Theorem dfconngr1 30517

Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfconngr1	⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}

Distinct variable group:   𝑣,𝑔,𝑘,𝑛,𝑓,𝑝

Proof of Theorem dfconngr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-conngr 30516	. 2 ⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
2		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
3	2	0pthonv 30458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝)
4		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘))
5	4	breqd 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
6	5	2exbidv 1954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
7	6	ralsng 4642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
8	3, 7	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
9		difsnid 4777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}) = (Vtx‘𝑔))
10	9	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (Vtx‘𝑔) = (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}))
11	10	raleqdv 3323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
12		ralunb 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
14	8, 13	mpbiran2d 720	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
15	14	ralbiia 3109	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
16		fvex 6896	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑔) ∈ V
17		raleq 3320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
18	17	raleqbi1dv 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
19		difeq1 4075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (𝑣 ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}))
20	19	raleqdv 3323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
21	20	raleqbi1dv 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
22	18, 21	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → ((∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
23	16, 22	sbcie 3786	. . . . 5 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
24	15, 23	mpbir 234	. . . 4 ⊢ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
25		sbcbi1 3802	. . . 4 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) → ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
27	26	abbii 2830	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
28	1, 27	eqtri 2786	1 ⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  [wsbc 3745   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904  {csn 4590   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 29324  PathsOncpthson 30039  ConnGraphcconngr 30515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-wlks 29927  df-wlkson 29928  df-trls 30018  df-trlson 30019  df-pths 30041  df-pthson 30043  df-conngr 30516

This theorem is referenced by:  isconngr1  30519