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Theorem hashfun 14432
Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfun (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))

Proof of Theorem hashfun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 6584 . . 3 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2 hashfn 14370 . . 3 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
31, 2sylbi 216 . 2 (Fun 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
4 dmfi 9356 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
5 hashcl 14351 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
76nn0red 12566 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
87adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
9 df-rel 5685 . . . . . . . . . . . . 13 (Rel 𝐹𝐹 ⊆ (V × V))
10 dfss3 3965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
119, 10bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (Rel 𝐹 ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
1211notbii 319 . . . . . . . . . . 11 (¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
13 rexnal 3089 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) ↔ ¬ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
1412, 13bitr4i 277 . . . . . . . . . 10 (¬ Rel 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V))
15 dmun 5913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})
1615fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}))
17 dmsnn0 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (V × V) ↔ dom {𝑥} ≠ ∅)
1817biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (dom {𝑥} ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (V × V))
1918necon1bi 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ (V × V) → dom {𝑥} = ∅)
20193ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → dom {𝑥} = ∅)
2120uneq2d 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅))
22 un0 4392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅) = dom (𝐹 ∖ {𝑥})
2321, 22eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = dom (𝐹 ∖ {𝑥}))
2423fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
2516, 24eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
26 diffi 9204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
27 dmfi 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
29 hashcl 14351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3130nn0red 12566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
32 hashcl 14351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3326, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3433nn0red 12566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
35 peano2re 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
37 fidomdm 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
39 hashdom 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
4028, 26, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
4138, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
4234ltp1d 12177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
4331, 34, 36, 41, 42lelttrd 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
44433ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
4525, 44eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
46 snfi 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥} ∈ Fin
47 disjdifr 4474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
48 hashun 14377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
4946, 47, 48mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
5026, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
51 hashsng 14364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ V → (♯‘{𝑥}) = 1)
5251elv 3467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (♯‘{𝑥}) = 1
5352oveq2i 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1)
5450, 53eqtr2di 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
55543ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
5645, 55breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
57 difsnid 4815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
5857dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹 → dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = dom 𝐹)
5958fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐹 → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
60593ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
6157fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐹 → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
62613ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
6356, 60, 623brtr3d 5180 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
6463rexlimdv3a 3148 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
6514, 64biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
6665imp 405 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
678, 66gtned 11381 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
6867ex 411 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
6968necon4bd 2949 . . . . 5 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Rel 𝐹))
7069imp 405 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Rel 𝐹)
71 2nalexn 1822 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
72 df-ne 2930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧)
7372anbi2i 621 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
74 annim 402 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
7573, 74bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
7675exbii 1842 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
77 exnal 1821 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
7876, 77bitr2i 275 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
79782exbii 1843 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
8071, 79bitri 274 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
817adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
82 2re 12319 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
83 diffi 9204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
84 dmfi 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
86 hashcl 14351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
8887nn0red 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
90 readdcl 11223 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
9182, 89, 90sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
92 hashcl 14351 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9392nn0red 12566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
95 1re 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
96 readdcl 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
9795, 88, 96sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
9897adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
9982, 88, 90sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
10099adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
101 opex 5466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
102 opex 5466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑧⟩ ∈ V
103101, 102prss 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹)
104 undif 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
105103, 104sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
106105dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = dom 𝐹)
107 dmun 5913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
108106, 107eqtr3di 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
109 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
110 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 ∈ V
111109, 110dmprop 6223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥, 𝑥}
112 dfsn2 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
113111, 112eqtr4i 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥}
114113uneq1i 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
115108, 114eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
116115fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
117116ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
118 hashun2 14378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑥} ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
11946, 85, 118sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
12052oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
121119, 120breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
122121adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
123117, 122eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
124 1lt2 12416 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
125 ltadd1 11713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
12695, 82, 88, 125mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
127124, 126mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
12981, 98, 100, 123, 128lelttrd 11404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
130 fidomdm 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
13183, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
132 hashdom 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
13385, 83, 132syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
134131, 133mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
135 hashcl 14351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
13683, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
137136nn0red 12566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
138 leadd2 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
13982, 138mp3an3 1446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
14088, 137, 139syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
141134, 140mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
142141adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
143 prfi 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin
144 disjdif 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅
145 hashun 14377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
146143, 144, 145mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
14783, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
148147adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
149105fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
150149ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
151 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
152151, 109opth 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑧))
153152simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧)
154153necon3i 2962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑧 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩)
155 hashprg 14390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2))
156101, 102, 155mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
157154, 156sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑧 → (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
158157oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
159158ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
160148, 150, 1593eqtr3rd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
161142, 160breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (♯‘𝐹))
16281, 91, 94, 129, 161ltletrd 11406 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
16381, 162gtned 11381 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
164163ex 411 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
165164exlimdv 1928 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
166165exlimdvv 1929 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
16780, 166biimtrid 241 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
168167necon4bd 2949 . . . . 5 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
169168imp 405 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
170 dffun4 6565 . . . 4 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
17170, 169, 170sylanbrc 581 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Fun 𝐹)
172171ex 411 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Fun 𝐹))
1733, 172impbid2 225 1 (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636   class class class wbr 5149   × cxp 5676  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  cfv 6549  (class class class)co 7419  cdom 8962  Fincfn 8964  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280  cle 11281  2c2 12300  0cn0 12505  chash 14325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326
This theorem is referenced by:  hashres  14433  hashreshashfun  14434  hashfundm  14437  ccatalpha  14579  cycpmconjslem2  32968
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