Theorem gsummgp0 20289

Description: If one factor in a finite group sum of the multiplicative group of a commutative ring is 0, the whole "sum" (i.e. product) is 0. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgp0.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
gsummgp0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummgp0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
gsummgp0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummgp0.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
gsummgp0.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
gsummgp0.b	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummgp0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑛   𝑖,𝑛,𝐺   𝑖,𝑁,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   0 ,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)

Proof of Theorem gsummgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgp0.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )
2		difsnid 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
4	3	ad2antrl 734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
5	4	mpteq1d 5163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)))
7		gsummgp0.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20118	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20117	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
12		gsummgp0.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20214	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummgp0.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
17		diffi 9100	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
20		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝜑)
21		eldifi 4062	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
22		gsummgp0.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23	20, 21, 22	syl2an 602	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
24		simprl 776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑖 ∈ 𝑁)
25		neldifsnd 4727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ¬ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}))
26		crngring 20218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
28		ringmnd 20216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
29		gsummgp0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	8, 29	mndidcl 18709	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 30	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	ad2antll 735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
35	32, 34	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
36		gsummgp0.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 721	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
38	9, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 35, 37	gsumunsnd 19925	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵))
39		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
40	39	ad2antll 735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
41	21, 22	sylan2 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	ralrimiva 3131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
43	9, 14, 18, 42	gsummptcl 19934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
44	43	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
45	8, 10, 29	ringrz 20267	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	27, 44, 45	syl2an2r 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	40, 46	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = 0 )
48	6, 38, 47	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )
49	1, 48	rexlimddv 3146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881  {csn 4556   ↦ cmpt 5154  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Fincfn 8884  Basecbs 17171  ._rcmulr 17213  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  Mndcmnd 18694  CMndccmn 19747  mulGrpcmgp 20113  Ringcrg 20206  CRingccrg 20207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-hash 14285  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22645