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑋‘𝑥) ≠ 0)) → (𝐻‘𝑋) ≠ 0)
80	79	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
81	2, 80	syl5bir 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
82	81	rexlimdva 3212	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 ¬ (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
83	1, 82	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0 → (𝐻‘𝑋) ≠ 0))
84	83	necon4bd 2962	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
85	9	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
86		0nn0 12178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
87		fnconstg 6646	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
88	86, 87	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
89		eqfnfv 6891	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
90	85, 88, 89	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
91		c0ex 10900	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
92	91	fvconst2 7061	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
93	92	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋‘𝑥) = 0))
94	93	ralbiia 3089	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0)
95	90, 94	bitrdi 286	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑥) = 0))
96	84, 95	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
97	8	psrbag0 21180	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
98	97	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
99		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
100		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
101	99, 4, 100	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
102	98, 101	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
103		fconstmpt 5640	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
104	103	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0))
105	16, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
106	14	gsumz 18389	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
107	105, 106	mpan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
108	107	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
109	104, 108	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
110	102, 109	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
111		fveqeq2 6765	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
112	110, 111	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻‘𝑋) = 0))
113	96, 112	impbid 211	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   supp csupp 7948   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  SubMndcsubmnd 18344  CMndccmn 19301  Ringcrg 19698  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by: (None)