MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem4OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem4OLD 25448
Description: Obsolete version of tdeglem4 25447 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem4OLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑉   β„Ž,𝑋,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑉(π‘š)

Proof of Theorem tdeglem4OLD
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexnal 3100 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
2 df-ne 2941 . . . . . . 7 ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 ↔ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
3 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
4 tdeglem.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
5 ovex 7394 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6952 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
76ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
8 tdeglem.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
109feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1110adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
1211oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝑋) = (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))))
13 cnfldbas 20823 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
14 cnfld0 20844 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
15 cnfldadd 20824 . . . . . . . . . . 11 + = (+gβ€˜β„‚fld)
16 cnring 20842 . . . . . . . . . . . 12 β„‚fld ∈ Ring
17 ringcmn 20011 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
19 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
209adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
2120ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
238psrbagfsuppOLD 21346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2423ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝑋 finSupp 0)
2611, 25eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
27 incom 4165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
28 disjdif 4435 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = βˆ…
2927, 28eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
31 difsnid 4774 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐼)
3231eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3332ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
3413, 14, 15, 18, 19, 22, 26, 30, 33gsumsplit2 19714 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
357, 12, 343eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))))
36 difexg 5288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
38 nn0subm 20875 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
40 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
41 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4220, 40, 41syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
4342fmpttd 7067 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)):(𝐼 βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„•0)
4436mptexd 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
46 funmpt 6543 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
48 funmpt 6543 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
49 difss 4095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
50 resmpt 5995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
52 resss 5966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
5351, 52eqsstrri 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))
54 mptexg 7175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V)
56 funsssuppss 8125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) βŠ† (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
5748, 53, 55, 56mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))
58 fsuppsssupp 9329 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) ∈ V ∧ Fun (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0 ∧ ((𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0) βŠ† ((𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) supp 0))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
5945, 47, 26, 57, 58syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)) finSupp 0)
6014, 18, 37, 39, 43, 59gsumsubmcl 19704 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0)
61 ringmnd 19982 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
6216, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
6420, 63ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
6564nn0cnd 12483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
66 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6713, 66gsumsn 19739 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
6862, 63, 65, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) = (π‘‹β€˜π‘₯))
69 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)
7069, 2sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
71 elnn0 12423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•0 ↔ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
7264, 71sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
73 orel2 890 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (((π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„• ∨ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•))
7470, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ β„•)
7568, 74eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•)
76 nn0nnaddcl 12452 . . . . . . . . . . 11 (((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•0 ∧ (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) ∈ β„•) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7760, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) ∈ β„•)
7877nnne0d 12211 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘‹β€˜π‘¦))) + (β„‚fld Ξ£g (𝑦 ∈ {π‘₯} ↦ (π‘‹β€˜π‘¦)))) β‰  0)
7935, 78eqnetrd 3008 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0)
8079expr 458 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) β‰  0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
812, 80biimtrrid 242 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
8281rexlimdva 3149 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 Β¬ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
831, 82biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0 β†’ (π»β€˜π‘‹) β‰  0))
8483necon4bd 2960 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
859ffnd 6673 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 Fn 𝐼)
86 0nn0 12436 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
87 fnconstg 6734 . . . . . 6 (0 ∈ β„•0 β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
8886, 87mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
89 eqfnfv 6986 . . . . 5 ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
9085, 88, 89syl2anc 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯)))
91 c0ex 11157 . . . . . . 7 0 ∈ V
9291fvconst2 7157 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
9392eqeq2d 2744 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
9493ralbiia 3091 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0)
9590, 94bitrdi 287 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘₯) = 0))
9684, 95sylibrd 259 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 β†’ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
978psrbag0 21493 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
9897adantr 482 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴)
99 oveq2 7369 . . . . . 6 (β„Ž = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
100 ovex 7394 . . . . . 6 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) ∈ V
10199, 4, 100fvmpt 6952 . . . . 5 ((𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
10298, 101syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})))
103 fconstmpt 5698 . . . . . 6 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
104103oveq2i 7372 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
10516, 61ax-mp 5 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ Mnd
10614gsumz 18654 . . . . . . 7 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
107105, 106mpan 689 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
108107adantr 482 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)) = 0)
109104, 108eqtrid 2785 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐼 Γ— {0})) = 0)
110102, 109eqtrd 2773 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0)
111 fveqeq2 6855 . . 3 (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ (π»β€˜(𝐼 Γ— {0})) = 0))
112110, 111syl5ibrcom 247 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π»β€˜π‘‹) = 0))
11396, 112impbid 211 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) = 0 ↔ 𝑋 = (𝐼 Γ— {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  β„‚cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  SubMndcsubmnd 18608  CMndccmn 19570  Ringcrg 19972  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator