Theorem fprodfvdvdsd 15677

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodfvdvdsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fprodfvdvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fprodfvdvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodfvdvdsd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		diffi 8744	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5		fprodfvdvdsd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
6	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7		fprodfvdvdsd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ssdifssd 4119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
10	6, 9	ffvelrnd 6847	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
11	10	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
12	4, 11	fprodzcl 15302	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
13	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
14	7	sselda 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	ffvelrnd 6847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
16		dvdsmul2 15626	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
17	12, 15, 16	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
18	17	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
19		neldifsnd 4720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20		disjsn 4641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
21	19, 20	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22		difsnid 4737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
23	22	eqcomd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
24	23	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
25	13	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
26	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	sselda 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
28	25, 27	ffvelrnd 6847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12082	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	21, 24, 2, 29	fprodsplit 15314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)))
31		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	15	zcnd 12082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
33		fveq2 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
34	33	prodsn 15310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
35	31, 32, 34	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
36	35	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
37	30, 36	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
38	37	breq2d 5071	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
39	38	ralbidva 3196	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
40	18, 39	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4561   class class class wbr 5059  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ℂcc 10529   · cmul 10536  ℤcz 11975  ∏cprod 15253   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-prod 15254  df-dvds 15602

This theorem is referenced by:  fproddvdsd  15678  fmtnodvds  43699