Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem13 40346
Description: Lemma for proof of part 14 in [Baer] p. 50. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap14lem12.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmap14lem12.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.e βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
hdmap14lem12.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap14lem12.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap14lem12.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
hdmap14lem12.p 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
hdmap14lem12.a 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
hdmap14lem12.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap14lem12.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap14lem12.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem13 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦, βˆ™   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝑆   𝑦, Β·   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑦)   𝐢(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐻(𝑦)   𝐾(𝑦)   π‘Š(𝑦)

Proof of Theorem hdmap14lem13
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap14lem12.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap14lem12.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap14lem12.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
5 hdmap14lem12.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 hdmap14lem12.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 hdmap14lem12.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmap14lem12.e . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
9 hdmap14lem12.s . . 3 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmap14lem12.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
11 hdmap14lem12.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
12 hdmap14lem12.p . . 3 𝑃 = (Scalarβ€˜πΆ)
13 hdmap14lem12.a . . 3 𝐴 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
14 hdmap14lem12.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
15 hdmap14lem12.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
16 hdmap14lem12.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16hdmap14lem12 40345 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
18 velsn 4603 . . . . . 6 (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
191, 7, 10lcdlmod 40058 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
2112, 8, 13, 20lmodvs0 20359 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) β†’ (𝐺 βˆ™ (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
2219, 16, 21syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ™ (0gβ€˜πΆ)) = (0gβ€˜πΆ))
231, 2, 14, 7, 20, 9, 10hdmapval0 40299 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜ 0 ) = (0gβ€˜πΆ))
2423oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜ 0 )) = (𝐺 βˆ™ (0gβ€˜πΆ)))
251, 2, 10dvhlmod 39576 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
265, 4, 6, 14lmodvs0 20359 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 0 ) = 0 )
2725, 11, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 0 ) = 0 )
2827fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 0 )) = (π‘†β€˜ 0 ))
2928, 23eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 0 )) = (0gβ€˜πΆ))
3022, 24, 293eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 0 )) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜ 0 )))
31 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (𝐹 Β· 𝑦) = (𝐹 Β· 0 ))
3231fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (π‘†β€˜(𝐹 Β· 0 )))
33 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (π‘†β€˜π‘¦) = (π‘†β€˜ 0 ))
3433oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜ 0 )))
3532, 34eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ↔ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 0 )) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜ 0 ))))
3630, 35syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 = 0 β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
3718, 36biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ { 0 } β†’ (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
3837ralrimiv 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))
3938biantrud 533 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)))))
40 ralunb 4152 . . 3 (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝑉 βˆ– { 0 }) βˆͺ { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 } (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
4139, 40bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝑉 βˆ– { 0 }) βˆͺ { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
423, 14lmod0vcl 20354 . . . 4 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 0 ∈ 𝑉)
43 difsnid 4771 . . . 4 ( 0 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑉 βˆ– { 0 }) βˆͺ { 0 }) = 𝑉)
4425, 42, 433syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑉 βˆ– { 0 }) βˆͺ { 0 }) = 𝑉)
4544raleqdv 3314 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝑉 βˆ– { 0 }) βˆͺ { 0 })(π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
4617, 41, 453bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑋)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘‹)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(𝐹 Β· 𝑦)) = (𝐺 βˆ™ (π‘†β€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  0gc0g 17322  LModclmod 20325  HLchlt 37815  LHypclh 38450  DVecHcdvh 39544  LCDualclcd 40052  HDMapchdma 40258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-oppg 19125  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lsatoms 37441  df-lshyp 37442  df-lcv 37484  df-lfl 37523  df-lkr 37551  df-ldual 37589  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tgrp 39209  df-tendo 39221  df-edring 39223  df-dveca 39469  df-disoa 39495  df-dvech 39545  df-dib 39605  df-dic 39639  df-dih 39695  df-doch 39814  df-djh 39861  df-lcdual 40053  df-mapd 40091  df-hvmap 40223  df-hdmap1 40259  df-hdmap 40260
This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  40347
  Copyright terms: Public domain W3C validator