Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmap14lem4a 41396
Description: Simplify (𝐴 βˆ– {𝑄}) in hdmap14lem3 41395 to provide a slightly simpler definition later. (Contributed by NM, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap14lem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmap14lem3.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem1.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmap14lem1.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
hdmap14lem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem2.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hdmap14lem1.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmap14lem2.p 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
hdmap14lem2.a 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
hdmap14lem2.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘ƒ)
hdmap14lem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap14lem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap14lem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐡 βˆ– {𝑍}))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem4a (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐴 βˆ– {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐴 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   βˆ™ ,𝑔   𝑔,𝐹   𝑄,𝑔   𝑆,𝑔   Β· ,𝑔   𝑔,𝑋   πœ‘,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑔)   𝐢(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   π‘Š(𝑔)   0 (𝑔)   𝑍(𝑔)
Proof of Theorem hdmap14lem4a
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem1.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap14lem1.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap14lem1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap14lem3.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
5 hdmap14lem1.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
7 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
8 hdmap14lem1.s . . . . . . . . 9 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hdmap14lem1.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
101, 2, 9dvhlmod 40635 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
11 hdmap14lem1.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐡 βˆ– {𝑍}))
1211eldifad 3953 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
13 hdmap14lem3.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3953 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 hdmap14lem1.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
16 hdmap14lem1.t . . . . . . . . . . . 12 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
17 hdmap14lem1.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
183, 15, 16, 17lmodvscl 20760 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
1910, 12, 14, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
20 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐡 βˆ– {𝑍}) β†’ 𝐹 β‰  𝑍)
2111, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  𝑍)
22 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
24 hdmap14lem1.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
251, 2, 9dvhlvec 40634 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
263, 16, 15, 17, 24, 4, 25, 12, 14lvecvsn0 20996 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐹 Β· 𝑋) β‰  0 ↔ (𝐹 β‰  𝑍 ∧ 𝑋 β‰  0 )))
2721, 23, 26mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝑋) β‰  0 )
28 eldifsn 4787 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Β· 𝑋) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((𝐹 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 Β· 𝑋) β‰  0 ))
2919, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝑋) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 29hdmapnzcl 41370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) ∈ ((Baseβ€˜πΆ) βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
31 eldifsni 4790 . . . . . . . 8 ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) ∈ ((Baseβ€˜πΆ) βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) β‰  (0gβ€˜πΆ))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) β‰  (0gβ€˜πΆ))
3332adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) β‰  (0gβ€˜πΆ))
34 elsni 4642 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ {𝑄} β†’ 𝑔 = 𝑄)
3534oveq1d 7428 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ {𝑄} β†’ (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) = (𝑄 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
361, 5, 9lcdlmod 41117 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
371, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 14hdmapcl 41355 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΆ))
38 hdmap14lem2.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
39 hdmap14lem2.e . . . . . . . . 9 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
40 hdmap14lem2.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (0gβ€˜π‘ƒ)
417, 38, 39, 40, 6lmod0vs 20777 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (𝑄 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) = (0gβ€˜πΆ))
4236, 37, 41syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) = (0gβ€˜πΆ))
4335, 42sylan9eqr 2787 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) β†’ (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) = (0gβ€˜πΆ))
4433, 43neeqtrrd 3005 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) β‰  (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
4544neneqd 2935 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ {𝑄}) β†’ Β¬ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
4645nrexdv 3139 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ {𝑄} (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)))
47 reuun2 4311 . . 3 (Β¬ βˆƒπ‘” ∈ {𝑄} (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝑄}) βˆͺ {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐴 βˆ– {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
4846, 47syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝑄}) βˆͺ {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐴 βˆ– {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
49 hdmap14lem2.a . . . 4 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5038, 49, 40lmod0cl 20770 . . 3 (𝐢 ∈ LMod β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
51 difsnid 4810 . . 3 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 βˆ– {𝑄}) βˆͺ {𝑄}) = 𝐴)
52 reueq1 3402 . . 3 (((𝐴 βˆ– {𝑄}) βˆͺ {𝑄}) = 𝐴 β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝑄}) βˆͺ {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐴 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
5336, 50, 51, 524syl 19 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝑄}) βˆͺ {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐴 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
5448, 53bitr3d 280 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐴 βˆ– {𝑄})(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆƒ!𝑔 ∈ 𝐴 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝑔 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  βˆƒ!wreu 3362   βˆ– cdif 3938   βˆͺ cun 3939  {csn 4625  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415  LModclmod 20742  LSpanclspn 20854  HLchlt 38874  LHypclh 39509  DVecHcdvh 40603  LCDualclcd 41111  HDMapchdma 41317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38477
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38500  df-lshyp 38501  df-lcv 38543  df-lfl 38582  df-lkr 38610  df-ldual 38648  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-llines 39023  df-lplanes 39024  df-lvols 39025  df-lines 39026  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321  df-lhyp 39513  df-laut 39514  df-ldil 39629  df-ltrn 39630  df-trl 39684  df-tgrp 40268  df-tendo 40280  df-edring 40282  df-dveca 40528  df-disoa 40554  df-dvech 40604  df-dib 40664  df-dic 40698  df-dih 40754  df-doch 40873  df-djh 40920  df-lcdual 41112  df-mapd 41150  df-hvmap 41282  df-hdmap1 41318  df-hdmap 41319
This theorem is referenced by:  hdmap14lem4  41397
  Copyright terms: Public domain W3C validator