Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumdifsndf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumdifsndf 45331
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsndf.k 𝑘𝑌
gsumdifsndf.n 𝑘𝜑
gsumdifsndf.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsndf.p + = (+g𝐺)
gsumdifsndf.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsndf.a (𝜑𝐴𝑊)
gsumdifsndf.f (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
gsumdifsndf.e ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumdifsndf.m (𝜑𝑀𝐴)
gsumdifsndf.y (𝜑𝑌𝐵)
gsumdifsndf.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
gsumdifsndf (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsndf
StepHypRef Expression
1 gsumdifsndf.n . . 3 𝑘𝜑
2 gsumdifsndf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2738 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 gsumdifsndf.p . . 3 + = (+g𝐺)
5 gsumdifsndf.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 gsumdifsndf.a . . 3 (𝜑𝐴𝑊)
7 gsumdifsndf.e . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
8 gsumdifsndf.f . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp (0g𝐺))
9 gsumdifsndf.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐴)
109snssd 4743 . . . . 5 (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
11 difin2 4226 . . . . 5 ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
13 difid 4305 . . . 4 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1412, 13eqtr3di 2793 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
15 difsnid 4744 . . . . 5 (𝑀𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
169, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
1716eqcomd 2744 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17gsumsplit2f 45330 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
19 cmnmnd 19390 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
205, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
21 gsumdifsndf.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
22 gsumdifsndf.s . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
23 gsumdifsndf.k . . . 4 𝑘𝑌
242, 20, 9, 21, 22, 1, 23gsumsnfd 19540 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
2524oveq2d 7284 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
2618, 25eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wnf 1786  wcel 2106  wnfc 2887  cdif 3884  cun 3885  cin 3886  wss 3887  c0 4257  {csn 4562   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6427  (class class class)co 7268   finSupp cfsupp 9116  Basecbs 16900  +gcplusg 16950  0gc0g 17138   Σg cgsu 17139  Mndcmnd 18373  CMndccmn 19374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-hash 14033  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator