Theorem gsummgp0 20399

Description: If one factor in a finite group sum of the multiplicative group of a commutative ring is 0, the whole "sum" (i.e. product) is 0. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgp0.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
gsummgp0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummgp0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
gsummgp0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummgp0.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
gsummgp0.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
gsummgp0.b	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummgp0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑛   𝑖,𝑛,𝐺   𝑖,𝑁,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   0 ,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)

Proof of Theorem gsummgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgp0.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )
2		difsnid 4780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
4	3	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
5	4	mpteq1d 5205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)))
7		gsummgp0.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20221	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20220	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
12		gsummgp0.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20323	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummgp0.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
17		diffi 9159	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
20		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝜑)
21		eldifi 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
22		gsummgp0.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23	20, 21, 22	syl2an 607	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
24		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑖 ∈ 𝑁)
25		neldifsnd 4765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ¬ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}))
26		crngring 20327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27	12, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
28		ringmnd 20325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
29		gsummgp0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	8, 29	mndidcl 18807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 30	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33		eleq1 2857	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	ad2antll 741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
35	32, 34	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
36		gsummgp0.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
38	9, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 35, 37	gsumunsnd 20028	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵))
39		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
40	39	ad2antll 741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
41	21, 22	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	ralrimiva 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
43	9, 14, 18, 42	gsummptcl 20037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
44	43	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
45	8, 10, 29	ringrz 20377	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	27, 44, 45	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	40, 46	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = 0 )
48	6, 38, 47	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )
49	1, 48	rexlimddv 3178	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493  Mndcmnd 18792  CMndccmn 19850  mulGrpcmgp 20216  Ringcrg 20315  CRingccrg 20316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22787