Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem13 39003
Description: Lemma for proof of part 14 in [Baer] p. 50. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem12.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem12.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem12.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem12.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem12.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem12.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem12.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem12.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem12.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem12.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem12.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem12.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem12.g (𝜑𝐺𝐴)
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem13 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦, 0   𝑦,𝑆   𝑦, ·   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐻(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem hdmap14lem13
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem12.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem12.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem12.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem12.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmap14lem12.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hdmap14lem12.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 hdmap14lem12.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap14lem12.e . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
9 hdmap14lem12.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem12.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 hdmap14lem12.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
12 hdmap14lem12.p . . 3 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
13 hdmap14lem12.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝑃)
14 hdmap14lem12.o . . 3 0 = (0g𝑈)
15 hdmap14lem12.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16 hdmap14lem12.g . . 3 (𝜑𝐺𝐴)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16hdmap14lem12 39002 . 2 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
18 velsn 4575 . . . . . 6 (𝑦 ∈ { 0 } ↔ 𝑦 = 0 )
191, 7, 10lcdlmod 38715 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
20 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (0g𝐶) = (0g𝐶)
2112, 8, 13, 20lmodvs0 19660 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐴) → (𝐺 (0g𝐶)) = (0g𝐶))
2219, 16, 21syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 (0g𝐶)) = (0g𝐶))
231, 2, 14, 7, 20, 9, 10hdmapval0 38956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆0 ) = (0g𝐶))
2423oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 (𝑆0 )) = (𝐺 (0g𝐶)))
251, 2, 10dvhlmod 38233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
265, 4, 6, 14lmodvs0 19660 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹 · 0 ) = 0 )
2725, 11, 26syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 · 0 ) = 0 )
2827fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝑆0 ))
2928, 23eqtrd 2854 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (0g𝐶))
3022, 24, 293eqtr4rd 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝐺 (𝑆0 )))
31 oveq2 7156 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝐹 · 𝑦) = (𝐹 · 0 ))
3231fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝑆‘(𝐹 · 0 )))
33 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (𝑆𝑦) = (𝑆0 ))
3433oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝐺 (𝑆𝑦)) = (𝐺 (𝑆0 )))
3532, 34eqeq12d 2835 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ (𝑆‘(𝐹 · 0 )) = (𝐺 (𝑆0 ))))
3630, 35syl5ibrcom 249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 = 0 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
3718, 36syl5bi 244 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ { 0 } → (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
3837ralrimiv 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)))
3938biantrud 534 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)))))
40 ralunb 4165 . . 3 (∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ { 0 } (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
4139, 40syl6bbr 291 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
423, 14lmod0vcl 19655 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 0𝑉)
43 difsnid 4735 . . . 4 ( 0𝑉 → ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 }) = 𝑉)
4425, 42, 433syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 }) = 𝑉)
4544raleqdv 3414 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ((𝑉 ∖ { 0 }) ∪ { 0 })(𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
4617, 41, 453bitrd 307 1 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)) ↔ ∀𝑦𝑉 (𝑆‘(𝐹 · 𝑦)) = (𝐺 (𝑆𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3136  cdif 3931  cun 3932  {csn 4559  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  LModclmod 19626  HLchlt 36473  LHypclh 37107  DVecHcdvh 38201  LCDualclcd 38709  HDMapchdma 38915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36076
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36099  df-lshyp 36100  df-lcv 36142  df-lfl 36181  df-lkr 36209  df-ldual 36247  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-llines 36621  df-lplanes 36622  df-lvols 36623  df-lines 36624  df-psubsp 36626  df-pmap 36627  df-padd 36919  df-lhyp 37111  df-laut 37112  df-ldil 37227  df-ltrn 37228  df-trl 37282  df-tgrp 37866  df-tendo 37878  df-edring 37880  df-dveca 38126  df-disoa 38152  df-dvech 38202  df-dib 38262  df-dic 38296  df-dih 38352  df-doch 38471  df-djh 38518  df-lcdual 38710  df-mapd 38748  df-hvmap 38880  df-hdmap1 38916  df-hdmap 38917
This theorem is referenced by:  hdmap14lem14  39004
  Copyright terms: Public domain W3C validator