MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem4OLD 25813
Description: Obsolete version of tdeglem4 25812 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4OLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑉   β„Ž,𝑋,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑉(π‘š)

Proof of Theorem tdeglem4OLD
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3098 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
2 df-ne 2939 . . . . . . 7 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
3 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
5 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6997 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
76ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
109feqmptd 6959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1110adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1211oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝑋) = (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))))
13 cnfldbas 21148 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
14 cnfld0 21169 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
15 cnfldadd 21149 . . . . . . . . . . 11 + = (+gβ€˜β„‚fld)
16 cnring 21167 . . . . . . . . . . . 12 β„‚fld ∈ Ring
17 ringcmn 20170 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
19 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
209adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
2120ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
238psrbagfsuppOLD 21693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2423ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2611, 25eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
27 incom 4200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
28 disjdif 4470 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = βˆ…
2927, 28eqtri 2758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
31 difsnid 4812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐼)
3231eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3332ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3413, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33gsumsplit2 19838 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
357, 12, 343eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
36 difexg 5326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3736ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
38 nn0subm 21200 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
40 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
41 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4220, 40, 41syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4342fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)):(𝐼 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„•0)
4436mptexd 7227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
46 funmpt 6585 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
48 funmpt 6585 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
49 difss 4130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
50 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
52 resss 6005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
5351, 52eqsstrri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
54 mptexg 7224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
5554ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
56 funsssuppss 8177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
5748, 53, 55, 56mp3an12i 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
58 fsuppsssupp 9381 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
5945, 47, 26, 57, 58syl22anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
6014, 18, 37, 39, 43, 59gsumsubmcl 19828 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0)
61 ringmnd 20137 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
6216, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
63 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6420, 63ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
6564nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
66 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6713, 66gsumsn 19863 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6862, 63, 65, 67syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
69 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
7069, 2sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
71 elnn0 12478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0 ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7264, 71sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
73 orel2 887 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•))
7470, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•)
7568, 74eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•)
76 nn0nnaddcl 12507 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0 ∧ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7760, 75, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7877nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) β‰  0)
7935, 78eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0)
8079expr 455 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
812, 80biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
8281rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
831, 82biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
8483necon4bd 2958 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
859ffnd 6717 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
86 0nn0 12491 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
87 fnconstg 6778 . . . . . 6 (0 ∈ β„•0 β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
8886, 87mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
89 eqfnfv 7031 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
9085, 88, 89syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
91 c0ex 11212 . . . . . . 7 0 ∈ V
9291fvconst2 7206 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
9392eqeq2d 2741 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
9493ralbiia 3089 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
9590, 94bitrdi 286 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
9684, 95sylibrd 258 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
978psrbag0 21842 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
9897adantr 479 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
99 oveq2 7419 . . . . . 6 (β„Ž = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
100 ovex 7444 . . . . . 6 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) ∈ V
10199, 4, 100fvmpt 6997 . . . . 5 ((𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
10298, 101syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
103 fconstmpt 5737 . . . . . 6 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
104103oveq2i 7422 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
10516, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ Mnd
10614gsumz 18753 . . . . . . 7 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
107105, 106mpan 686 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
108107adantr 479 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
109104, 108eqtrid 2782 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0)
110102, 109eqtrd 2770 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0)
111 fveqeq2 6899 . . 3 (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0))
112110, 111syl5ibrcom 246 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π»β€˜π‘‹) = 0))
11396, 112impbid 211 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  β„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476   Ξ£g cgsu 17390  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18704  CMndccmn 19689  Ringcrg 20127  β„‚fldccnfld 21144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-cnfld 21145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator