Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumdifsndf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdifsndf 42991
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsndf.k 𝑘𝑌
gsumdifsndf.n 𝑘𝜑
gsumdifsndf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsndf.p + = (+g𝐺)
gsumdifsndf.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsndf.a (𝜑𝐴𝑊)
gsumdifsndf.f (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
gsumdifsndf.e ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumdifsndf.m (𝜑𝑀𝐴)
gsumdifsndf.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumdifsndf.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumdifsndf (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsndf
StepHypRef Expression
1 gsumdifsndf.n . . 3 𝑘𝜑
2 gsumdifsndf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2825 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 gsumdifsndf.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 gsumdifsndf.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 gsumdifsndf.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
7 gsumdifsndf.e . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
8 gsumdifsndf.f . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
9 difid 4178 . . . 4 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
10 gsumdifsndf.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐴)
1110snssd 4558 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
12 difin2 4119 . . . . 5 ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
149, 13syl5reqr 2876 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
15 difsnid 4559 . . . . 5 (𝑀𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1610, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1716eqcomd 2831 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17gsumsplit2f 42990 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
19 cmnmnd 18561 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
205, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
21 gsumdifsndf.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
22 gsumdifsndf.s . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
23 gsumdifsndf.k . . . 4 𝑘𝑌
242, 20, 10, 21, 22, 1, 23gsumsnfd 18704 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2524oveq2d 6921 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
2618, 25eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wnfc 2956  cdif 3795  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4144  {csn 4397   class class class wbr 4873  cmpt 4952  cfv 6123  (class class class)co 6905   finSupp cfsupp 8544  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  0gc0g 16453   Σg cgsu 16454  Mndcmnd 17647  CMndccmn 18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator