MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2sstep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2sstep 29071
Description: Induction step of finsumvtxdg2size 29072: In a finite pseudograph of finite size, the sum of the degrees of all vertices of the pseudograph is twice the size of the pseudograph if the sum of the degrees of all vertices of the subgraph of the pseudograph not containing one of the vertices is twice the size of the subgraph. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 βˆ– {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 βˆ‰ (πΈβ€˜π‘–)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸 β†Ύ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, π‘ƒβŸ©
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((𝑃 ∈ Fin β†’ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2sstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdg2sstep.p . . 3 𝑃 = (𝐸 β†Ύ 𝐼)
2 finresfin 9274 . . . 4 (𝐸 ∈ Fin β†’ (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
32ad2antll 725 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
41, 3eqeltrid 2835 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑃 ∈ Fin)
5 difsnid 4814 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) = 𝑉)
65ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) = 𝑉)
76eqcomd 2736 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑉 = ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}))
87sumeq1d 15653 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = Σ𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
9 diffi 9183 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin)
1110adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin)
12 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
1312adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
14 neldifsn 4796 . . . . . . . . 9 Β¬ 𝑁 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})
1514nelir 3047 . . . . . . . 8 𝑁 βˆ‰ (𝑉 βˆ– {𝑁})
1615a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑁 βˆ‰ (𝑉 βˆ– {𝑁}))
17 dmfi 9334 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin β†’ dom 𝐸 ∈ Fin)
1817ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐸 ∈ Fin)
195eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ 𝑉))
2019biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
2120ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
2221imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
23 finsumvtxdg2sstep.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
24 finsumvtxdg2sstep.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
25 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 dom 𝐸 = dom 𝐸
2623, 24, 25vtxdgfisnn0 28997 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0)
2718, 22, 26syl2an2r 681 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12590 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„€)
2928ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„€)
30 fsumsplitsnun 15707 . . . . . . 7 (((𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 βˆ‰ (𝑉 βˆ– {𝑁})) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„€) β†’ Σ𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)))
3111, 13, 16, 29, 30syl121anc 1373 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ Σ𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑁 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3332adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑁) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3412, 33csbied 3932 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3534adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3635oveq2d 7429 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
378, 31, 363eqtrd 2774 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
3837adantr 479 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
39 finsumvtxdg2sstep.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑉 βˆ– {𝑁})
40 finsumvtxdg2sstep.i . . . . . . . 8 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 βˆ‰ (πΈβ€˜π‘–)}
41 finsumvtxdg2sstep.s . . . . . . . 8 𝑆 = ⟨𝐾, π‘ƒβŸ©
42 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΈβ€˜π‘—) = (πΈβ€˜π‘–))
4342eleq2d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—) ↔ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)))
4443cbvrabv 3440 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
4523, 24, 39, 40, 1, 41, 44finsumvtxdg2ssteplem2 29068 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})))
4645oveq2d 7429 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}}))))
4746adantr 479 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}}))))
4823, 24, 39, 40, 1, 41, 44finsumvtxdg2ssteplem4 29070 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}}))) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}))))
4944fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) = (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)})
5049oveq2i 7424 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)})) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))
5150oveq2i 7424 . . . . . 6 (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}))) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)})))
5251a1i 11 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}))) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))))
5347, 48, 523eqtrd 2774 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))))
54 eqid 2730 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
5523, 24, 39, 40, 1, 41, 54finsumvtxdg2ssteplem1 29067 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (β™―β€˜πΈ) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)})))
5655oveq2d 7429 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (2 Β· (β™―β€˜πΈ)) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))))
5756eqcomd 2736 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ)))
5857adantr 479 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ)))
5938, 53, 583eqtrd 2774 . . 3 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ)))
6059ex 411 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ))))
614, 60embantd 59 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((𝑃 ∈ Fin β†’ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ‰ wnel 3044  βˆ€wral 3059  {crab 3430  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943   + caddc 11117   Β· cmul 11119  2c2 12273  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  β™―chash 14296  Ξ£csu 15638  Vtxcvtx 28521  iEdgciedg 28522  UPGraphcupgr 28605  VtxDegcvtxdg 28987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-vtx 28523  df-iedg 28524  df-edg 28573  df-uhgr 28583  df-upgr 28607  df-vtxdg 28988
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2size  29072
  Copyright terms: Public domain W3C validator