MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2sstep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2sstep 28806
Description: Induction step of finsumvtxdg2size 28807: In a finite pseudograph of finite size, the sum of the degrees of all vertices of the pseudograph is twice the size of the pseudograph if the sum of the degrees of all vertices of the subgraph of the pseudograph not containing one of the vertices is twice the size of the subgraph. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 βˆ– {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 βˆ‰ (πΈβ€˜π‘–)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸 β†Ύ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, π‘ƒβŸ©
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((𝑃 ∈ Fin β†’ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2sstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdg2sstep.p . . 3 𝑃 = (𝐸 β†Ύ 𝐼)
2 finresfin 9270 . . . 4 (𝐸 ∈ Fin β†’ (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
32ad2antll 728 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
41, 3eqeltrid 2838 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑃 ∈ Fin)
5 difsnid 4814 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) = 𝑉)
65ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) = 𝑉)
76eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑉 = ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}))
87sumeq1d 15647 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = Σ𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£))
9 diffi 9179 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin)
1110adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin)
12 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
1312adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
14 neldifsn 4796 . . . . . . . . 9 Β¬ 𝑁 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})
1514nelir 3050 . . . . . . . 8 𝑁 βˆ‰ (𝑉 βˆ– {𝑁})
1615a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ 𝑁 βˆ‰ (𝑉 βˆ– {𝑁}))
17 dmfi 9330 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin β†’ dom 𝐸 ∈ Fin)
1817ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ dom 𝐸 ∈ Fin)
195eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ 𝑉))
2019biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁}) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉))
2221imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
23 finsumvtxdg2sstep.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
24 finsumvtxdg2sstep.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 dom 𝐸 = dom 𝐸
2623, 24, 25vtxdgfisnn0 28732 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0)
2718, 22, 26syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12584 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„€)
2928ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„€)
30 fsumsplitsnun 15701 . . . . . . 7 (((𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 βˆ‰ (𝑉 βˆ– {𝑁})) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) ∈ β„€) β†’ Σ𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)))
3111, 13, 16, 29, 30syl121anc 1376 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ Σ𝑣 ∈ ((𝑉 βˆ– {𝑁}) βˆͺ {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑁 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3332adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 = 𝑁) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3412, 33csbied 3932 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3534adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘))
3635oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ⦋𝑁 / π‘£β¦Œ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£)) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
378, 31, 363eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
3837adantr 482 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)))
39 finsumvtxdg2sstep.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑉 βˆ– {𝑁})
40 finsumvtxdg2sstep.i . . . . . . . 8 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 βˆ‰ (πΈβ€˜π‘–)}
41 finsumvtxdg2sstep.s . . . . . . . 8 𝑆 = ⟨𝐾, π‘ƒβŸ©
42 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΈβ€˜π‘—) = (πΈβ€˜π‘–))
4342eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—) ↔ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)))
4443cbvrabv 3443 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
4523, 24, 39, 40, 1, 41, 44finsumvtxdg2ssteplem2 28803 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}})))
4645oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}}))))
4746adantr 482 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}}))))
4823, 24, 39, 40, 1, 41, 44finsumvtxdg2ssteplem4 28805 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (πΈβ€˜π‘–) = {𝑁}}))) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}))))
4944fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}) = (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)})
5049oveq2i 7420 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)})) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))
5150oveq2i 7420 . . . . . 6 (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}))) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)})))
5251a1i 11 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑗 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘—)}))) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))))
5347, 48, 523eqtrd 2777 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) + ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘)) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))))
54 eqid 2733 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)} = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
5523, 24, 39, 40, 1, 41, 54finsumvtxdg2ssteplem1 28802 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (β™―β€˜πΈ) = ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)})))
5655oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (2 Β· (β™―β€˜πΈ)) = (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))))
5756eqcomd 2739 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ)))
5857adantr 482 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ (2 Β· ((β™―β€˜π‘ƒ) + (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}))) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ)))
5938, 53, 583eqtrd 2777 . . 3 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ)))
6059ex 414 . 2 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ)) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ))))
614, 60embantd 59 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) β†’ ((𝑃 ∈ Fin β†’ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜π‘ƒ))) β†’ Σ𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (2 Β· (β™―β€˜πΈ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3047  βˆ€wral 3062  {crab 3433  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939   + caddc 11113   Β· cmul 11115  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  UPGraphcupgr 28340  VtxDegcvtxdg 28722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-vtx 28258  df-iedg 28259  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-upgr 28342  df-vtxdg 28723
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2size  28807
  Copyright terms: Public domain W3C validator