Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | rexnal 3100 |
. . . . 5
β’
(βπ₯ β
πΌ Β¬ (πβπ₯) = 0 β Β¬ βπ₯ β πΌ (πβπ₯) = 0) |
2 | | df-ne 2941 |
. . . . . . 7
β’ ((πβπ₯) β 0 β Β¬ (πβπ₯) = 0) |
3 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (β = π β (βfld
Ξ£g β) = (βfld
Ξ£g π)) |
4 | | tdeglem.h |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π» = (β β π΄ β¦ (βfld
Ξ£g β)) |
5 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(βfld Ξ£g π) β V |
6 | 3, 4, 5 | fvmpt 6952 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β (π»βπ) = (βfld
Ξ£g π)) |
7 | 6 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π»βπ) = (βfld
Ξ£g π)) |
8 | | tdeglem.a |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ π΄ = {π β (β0
βm πΌ)
β£ (β‘π β β) β
Fin} |
9 | 8 | psrbagfOLD 21344 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β π:πΌβΆβ0) |
10 | 9 | feqmptd 6914 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β π = (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦))) |
11 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β π = (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦))) |
12 | 11 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (βfld
Ξ£g π) = (βfld
Ξ£g (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)))) |
13 | | cnfldbas 20823 |
. . . . . . . . . . 11
β’ β =
(Baseββfld) |
14 | | cnfld0 20844 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 0 =
(0gββfld) |
15 | | cnfldadd 20824 |
. . . . . . . . . . 11
β’ + =
(+gββfld) |
16 | | cnring 20842 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
βfld β Ring |
17 | | ringcmn 20011 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(βfld β Ring β βfld β
CMnd) |
18 | 16, 17 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β βfld
β CMnd) |
19 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β πΌ β π) |
20 | 9 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β π:πΌβΆβ0) |
21 | 20 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β§ π¦ β πΌ) β (πβπ¦) β
β0) |
22 | 21 | nn0cnd 12483 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β§ π¦ β πΌ) β (πβπ¦) β β) |
23 | 8 | psrbagfsuppOLD 21346 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β π΄ β§ πΌ β π) β π finSupp 0) |
24 | 23 | ancoms 460 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β π finSupp 0) |
25 | 24 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β π finSupp 0) |
26 | 11, 25 | eqbrtrrd 5133 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) finSupp 0) |
27 | | incom 4165 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΌ β {π₯}) β© {π₯}) = ({π₯} β© (πΌ β {π₯})) |
28 | | disjdif 4435 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ({π₯} β© (πΌ β {π₯})) = β
|
29 | 27, 28 | eqtri 2761 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΌ β {π₯}) β© {π₯}) = β
|
30 | 29 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β ((πΌ β {π₯}) β© {π₯}) = β
) |
31 | | difsnid 4774 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π₯ β πΌ β ((πΌ β {π₯}) βͺ {π₯}) = πΌ) |
32 | 31 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ β πΌ β πΌ = ((πΌ β {π₯}) βͺ {π₯})) |
33 | 32 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β πΌ = ((πΌ β {π₯}) βͺ {π₯})) |
34 | 13, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33 | gsumsplit2 19714 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (βfld
Ξ£g (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦))) = ((βfld
Ξ£g (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) + (βfld
Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦))))) |
35 | 7, 12, 34 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π»βπ) = ((βfld
Ξ£g (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) + (βfld
Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦))))) |
36 | | difexg 5288 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΌ β π β (πΌ β {π₯}) β V) |
37 | 36 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (πΌ β {π₯}) β V) |
38 | | nn0subm 20875 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β0 β
(SubMndββfld) |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β β0 β
(SubMndββfld)) |
40 | | eldifi 4090 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ β (πΌ β {π₯}) β π¦ β πΌ) |
41 | | ffvelcdm 7036 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π:πΌβΆβ0 β§ π¦ β πΌ) β (πβπ¦) β
β0) |
42 | 20, 40, 41 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β§ π¦ β (πΌ β {π₯})) β (πβπ¦) β
β0) |
43 | 42 | fmpttd 7067 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)):(πΌ β {π₯})βΆβ0) |
44 | 36 | mptexd 7178 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΌ β π β (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) β V) |
45 | 44 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) β V) |
46 | | funmpt 6543 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ Fun
(π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) |
47 | 46 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β Fun (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) |
48 | | funmpt 6543 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ Fun
(π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) |
49 | | difss 4095 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (πΌ β {π₯}) β πΌ |
50 | | resmpt 5995 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((πΌ β {π₯}) β πΌ β ((π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) βΎ (πΌ β {π₯})) = (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) |
51 | 49, 50 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) βΎ (πΌ β {π₯})) = (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) |
52 | | resss 5966 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) βΎ (πΌ β {π₯})) β (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) |
53 | 51, 52 | eqsstrri 3983 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) β (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) |
54 | | mptexg 7175 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (πΌ β π β (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) β V) |
55 | 54 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) β V) |
56 | | funsssuppss 8125 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((Fun
(π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) β§ (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) β (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) β§ (π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) β V) β ((π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) supp 0) β ((π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) supp 0)) |
57 | 48, 53, 55, 56 | mp3an12i 1466 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β ((π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) supp 0) β ((π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) supp 0)) |
58 | | fsuppsssupp 9329 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) β V β§ Fun (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) β§ ((π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) finSupp 0 β§ ((π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) supp 0) β ((π¦ β πΌ β¦ (πβπ¦)) supp 0))) β (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) finSupp 0) |
59 | 45, 47, 26, 57, 58 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦)) finSupp 0) |
60 | 14, 18, 37, 39, 43, 59 | gsumsubmcl 19704 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (βfld
Ξ£g (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) β
β0) |
61 | | ringmnd 19982 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(βfld β Ring β βfld β
Mnd) |
62 | 16, 61 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β βfld
β Mnd) |
63 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β π₯ β πΌ) |
64 | 20, 63 | ffvelcdmd 7040 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (πβπ₯) β
β0) |
65 | 64 | nn0cnd 12483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (πβπ₯) β β) |
66 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = π₯ β (πβπ¦) = (πβπ₯)) |
67 | 13, 66 | gsumsn 19739 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
((βfld β Mnd β§ π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β β) β
(βfld Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦))) = (πβπ₯)) |
68 | 62, 63, 65, 67 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (βfld
Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦))) = (πβπ₯)) |
69 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (πβπ₯) β 0) |
70 | 69, 2 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β Β¬ (πβπ₯) = 0) |
71 | | elnn0 12423 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πβπ₯) β β0 β ((πβπ₯) β β β¨ (πβπ₯) = 0)) |
72 | 64, 71 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β ((πβπ₯) β β β¨ (πβπ₯) = 0)) |
73 | | orel2 890 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (Β¬
(πβπ₯) = 0 β (((πβπ₯) β β β¨ (πβπ₯) = 0) β (πβπ₯) β β)) |
74 | 70, 72, 73 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (πβπ₯) β β) |
75 | 68, 74 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (βfld
Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦))) β β) |
76 | | nn0nnaddcl 12452 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((βfld Ξ£g (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) β β0 β§
(βfld Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦))) β β) β
((βfld Ξ£g (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) + (βfld
Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦)))) β β) |
77 | 60, 75, 76 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β ((βfld
Ξ£g (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) + (βfld
Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦)))) β β) |
78 | 77 | nnne0d 12211 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β ((βfld
Ξ£g (π¦ β (πΌ β {π₯}) β¦ (πβπ¦))) + (βfld
Ξ£g (π¦ β {π₯} β¦ (πβπ¦)))) β 0) |
79 | 35, 78 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ (π₯ β πΌ β§ (πβπ₯) β 0)) β (π»βπ) β 0) |
80 | 79 | expr 458 |
. . . . . . 7
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ π₯ β πΌ) β ((πβπ₯) β 0 β (π»βπ) β 0)) |
81 | 2, 80 | biimtrrid 242 |
. . . . . 6
β’ (((πΌ β π β§ π β π΄) β§ π₯ β πΌ) β (Β¬ (πβπ₯) = 0 β (π»βπ) β 0)) |
82 | 81 | rexlimdva 3149 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (βπ₯ β πΌ Β¬ (πβπ₯) = 0 β (π»βπ) β 0)) |
83 | 1, 82 | biimtrrid 242 |
. . . 4
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (Β¬ βπ₯ β πΌ (πβπ₯) = 0 β (π»βπ) β 0)) |
84 | 83 | necon4bd 2960 |
. . 3
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β ((π»βπ) = 0 β βπ₯ β πΌ (πβπ₯) = 0)) |
85 | 9 | ffnd 6673 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β π Fn πΌ) |
86 | | 0nn0 12436 |
. . . . . 6
β’ 0 β
β0 |
87 | | fnconstg 6734 |
. . . . . 6
β’ (0 β
β0 β (πΌ Γ {0}) Fn πΌ) |
88 | 86, 87 | mp1i 13 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (πΌ Γ {0}) Fn πΌ) |
89 | | eqfnfv 6986 |
. . . . 5
β’ ((π Fn πΌ β§ (πΌ Γ {0}) Fn πΌ) β (π = (πΌ Γ {0}) β βπ₯ β πΌ (πβπ₯) = ((πΌ Γ {0})βπ₯))) |
90 | 85, 88, 89 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (π = (πΌ Γ {0}) β βπ₯ β πΌ (πβπ₯) = ((πΌ Γ {0})βπ₯))) |
91 | | c0ex 11157 |
. . . . . . 7
β’ 0 β
V |
92 | 91 | fvconst2 7157 |
. . . . . 6
β’ (π₯ β πΌ β ((πΌ Γ {0})βπ₯) = 0) |
93 | 92 | eqeq2d 2744 |
. . . . 5
β’ (π₯ β πΌ β ((πβπ₯) = ((πΌ Γ {0})βπ₯) β (πβπ₯) = 0)) |
94 | 93 | ralbiia 3091 |
. . . 4
β’
(βπ₯ β
πΌ (πβπ₯) = ((πΌ Γ {0})βπ₯) β βπ₯ β πΌ (πβπ₯) = 0) |
95 | 90, 94 | bitrdi 287 |
. . 3
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (π = (πΌ Γ {0}) β βπ₯ β πΌ (πβπ₯) = 0)) |
96 | 84, 95 | sylibrd 259 |
. 2
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β ((π»βπ) = 0 β π = (πΌ Γ {0}))) |
97 | 8 | psrbag0 21493 |
. . . . . 6
β’ (πΌ β π β (πΌ Γ {0}) β π΄) |
98 | 97 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (πΌ Γ {0}) β π΄) |
99 | | oveq2 7369 |
. . . . . 6
β’ (β = (πΌ Γ {0}) β (βfld
Ξ£g β) = (βfld
Ξ£g (πΌ Γ {0}))) |
100 | | ovex 7394 |
. . . . . 6
β’
(βfld Ξ£g (πΌ Γ {0})) β V |
101 | 99, 4, 100 | fvmpt 6952 |
. . . . 5
β’ ((πΌ Γ {0}) β π΄ β (π»β(πΌ Γ {0})) = (βfld
Ξ£g (πΌ Γ {0}))) |
102 | 98, 101 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (π»β(πΌ Γ {0})) = (βfld
Ξ£g (πΌ Γ {0}))) |
103 | | fconstmpt 5698 |
. . . . . 6
β’ (πΌ Γ {0}) = (π₯ β πΌ β¦ 0) |
104 | 103 | oveq2i 7372 |
. . . . 5
β’
(βfld Ξ£g (πΌ Γ {0})) = (βfld
Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ 0)) |
105 | 16, 61 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
β’
βfld β Mnd |
106 | 14 | gsumz 18654 |
. . . . . . 7
β’
((βfld β Mnd β§ πΌ β π) β (βfld
Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ 0)) = 0) |
107 | 105, 106 | mpan 689 |
. . . . . 6
β’ (πΌ β π β (βfld
Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ 0)) = 0) |
108 | 107 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (βfld
Ξ£g (π₯ β πΌ β¦ 0)) = 0) |
109 | 104, 108 | eqtrid 2785 |
. . . 4
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (βfld
Ξ£g (πΌ Γ {0})) = 0) |
110 | 102, 109 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (π»β(πΌ Γ {0})) = 0) |
111 | | fveqeq2 6855 |
. . 3
β’ (π = (πΌ Γ {0}) β ((π»βπ) = 0 β (π»β(πΌ Γ {0})) = 0)) |
112 | 110, 111 | syl5ibrcom 247 |
. 2
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β (π = (πΌ Γ {0}) β (π»βπ) = 0)) |
113 | 96, 112 | impbid 211 |
1
β’ ((πΌ β π β§ π β π΄) β ((π»βπ) = 0 β π = (πΌ Γ {0}))) |