Theorem gsummgp0 20297

Description: If one factor in a finite group sum of the multiplicative group of a commutative ring is 0, the whole "sum" (i.e. product) is 0. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgp0.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
gsummgp0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
gsummgp0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
gsummgp0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummgp0.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
gsummgp0.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
gsummgp0.b	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsummgp0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑛   𝑖,𝑛,𝐺   𝑖,𝑁,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   0 ,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)

Proof of Theorem gsummgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgp0.b	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐵 = 0 )
2		difsnid 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) = 𝑁)
3	2	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
4	3	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}))
5	4	mpteq1d 5175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴) = (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴))
6	5	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)))
7		gsummgp0.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	7, 8	mgpbas 20126	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	7, 10	mgpplusg 20125	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
12		gsummgp0.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	7	crngmgp 20222	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
16		gsummgp0.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
17		diffi 9109	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝑁 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
20		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝜑)
21		eldifi 4071	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) → 𝑛 ∈ 𝑁)
22		gsummgp0.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23	20, 21, 22	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
24		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝑖 ∈ 𝑁)
25		neldifsnd 4738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ¬ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}))
26		crngring 20226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
28		ringmnd 20224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
29		gsummgp0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
30	8, 29	mndidcl 18717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
31	27, 28, 30	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
34	33	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐵 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
35	32, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
36		gsummgp0.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
37	36	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
38	9, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 35, 37	gsumunsnd 19933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ((𝑁 ∖ {𝑖}) ∪ {𝑖}) ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵))
39		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
40	39	ad2antll 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ))
41	21, 22	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
42	41	ralrimiva 3129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
43	9, 14, 18, 42	gsummptcl 19942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
45	8, 10, 29	ringrz 20275	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
46	27, 44, 45	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
47	40, 46	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → ((𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝑖}) ↦ 𝐴))(.r‘𝑅)𝐵) = 0 )
48	6, 38, 47	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝐵 = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )
49	1, 48	rexlimddv 3144	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  CMndccmn 19755  mulGrpcmgp 20121  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22626