Theorem dfconngr1 29438

Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfconngr1	⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}

Distinct variable group:   𝑣,𝑔,𝑘,𝑛,𝑓,𝑝

Proof of Theorem dfconngr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-conngr 29437	. 2 ⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
2		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
3	2	0pthonv 29379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝)
4		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘))
5	4	breqd 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
6	5	2exbidv 1927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
7	6	ralsng 4677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
8	3, 7	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
9		difsnid 4813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}) = (Vtx‘𝑔))
10	9	eqcomd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (Vtx‘𝑔) = (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}))
11	10	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
12		ralunb 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
13	11, 12	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
14	8, 13	mpbiran2d 706	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
15	14	ralbiia 3091	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
16		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑔) ∈ V
17		raleq 3322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
18	17	raleqbi1dv 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
19		difeq1 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (𝑣 ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}))
20	19	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
21	20	raleqbi1dv 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
22	18, 21	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → ((∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
23	16, 22	sbcie 3820	. . . . 5 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
24	15, 23	mpbir 230	. . . 4 ⊢ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
25		sbcbi1 3838	. . . 4 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) → ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
27	26	abbii 2802	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ 𝑣 ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
28	1, 27	eqtri 2760	1 ⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∀wral 3061  [wsbc 3777   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Vtxcvtx 28253  PathsOncpthson 28968  ConnGraphcconngr 29436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-wlks 28853  df-wlkson 28854  df-trls 28946  df-trlson 28947  df-pths 28970  df-pthson 28972  df-conngr 29437

This theorem is referenced by:  isconngr1  29440