Theorem hdmap14lem4a 42744

Description: Simplify (𝐴 ∖ {𝑄}) in hdmap14lem3 42743 to provide a slightly simpler definition later. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem1.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
hdmap14lem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem2.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap14lem2.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem2.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑃)
hdmap14lem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem4a	⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   ∙ ,𝑔   𝑔,𝐹   𝑄,𝑔   𝑆,𝑔   · ,𝑔   𝑔,𝑋   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)   0 (𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem hdmap14lem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem1.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem1.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem3.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5		hdmap14lem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		hdmap14lem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap14lem1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 2, 9	dvhlmod 41983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		hdmap14lem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}))
12	11	eldifad 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13		hdmap14lem3.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		hdmap14lem1.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
16		hdmap14lem1.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
17		hdmap14lem1.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18	3, 15, 16, 17	lmodvscl 21062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
19	10, 12, 14, 18	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
20		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ∖ {𝑍}) → 𝐹 ≠ 𝑍)
21	11, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝑍)
22		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
23	13, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
24		hdmap14lem1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
25	1, 2, 9	dvhlvec 41982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
26	3, 16, 15, 17, 24, 4, 25, 12, 14	lvecvsn0 21296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝑋) ≠ 0 ↔ (𝐹 ≠ 𝑍 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))
27	21, 23, 26	mpbir2and 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ≠ 0 )
28		eldifsn 4748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 · 𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 · 𝑋) ≠ 0 ))
29	19, 27, 28	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 29	hdmapnzcl 42718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}))
31		eldifsni 4753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ∈ ((Base‘𝐶) ∖ {(0g‘𝐶)}) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (0g‘𝐶))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (0g‘𝐶))
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (0g‘𝐶))
34		elsni 4601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑄} → 𝑔 = 𝑄)
35	34	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑄} → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (𝑄 ∙ (𝑆‘𝑋)))
36	1, 5, 9	lcdlmod 42465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
37	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 14	hdmapcl 42703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
38		hdmap14lem2.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
39		hdmap14lem2.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
40		hdmap14lem2.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑃)
41	7, 38, 39, 40, 6	lmod0vs 21079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑄 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (0g‘𝐶))
42	36, 37, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (0g‘𝐶))
43	35, 42	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) = (0g‘𝐶))
44	33, 43	neeqtrrd 3029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) ≠ (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
45	44	neneqd 2960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) → ¬ (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
46	45	nrexdv 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑔 ∈ {𝑄} (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)))
47		reuun2 4271	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑔 ∈ {𝑄} (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
48	46, 47	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
49		hdmap14lem2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
50	38, 49, 40	lmod0cl 21072	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝑄 ∈ 𝐴)
51		difsnid 4771	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄}) = 𝐴)
52		reueq1 3397	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄}) = 𝐴 → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
53	36, 50, 51, 52	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑄}) ∪ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))
54	48, 53	bitr3d 284	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑔 ∈ (𝐴 ∖ {𝑄})(𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝐴 (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝑔 ∙ (𝑆‘𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  0_gc0g 17524  LModclmod 21044  LSpanclspn 21155  HLchlt 40223  LHypclh 40857  DVecHcdvh 41951  LCDualclcd 42459  HDMapchdma 42665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-0g 17526  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-oppg 19473  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-nzr 20673  df-rlreg 20856  df-domn 20857  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lvec 21287  df-lsatoms 39849  df-lshyp 39850  df-lcv 39892  df-lfl 39931  df-lkr 39959  df-ldual 39997  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032  df-tgrp 41616  df-tendo 41628  df-edring 41630  df-dveca 41876  df-disoa 41902  df-dvech 41952  df-dib 42012  df-dic 42046  df-dih 42102  df-doch 42221  df-djh 42268  df-lcdual 42460  df-mapd 42498  df-hvmap 42630  df-hdmap1 42666  df-hdmap 42667

This theorem is used by:  hdmap14lem4  42745