Theorem hdmap14lem4a 43035

Description: Simplify (𝐴 ∖ {𝑄}) in hdmap14lem3 43034 to provide a slightly simpler definition later. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
hdmap14lem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem2.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap14lem2.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem2.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑃)
hdmap14lem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem4a	⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   ∙ ,𝑔   𝑔,𝐹   𝑄,𝑔   𝑆,𝑔   · ,𝑔   𝑔,𝑋   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem1.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem3.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5		hdmap14lem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		hdmap14lem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap14lem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 2, 9	dvhlmod 42274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		hdmap14lem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))
12	11	eldifad 4050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13		hdmap14lem3.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 4050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		hdmap14lem1.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
16		hdmap14lem1.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
17		hdmap14lem1.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18	3, 15, 16, 17	lmodvscl 21160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	10, 12, 14, 18	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}) → 𝐹 ≠ 𝑍)
21	11, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝑍)
22		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
23	13, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
24		hdmap14lem1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
25	1, 2, 9	dvhlvec 42273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
26	3, 16, 15, 17, 24, 4, 25, 12, 14	lvecvsn0 21394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝐹 ≠ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))
27	21, 23, 26	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ≠ 0 )
28		eldifsn 4744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 · 𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 · 𝑋) ≠ 0 ))
29	19, 27, 28	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 29	hdmapnzcl 43009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
31		eldifsni 4749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (0g‘𝐶))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (0g‘𝐶))
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (0g‘𝐶))
34		elsni 4597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑄} → 𝑔 = 𝑄)
35	34	oveq1d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑄} → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (𝑄 ∙ (𝑆‘𝑋)))
36	1, 5, 9	lcdlmod 42756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
37	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 14	hdmapcl 42994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
38		hdmap14lem2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
39		hdmap14lem2.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
40		hdmap14lem2.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑃)
41	7, 38, 39, 40, 6	lmod0vs 21177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑄 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (0g‘𝐶))
42	36, 37, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (0g‘𝐶))
43	35, 42	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (0g‘𝐶))
44	33, 43	neeqtrrd 3029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
45	44	neneqd 2960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → ¬ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
46	45	nrexdv 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑔 ∈ {𝑄} (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
47		reuun2 4269	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑔 ∈ {𝑄} (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
48	46, 47	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
49		hdmap14lem2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
50	38, 49, 40	lmod0cl 21170	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝑄 ∈ 𝐴)
51		difsnid 4767	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄}) = 𝐴)
52		reueq1 3397	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄}) = 𝐴 → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
53	36, 50, 51, 52	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
54	48, 53	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  {csn 4584  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Scalarcsca 17438   ·_𝑠 cvsca 17439  0_gc0g 17617  LModclmod 21142  LSpanclspn 21253  HLchlt 40514  LHypclh 41148  DVecHcdvh 42242  LCDualclcd 42750  HDMapchdma 42956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-riotaBAD 40117

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-undef 8295  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-0g 17619  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-proset 18475  df-poset 18494  df-plt 18509  df-lub 18525  df-glb 18526  df-join 18527  df-meet 18528  df-p0 18604  df-p1 18605  df-lat 18613  df-clat 18680  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-subg 19340  df-cntz 19538  df-oppg 19567  df-lsm 19857  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-dvr 20638  df-nzr 20770  df-rlreg 20953  df-domn 20954  df-drng 20989  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-lvec 21385  df-lsatoms 40140  df-lshyp 40141  df-lcv 40183  df-lfl 40222  df-lkr 40250  df-ldual 40288  df-oposet 40340  df-ol 40342  df-oml 40343  df-covers 40430  df-ats 40431  df-atl 40462  df-cvlat 40486  df-hlat 40515  df-llines 40662  df-lplanes 40663  df-lvols 40664  df-lines 40665  df-psubsp 40667  df-pmap 40668  df-padd 40960  df-lhyp 41152  df-laut 41153  df-ldil 41268  df-ltrn 41269  df-trl 41323  df-tgrp 41907  df-tendo 41919  df-edring 41921  df-dveca 42167  df-disoa 42193  df-dvech 42243  df-dib 42303  df-dic 42337  df-dih 42393  df-doch 42512  df-djh 42559  df-lcdual 42751  df-mapd 42789  df-hvmap 42921  df-hdmap1 42957  df-hdmap 42958

This theorem is used by:  hdmap14lem4  43036