Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumdifsndf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdifsndf 48025
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsndf.k 𝑘𝑌
gsumdifsndf.n 𝑘𝜑
gsumdifsndf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsndf.p + = (+g𝐺)
gsumdifsndf.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsndf.a (𝜑𝐴𝑊)
gsumdifsndf.f (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
gsumdifsndf.e ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumdifsndf.m (𝜑𝑀𝐴)
gsumdifsndf.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumdifsndf.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumdifsndf (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsndf
StepHypRef Expression
1 gsumdifsndf.n . . 3 𝑘𝜑
2 gsumdifsndf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2735 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 gsumdifsndf.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 gsumdifsndf.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 gsumdifsndf.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
7 gsumdifsndf.e . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
8 gsumdifsndf.f . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
9 gsumdifsndf.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐴)
109snssd 4814 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
11 difin2 4307 . . . . 5 ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
13 difid 4382 . . . 4 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1412, 13eqtr3di 2790 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
15 difsnid 4815 . . . . 5 (𝑀𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
169, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1716eqcomd 2741 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17gsumsplit2f 48024 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
19 cmnmnd 19830 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
205, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
21 gsumdifsndf.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
22 gsumdifsndf.s . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
23 gsumdifsndf.k . . . 4 𝑘𝑌
242, 20, 9, 21, 22, 1, 23gsumsnfd 19984 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2524oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
2618, 25eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator