Theorem fprodfvdvdsd 16368

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodfvdvdsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fprodfvdvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fprodfvdvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodfvdvdsd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		diffi 9214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5		fprodfvdvdsd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7		fprodfvdvdsd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ssdifssd 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
10	6, 9	ffvelcdmd 7105	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
11	10	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
12	4, 11	fprodzcl 15987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
13	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
14	7	sselda 3995	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
16		dvdsmul2 16313	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
17	12, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
18	17	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
19		neldifsnd 4798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20		disjsn 4716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22		difsnid 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
23	22	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
25	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
26	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	sselda 3995	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
28	25, 27	ffvelcdmd 7105	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12721	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	21, 24, 2, 29	fprodsplit 15999	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)))
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	15	zcnd 12721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
33		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
34	33	prodsn 15995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
35	31, 32, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
36	35	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
37	30, 36	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
38	37	breq2d 5160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
39	38	ralbidva 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
40	18, 39	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℂcc 11151   · cmul 11158  ℤcz 12611  ∏cprod 15936   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  fproddvdsd  16369  aks4d1p9  42070  fmtnodvds  47469