Theorem fprodfvdvdsd 16428

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodfvdvdsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fprodfvdvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fprodfvdvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥, 𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodfvdvdsd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		diffi 9172	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5		fprodfvdvdsd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7		fprodfvdvdsd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ssdifssd 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
10	6, 9	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
11	10	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
12	4, 11	fprodzcl 16045	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
13	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
14	7	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
16		dvdsmul2 16372	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
17	12, 15, 16	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
18	17	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
19		neldifsnd 4759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20		disjsn 4675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22		difsnid 4774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
23	22	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
25	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
26	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
28	25, 27	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12729	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	21, 24, 2, 29	fprodsplit 16057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)))
31		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	15	zcnd 12729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
33		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
34	33	prodsn 16053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
35	31, 32, 34	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
36	35	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
37	30, 36	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
38	37	breq2d 5119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
39	38	ralbidva 3185	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
40	18, 39	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  ℂcc 11125   · cmul 11132  ℤcz 12618  ∏cprod 15994   ∥ cdvds 16346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-prod 15995  df-dvds 16347

This theorem is used by:  fproddvdsd  16429  aks4d1p9  42941  fmtnodvds  48434