Theorem gsumdifsndf 48427

Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdifsndf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝑌
gsumdifsndf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumdifsndf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsndf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumdifsndf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsndf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
gsumdifsndf.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
gsumdifsndf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumdifsndf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumdifsndf.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumdifsndf.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumdifsndf	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsndf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdifsndf.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		gsumdifsndf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		gsumdifsndf.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		gsumdifsndf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		gsumdifsndf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
7		gsumdifsndf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		gsumdifsndf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
9		gsumdifsndf.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
10	9	snssd 4765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
11		difin2 4253	. . . . 5 ⊢ ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
13		difid 4328	. . . 4 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
14	12, 13	eqtr3di 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
15		difsnid 4766	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17	gsumsplit2f 48426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
19		cmnmnd 19726	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
20	5, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
21		gsumdifsndf.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		gsumdifsndf.s	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
23		gsumdifsndf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
24	2, 20, 9, 21, 22, 1, 23	gsumsnfd 19880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
25	24	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
26	18, 25	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  CMndccmn 19709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711

This theorem is referenced by: (None)