Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem13 41214
Description: Lemma for proof of part 14 in [Baer] p. 50. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem12.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem12.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem12.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem12.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem12.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem12.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem12.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem12.g (𝜑𝐺𝐴)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem13 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝑆   𝑦, ·   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐻(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem hdmap14lem13
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem12.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem12.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem12.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmap14lem12.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hdmap14lem12.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 hdmap14lem12.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap14lem12.e . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
9 hdmap14lem12.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem12.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 hdmap14lem12.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
12 hdmap14lem12.p . . 3 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13 hdmap14lem12.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝑃)
14 hdmap14lem12.o . . 3 0 = (0g𝑈)
15 hdmap14lem12.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16 hdmap14lem12.g . . 3 (𝜑𝐺𝐴)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16hdmap14lem12 41213 . 2 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
18 velsn 4644 . . . . . 6 (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
191, 7, 10lcdlmod 40926 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
20 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (0g𝐶) = (0g𝐶)
2112, 8, 13, 20lmodvs0 20738 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐴) → (𝐺 (0g𝐶)) = (0g𝐶))
2219, 16, 21syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 (0g𝐶)) = (0g𝐶))
231, 2, 14, 7, 20, 9, 10hdmapval0 41167 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆0 ) = (0g𝐶))
2423oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 (𝑆0 )) = (𝐺 (0g𝐶)))
251, 2, 10dvhlmod 40444 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
265, 4, 6, 14lmodvs0 20738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 · 0 ) = 0 )
2725, 11, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 · 0 ) = 0 )
2827fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝑆0 ))
2928, 23eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (0g𝐶))
3022, 24, 293eqtr4rd 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝐺 (𝑆0 )))
31 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝐹 · 𝑦) = (𝐹 · 0 ))
3231fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑆‘(𝐹 · 0 )))
33 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝑆𝑦) = (𝑆0 ))
3433oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝐺 (𝑆𝑦)) = (𝐺 (𝑆0 )))
3532, 34eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝐺 (𝑆0 ))))
3630, 35syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 = 0 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
3718, 36biimtrid 241 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ { 0 } → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
3837ralrimiv 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)))
3938biantrud 531 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)))))
40 ralunb 4191 . . 3 (∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
4139, 40bitr4di 289 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
423, 14lmod0vcl 20733 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
43 difsnid 4813 . . . 4 ( 0𝑉 → ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 }) = 𝑉)
4425, 42, 433syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 }) = 𝑉)
4544raleqdv 3324 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
4617, 41, 453bitrd 305 1 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  cdif 3945  cun 3946  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  LModclmod 20702  HLchlt 38683  LHypclh 39318  DVecHcdvh 40412  LCDualclcd 40920  HDMapchdma 41126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38286
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20946  df-lsatoms 38309  df-lshyp 38310  df-lcv 38352  df-lfl 38391  df-lkr 38419  df-ldual 38457  df-oposet 38509  df-ol 38511  df-oml 38512  df-covers 38599  df-ats 38600  df-atl 38631  df-cvlat 38655  df-hlat 38684  df-llines 38832  df-lplanes 38833  df-lvols 38834  df-lines 38835  df-psubsp 38837  df-pmap 38838  df-padd 39130  df-lhyp 39322  df-laut 39323  df-ldil 39438  df-ltrn 39439  df-trl 39493  df-tgrp 40077  df-tendo 40089  df-edring 40091  df-dveca 40337  df-disoa 40363  df-dvech 40413  df-dib 40473  df-dic 40507  df-dih 40563  df-doch 40682  df-djh 40729  df-lcdual 40921  df-mapd 40959  df-hvmap 41091  df-hdmap1 41127  df-hdmap 41128
This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  41215
  Copyright terms: Public domain W3C validator