Theorem gsumdifsndf 45331

Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdifsndf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝑌
gsumdifsndf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumdifsndf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsndf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumdifsndf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsndf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
gsumdifsndf.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
gsumdifsndf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumdifsndf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumdifsndf.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumdifsndf.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumdifsndf	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsndf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdifsndf.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		gsumdifsndf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		gsumdifsndf.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		gsumdifsndf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		gsumdifsndf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
7		gsumdifsndf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		gsumdifsndf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
9		gsumdifsndf.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
10	9	snssd 4743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
11		difin2 4226	. . . . 5 ⊢ ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
13		difid 4305	. . . 4 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
14	12, 13	eqtr3di 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
15		difsnid 4744	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17	gsumsplit2f 45330	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
19		cmnmnd 19390	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
20	5, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
21		gsumdifsndf.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		gsumdifsndf.s	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
23		gsumdifsndf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
24	2, 20, 9, 21, 22, 1, 23	gsumsnfd 19540	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
25	24	oveq2d 7284	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
26	18, 25	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4257  {csn 4562   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268   finSupp cfsupp 9116  Basecbs 16900  +_gcplusg 16950  0_gc0g 17138   Σ_g cgsu 17139  Mndcmnd 18373  CMndccmn 19374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-hash 14033  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376

This theorem is referenced by: (None)