MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem4OLD 24813
Description: Obsolete version of tdeglem4 24812 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4OLD ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉   ,𝑋,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem4OLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3151 . . . . 5 (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 ↔ ¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
2 df-ne 2935 . . . . . . 7 ((𝑋𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋𝑥) = 0)
3 oveq2 7178 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
5 ovex 7203 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6775 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
76ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 20732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
109feqmptd 6737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1110adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)))
1211oveq2d 7186 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg 𝑋) = (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))))
13 cnfldbas 20221 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 cnfld0 20241 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
15 cnfldadd 20222 . . . . . . . . . . 11 + = (+g‘ℂfld)
16 cnring 20239 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ Ring
17 ringcmn 19453 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ CMnd)
19 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼𝑉)
209adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
2120ffvelrnda 6861 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 12038 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℂ)
238psrbagfsuppOLD 20734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴𝐼𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
2423ancoms 462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑋 finSupp 0)
2611, 25eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
27 incom 4091 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥}))
28 disjdif 4361 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
2927, 28eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
31 difsnid 4698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐼)
3231eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3332ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝐼 = ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
3413, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33gsumsplit2 19168 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
357, 12, 343eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) = ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))))
36 difexg 5195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
38 nn0subm 20272 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld))
40 eldifi 4017 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑦𝐼)
41 ffvelrn 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
4220, 40, 41syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑋𝑦) ∈ ℕ0)
4342fmpttd 6889 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶ℕ0)
4436mptexd 6997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑉 → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
4544ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
46 funmpt 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)))
48 funmpt 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
49 difss 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
50 resmpt 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))
52 resss 5850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
5351, 52eqsstrri 3912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦))
54 mptexg 6994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V)
56 funsssuppss 7885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ⊆ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∧ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
5748, 53, 55, 56mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))
58 fsuppsssupp 8922 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∧ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) supp 0) ⊆ ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋𝑦)) supp 0))) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
5945, 47, 26, 57, 58syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦)) finSupp 0)
6014, 18, 37, 39, 43, 59gsumsubmcl 19158 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0)
61 ringmnd 19426 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
6216, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ℂfld ∈ Mnd)
63 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → 𝑥𝐼)
6420, 63ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ0)
6564nn0cnd 12038 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
66 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋𝑦) = (𝑋𝑥))
6713, 66gsumsn 19193 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
6862, 63, 65, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) = (𝑋𝑥))
69 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ≠ 0)
7069, 2sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ¬ (𝑋𝑥) = 0)
71 elnn0 11978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑥) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
7264, 71sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0))
73 orel2 890 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑋𝑥) = 0 → (((𝑋𝑥) ∈ ℕ ∨ (𝑋𝑥) = 0) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ))
7470, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝑋𝑥) ∈ ℕ)
7568, 74eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ)
76 nn0nnaddcl 12007 . . . . . . . . . . 11 (((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ0 ∧ (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦))) ∈ ℕ) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
7760, 75, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ∈ ℕ)
7877nnne0d 11766 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → ((ℂfld Σg (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑋𝑦))) + (ℂfld Σg (𝑦 ∈ {𝑥} ↦ (𝑋𝑦)))) ≠ 0)
7935, 78eqnetrd 3001 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑋𝑥) ≠ 0)) → (𝐻𝑋) ≠ 0)
8079expr 460 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑋𝑥) ≠ 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
812, 80syl5bir 246 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝑋𝐴) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
8281rexlimdva 3194 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (∃𝑥𝐼 ¬ (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
831, 82syl5bir 246 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (¬ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0 → (𝐻𝑋) ≠ 0))
8483necon4bd 2954 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 → ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
859ffnd 6505 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 Fn 𝐼)
86 0nn0 11991 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
87 fnconstg 6566 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
8886, 87mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
89 eqfnfv 6809 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 × {0}) Fn 𝐼) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
9085, 88, 89syl2anc 587 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥)))
91 c0ex 10713 . . . . . . 7 0 ∈ V
9291fvconst2 6976 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
9392eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝑥𝐼 → ((𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ (𝑋𝑥) = 0))
9493ralbiia 3079 . . . 4 (∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = ((𝐼 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0)
9590, 94bitrdi 290 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑋𝑥) = 0))
9684, 95sylibrd 262 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 → 𝑋 = (𝐼 × {0})))
978psrbag0 20874 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
9897adantr 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐴)
99 oveq2 7178 . . . . . 6 ( = (𝐼 × {0}) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
100 ovex 7203 . . . . . 6 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) ∈ V
10199, 4, 100fvmpt 6775 . . . . 5 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
10298, 101syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝐼 × {0})))
103 fconstmpt 5585 . . . . . 6 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
104103oveq2i 7181 . . . . 5 (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0))
10516, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 fld ∈ Mnd
10614gsumz 18116 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
107105, 106mpan 690 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
108107adantr 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (ℂfld Σg (𝑥𝐼 ↦ 0)) = 0)
109104, 108syl5eq 2785 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (ℂfld Σg (𝐼 × {0})) = 0)
110102, 109eqtrd 2773 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0)
111 fveqeq2 6683 . . 3 (𝑋 = (𝐼 × {0}) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ (𝐻‘(𝐼 × {0})) = 0))
112110, 111syl5ibrcom 250 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → (𝑋 = (𝐼 × {0}) → (𝐻𝑋) = 0))
11396, 112impbid 215 1 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → ((𝐻𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 × {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  cdif 3840  cun 3841  cin 3842  wss 3843  c0 4211  {csn 4516   class class class wbr 5030  cmpt 5110   × cxp 5523  ccnv 5524  cres 5527  cima 5528  Fun wfun 6333   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170   supp csupp 7856  m cmap 8437  Fincfn 8555   finSupp cfsupp 8906  cc 10613  0cc0 10615   + caddc 10618  cn 11716  0cn0 11976   Σg cgsu 16817  Mndcmnd 18027  SubMndcsubmnd 18071  CMndccmn 19024  Ringcrg 19416  fldccnfld 20217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-cnfld 20218
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator