Theorem hashfun 14409

Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfun	⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))

Proof of Theorem hashfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6549	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		hashfn 14347	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
3	1, 2	sylbi 217	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
4		dmfi 9293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
5		hashcl 14328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
9		df-rel 5648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ 𝐹 ⊆ (V × V))
10		dfss3 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
11	9, 10	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
12	11	notbii 320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
13		rexnal 3083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
14	12, 13	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V))
15		dmun 5877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})
16	15	fveq2i 6864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}))
17		dmsnn0 6183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (V × V) ↔ dom {𝑥} ≠ ∅)
18	17	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (dom {𝑥} ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (V × V))
19	18	necon1bi 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (V × V) → dom {𝑥} = ∅)
20	19	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → dom {𝑥} = ∅)
21	20	uneq2d 4134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅))
22		un0 4360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅) = dom (𝐹 ∖ {𝑥})
23	21, 22	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = dom (𝐹 ∖ {𝑥}))
24	23	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
25	16, 24	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
26		diffi 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
27		dmfi 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
29		hashcl 14328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
31	30	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
32		hashcl 14328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
35		peano2re 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
37		fidomdm 9292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
39		hashdom 14351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
40	28, 26, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
41	38, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
42	34	ltp1d 12120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
43	31, 34, 36, 41, 42	lelttrd 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
44	43	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
45	25, 44	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
46		snfi 9017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
47		disjdifr 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
48		hashun 14354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
49	46, 47, 48	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
50	26, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
51		hashsng 14341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘{𝑥}) = 1)
52	51	elv 3455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘{𝑥}) = 1
53	52	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1)
54	50, 53	eqtr2di 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
56	45, 55	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
57		difsnid 4777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
58	57	dmeqd 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = dom 𝐹)
59	58	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
60	59	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
61	57	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
62	61	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
63	56, 60, 62	3brtr3d 5141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
64	63	rexlimdv3a 3139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
65	14, 64	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
66	65	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
67	8, 66	gtned 11316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
68	67	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
69	68	necon4bd 2946	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Rel 𝐹))
70	69	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Rel 𝐹)
71		2nalexn 1828	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
72		df-ne 2927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧)
73	72	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
74		annim 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
75	73, 74	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
76	75	exbii 1848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
77		exnal 1827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
78	76, 77	bitr2i 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
79	78	2exbii 1849	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
80	71, 79	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
81	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
82		2re 12267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
83		diffi 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
84		dmfi 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
86		hashcl 14328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
88	87	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
90		readdcl 11158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
91	82, 89, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
92		hashcl 14328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
93	92	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
95		1re 11181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
96		readdcl 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
97	95, 88, 96	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
99	82, 88, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
101		opex 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
102		opex 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V
103	101, 102	prss 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹)
104		undif 4448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
105	103, 104	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
106	105	dmeqd 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = dom 𝐹)
107		dmun 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
108	106, 107	eqtr3di 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
109		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
110		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑧 ∈ V
111	109, 110	dmprop 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥, 𝑥}
112		dfsn2 4605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
113	111, 112	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥}
114	113	uneq1i 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
115	108, 114	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
116	115	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
117	116	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
118		hashun2 14355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑥} ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
119	46, 85, 118	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
120	52	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
121	119, 120	breqtrdi 5151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
123	117, 122	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
124		1lt2 12359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
125		ltadd1 11652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
126	95, 82, 88, 125	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
127	124, 126	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
129	81, 98, 100, 123, 128	lelttrd 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
130		fidomdm 9292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
131	83, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
132		hashdom 14351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
133	85, 83, 132	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
134	131, 133	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
135		hashcl 14328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
136	83, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
137	136	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
138		leadd2 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
139	82, 138	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
140	88, 137, 139	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
141	134, 140	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
142	141	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
143		prfi 9281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin
144		disjdif 4438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅
145		hashun 14354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
146	143, 144, 145	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
147	83, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
149	105	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
150	149	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
151		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑥 ∈ V
152	151, 109	opth 5439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑥 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑧))
153	152	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧)
154	153	necon3i 2958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩)
155		hashprg 14367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2))
156	101, 102, 155	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
157	154, 156	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
158	157	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
159	158	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
160	148, 150, 159	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
161	142, 160	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (♯‘𝐹))
162	81, 91, 94, 129, 161	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
163	81, 162	gtned 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
164	163	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
165	164	exlimdv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
166	165	exlimdvv 1934	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
167	80, 166	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
168	167	necon4bd 2946	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
169	168	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
170		dffun4 6530	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
171	70, 169, 170	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Fun 𝐹)
172	171	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Fun 𝐹))
173	3, 172	impbid2 226	1 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   × cxp 5639  dom cdm 5641  Rel wrel 5646  Fun wfun 6508   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ≼ cdom 8919  Fincfn 8921  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  hashres  14410  hashreshashfun  14411  hashfundm  14414  ccatalpha  14565  cycpmconjslem2  33119