Theorem hashfun 13794

Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfun	⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))

Proof of Theorem hashfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6354	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		hashfn 13732	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
3	1, 2	sylbi 220	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
4		dmfi 8786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
5		hashcl 13713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 11944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
9		df-rel 5526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ 𝐹 ⊆ (V × V))
10		dfss3 3903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
11	9, 10	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
12	11	notbii 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
13		rexnal 3201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
14	12, 13	bitr4i 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V))
15		dmun 5743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})
16	15	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}))
17		dmsnn0 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (V × V) ↔ dom {𝑥} ≠ ∅)
18	17	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (dom {𝑥} ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (V × V))
19	18	necon1bi 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (V × V) → dom {𝑥} = ∅)
20	19	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → dom {𝑥} = ∅)
21	20	uneq2d 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅))
22		un0 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅) = dom (𝐹 ∖ {𝑥})
23	21, 22	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = dom (𝐹 ∖ {𝑥}))
24	23	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
25	16, 24	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
26		diffi 8734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
27		dmfi 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
29		hashcl 13713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
31	30	nn0red 11944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
32		hashcl 13713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 11944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
35		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
37		fidomdm 8785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
39		hashdom 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
40	28, 26, 39	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
41	38, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
42	34	ltp1d 11559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
43	31, 34, 36, 41, 42	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
44	43	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
45	25, 44	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
46		snfi 8577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
47		incom 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥}))
48		disjdif 4379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥})) = ∅
49	47, 48	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
50		hashun 13739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
51	46, 49, 50	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
52	26, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
53		hashsng 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘{𝑥}) = 1)
54	53	elv 3446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘{𝑥}) = 1
55	54	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1)
56	52, 55	eqtr2di 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
57	56	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
58	45, 57	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
59		difsnid 4703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
60	59	dmeqd 5738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = dom 𝐹)
61	60	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
62	61	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
63	59	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
64	63	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
65	58, 62, 64	3brtr3d 5061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
66	65	rexlimdv3a 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
67	14, 66	syl5bi 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
68	67	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
69	8, 68	gtned 10764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
70	69	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
71	70	necon4bd 3007	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Rel 𝐹))
72	71	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Rel 𝐹)
73		2nalexn 1829	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
74		df-ne 2988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧)
75	74	anbi2i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
76		annim 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
77	75, 76	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
78	77	exbii 1849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
79		exnal 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
80	78, 79	bitr2i 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
81	80	2exbii 1850	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
82	73, 81	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
83	7	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
84		2re 11699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
85		diffi 8734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
86		dmfi 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
88		hashcl 13713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
90	89	nn0red 11944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
91	90	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
92		readdcl 10609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
93	84, 91, 92	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
94		hashcl 13713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
95	94	nn0red 11944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
96	95	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
97		1re 10630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
98		readdcl 10609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
99	97, 90, 98	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
100	99	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
101	84, 90, 92	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
102	101	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
103		dmun 5743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
104		opex 5321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
105		opex 5321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V
106	104, 105	prss 4713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹)
107		undif 4388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
108	106, 107	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
109	108	dmeqd 5738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = dom 𝐹)
110	103, 109	syl5reqr 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
111		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
112		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑧 ∈ V
113	111, 112	dmprop 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥, 𝑥}
114		dfsn2 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
115	113, 114	eqtr4i 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥}
116	115	uneq1i 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
117	110, 116	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
118	117	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
119	118	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
120		hashun2 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑥} ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
121	46, 87, 120	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
122	54	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
123	121, 122	breqtrdi 5071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
124	123	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
125	119, 124	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
126		1lt2 11796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
127		ltadd1 11096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
128	97, 84, 90, 127	mp3an12i 1462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
129	126, 128	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
130	129	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
131	83, 100, 102, 125, 130	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
132		fidomdm 8785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
133	85, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
134		hashdom 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
135	87, 85, 134	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
136	133, 135	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
137		hashcl 13713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
138	85, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
139	138	nn0red 11944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
140		leadd2 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
141	84, 140	mp3an3 1447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
142	90, 139, 141	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
143	136, 142	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
144	143	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
145		prfi 8777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin
146		disjdif 4379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅
147		hashun 13739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
148	145, 146, 147	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
149	85, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
150	149	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
151	108	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
152	151	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
153		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑥 ∈ V
154	153, 111	opth 5333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑥 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑧))
155	154	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧)
156	155	necon3i 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩)
157		hashprg 13752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2))
158	104, 105, 157	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
159	156, 158	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
160	159	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
161	160	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
162	150, 152, 161	3eqtr3rd 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
163	144, 162	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (♯‘𝐹))
164	83, 93, 96, 131, 163	ltletrd 10789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
165	83, 164	gtned 10764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
166	165	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
167	166	exlimdv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
168	167	exlimdvv 1935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
169	82, 168	syl5bi 245	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
170	169	necon4bd 3007	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
171	170	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
172		dffun4 6336	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
173	72, 171, 172	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Fun 𝐹)
174	173	ex 416	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Fun 𝐹))
175	3, 174	impbid2 229	1 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030   × cxp 5517  dom cdm 5519  Rel wrel 5524  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ≼ cdom 8490  Fincfn 8492  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  hashres  13795  hashreshashfun  13796  ccatalpha  13938  cycpmconjslem2  30847  hashfundm  32464