Theorem hdmap14lem13 42654

Description: Lemma for proof of part 14 in [Baer] p. 50. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem12.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem12.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem12.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem12.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem12.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap14lem12.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem12.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem13	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦, ∙   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝑆   𝑦, ·   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐻(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem hdmap14lem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem12.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem12.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem12.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap14lem12.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
5		hdmap14lem12.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		hdmap14lem12.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		hdmap14lem12.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap14lem12.e	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
9		hdmap14lem12.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap14lem12.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		hdmap14lem12.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		hdmap14lem12.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13		hdmap14lem12.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
14		hdmap14lem12.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
15		hdmap14lem12.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16		hdmap14lem12.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	hdmap14lem12 42653	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))
18		velsn 4605	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
19	1, 7, 10	lcdlmod 42366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
20		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
21	12, 8, 13, 20	lmodvs0 21017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝐺 ∙ (0g‘𝐶)) = (0g‘𝐶))
22	19, 16, 21	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∙ (0g‘𝐶)) = (0g‘𝐶))
23	1, 2, 14, 7, 20, 9, 10	hdmapval0 42607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝐶))
24	23	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∙ (𝑆‘ 0 )) = (𝐺 ∙ (0g‘𝐶)))
25	1, 2, 10	dvhlmod 41884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
26	5, 4, 6, 14	lmodvs0 21017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 0 ) = 0 )
27	25, 11, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 0 ) = 0 )
28	27	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝑆‘ 0 ))
29	28, 23	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (0g‘𝐶))
30	22, 24, 29	3eqtr4rd 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝐺 ∙ (𝑆‘ 0 )))
31		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹 · 𝑦) = (𝐹 · 0 ))
32	31	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑆‘(𝐹 · 0 )))
33		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑆‘𝑦) = (𝑆‘ 0 ))
34	33	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘ 0 )))
35	32, 34	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝐺 ∙ (𝑆‘ 0 ))))
36	30, 35	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 = 0 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))
37	18, 36	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ { 0 } → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))
38	37	ralrimiv 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)))
39	38	biantrud 540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)))))
40		ralunb 4150	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))
41	39, 40	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))
42	3, 14	lmod0vcl 21012	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 0 ∈ 𝑉)
43		difsnid 4776	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 }) = 𝑉)
44	25, 42, 43	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 }) = 𝑉)
45	44	raleqdv 3323	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))
46	17, 41, 45	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 ∙ (𝑆‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487  LModclmod 20981  HLchlt 40124  LHypclh 40758  DVecHcdvh 41852  LCDualclcd 42360  HDMapchdma 42566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20610  df-rlreg 20793  df-domn 20794  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39750  df-lshyp 39751  df-lcv 39793  df-lfl 39832  df-lkr 39860  df-ldual 39898  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933  df-tgrp 41517  df-tendo 41529  df-edring 41531  df-dveca 41777  df-disoa 41803  df-dvech 41853  df-dib 41913  df-dic 41947  df-dih 42003  df-doch 42122  df-djh 42169  df-lcdual 42361  df-mapd 42399  df-hvmap 42531  df-hdmap1 42567  df-hdmap 42568

This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  42655