Theorem gsummgp0 20283

Description: If one factor in a finite group sum of the multiplicative group of a commutative ring is 0, the whole "sum" (i.e. product) is 0. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgp0.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
gsummgp0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummgp0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
gsummgp0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummgp0.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
gsummgp0.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
gsummgp0.b	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummgp0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑛   𝑖,𝑛,𝐺   𝑖,𝑁,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   0 ,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)

Proof of Theorem gsummgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgp0.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )
2		difsnid 4791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
4	3	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
5	4	mpteq1d 5215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)))
7		gsummgp0.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20110	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20109	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
12		gsummgp0.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20206	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummgp0.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
17		diffi 9194	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
20		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝜑)
21		eldifi 4111	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
22		gsummgp0.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23	20, 21, 22	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
24		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑖 ∈ 𝑁)
25		neldifsnd 4774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ¬ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}))
26		crngring 20210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
28		ringmnd 20208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
29		gsummgp0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	8, 29	mndidcl 18732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 30	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33		eleq1 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
35	32, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
36		gsummgp0.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
38	9, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 35, 37	gsumunsnd 19944	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵))
39		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
40	39	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
41	21, 22	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	ralrimiva 3133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
43	9, 14, 18, 42	gsummptcl 19953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
45	8, 10, 29	ringrz 20259	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	27, 44, 45	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	40, 46	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = 0 )
48	6, 38, 47	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )
49	1, 48	rexlimddv 3148	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717  CMndccmn 19766  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22604