MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfconngr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfconngr1 29875
Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfconngr1 ConnGraph = {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
Distinct variable group:   𝑣,𝑔,𝑘,𝑛,𝑓,𝑝

Proof of Theorem dfconngr1
StepHypRef Expression
1 df-conngr 29874 . 2 ConnGraph = {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
2 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
320pthonv 29816 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝)
4 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘))
54breqd 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
652exbidv 1926 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
76ralsng 4677 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑘)𝑝))
83, 7mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
9 difsnid 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}) = (Vtx‘𝑔))
109eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (Vtx‘𝑔) = (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘}))
1110raleqdv 3324 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
12 ralunb 4191 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) ∪ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ∧ ∀𝑛 ∈ {𝑘}∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
148, 13mpbiran2d 705 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
1514ralbiia 3090 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
16 fvex 6904 . . . . . 6 (Vtx‘𝑔) ∈ V
17 raleq 3321 . . . . . . . 8 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
1817raleqbi1dv 3332 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
19 difeq1 4115 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (𝑣 ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}))
2019raleqdv 3324 . . . . . . . 8 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
2120raleqbi1dv 3332 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
2218, 21bibi12d 345 . . . . . 6 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → ((∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)))
2316, 22sbcie 3820 . . . . 5 ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) ↔ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ (Vtx‘𝑔)∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
2415, 23mpbir 230 . . . 4 [(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
25 sbcbi1 3838 . . . 4 ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣](∀𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝) → ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
2624, 25ax-mp 5 . . 3 ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
2726abbii 2801 . 2 {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛𝑣𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
281, 27eqtri 2759 1 ConnGraph = {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  {cab 2708  wral 3060  [wsbc 3777  cdif 3945  cun 3946  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 28690  PathsOncpthson 29405  ConnGraphcconngr 29873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-wlks 29290  df-wlkson 29291  df-trls 29383  df-trlson 29384  df-pths 29407  df-pthson 29409  df-conngr 29874
This theorem is referenced by:  isconngr1  29877
  Copyright terms: Public domain W3C validator