Theorem gsummgp0 20134

Description: If one factor in a finite group sum of the multiplicative group of a commutative ring is 0, the whole "sum" (i.e. product) is 0. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgp0.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
gsummgp0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummgp0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
gsummgp0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummgp0.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
gsummgp0.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
gsummgp0.b	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummgp0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑛   𝑖,𝑛,𝐺   𝑖,𝑁,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   0 ,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)

Proof of Theorem gsummgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgp0.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )
2		difsnid 4813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
4	3	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
5	4	mpteq1d 5243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)))
7		gsummgp0.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 19995	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 19993	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
12		gsummgp0.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20066	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummgp0.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
17		diffi 9181	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
20		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝜑)
21		eldifi 4126	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
22		gsummgp0.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23	20, 21, 22	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
24		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑖 ∈ 𝑁)
25		neldifsnd 4796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ¬ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}))
26		crngring 20070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
28		ringmnd 20068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
29		gsummgp0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	8, 29	mndidcl 18642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 30	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
35	32, 34	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
36		gsummgp0.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
38	9, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 35, 37	gsumunsnd 19828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵))
39		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
40	39	ad2antll 727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
41	21, 22	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
43	9, 14, 18, 42	gsummptcl 19837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
44	43	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
45	8, 10, 29	ringrz 20110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	27, 44, 45	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	40, 46	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = 0 )
48	6, 38, 47	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )
49	1, 48	rexlimddv 3161	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17146  ._rcmulr 17200  0_gc0g 17387   Σ_g cgsu 17388  Mndcmnd 18627  CMndccmn 19650  mulGrpcmgp 19989  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ring 20060  df-cring 20061

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22170