MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfconngr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfconngr1 29950
Description: Alternative definition of the class of all connected graphs, requiring paths between distinct vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfconngr1 ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝}
Distinct variable group:   𝑣,𝑔,π‘˜,𝑛,𝑓,𝑝

Proof of Theorem dfconngr1
StepHypRef Expression
1 df-conngr 29949 . 2 ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝}
2 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜π‘”) = (Vtxβ€˜π‘”)
320pthonv 29891 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)π‘˜)𝑝)
4 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛) = (π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)π‘˜))
54breqd 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)π‘˜)𝑝))
652exbidv 1919 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)π‘˜)𝑝))
76ralsng 4672 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘› ∈ {π‘˜}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)π‘˜)𝑝))
83, 7mpbird 257 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ βˆ€π‘› ∈ {π‘˜}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝)
9 difsnid 4808 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜}) βˆͺ {π‘˜}) = (Vtxβ€˜π‘”))
109eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = (((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜}) βˆͺ {π‘˜}))
1110raleqdv 3319 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ (((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜}) βˆͺ {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
12 ralunb 4186 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘› ∈ (((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜}) βˆͺ {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ (βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ∧ βˆ€π‘› ∈ {π‘˜}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
1311, 12bitrdi 287 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ (βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ∧ βˆ€π‘› ∈ {π‘˜}βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝)))
148, 13mpbiran2d 705 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
1514ralbiia 3085 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝)
16 fvex 6898 . . . . . 6 (Vtxβ€˜π‘”) ∈ V
17 raleq 3316 . . . . . . . 8 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
1817raleqbi1dv 3327 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
19 difeq1 4110 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (𝑣 βˆ– {π‘˜}) = ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜}))
2019raleqdv 3319 . . . . . . . 8 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
2120raleqbi1dv 3327 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
2218, 21bibi12d 345 . . . . . 6 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝)))
2316, 22sbcie 3815 . . . . 5 ([(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣](βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
2415, 23mpbir 230 . . . 4 [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣](βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝)
25 sbcbi1 3833 . . . 4 ([(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣](βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝) β†’ ([(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
2624, 25ax-mp 5 . . 3 ([(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝)
2726abbii 2796 . 2 {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ 𝑣 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝} = {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝}
281, 27eqtri 2754 1 ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  [wsbc 3772   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Vtxcvtx 28764  PathsOncpthson 29480  ConnGraphcconngr 29948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-wlks 29365  df-wlkson 29366  df-trls 29458  df-trlson 29459  df-pths 29482  df-pthson 29484  df-conngr 29949
This theorem is referenced by:  isconngr1  29952
  Copyright terms: Public domain W3C validator