MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfvdvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfvdvdsd 16151
Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodfvdvdsd.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
fprodfvdvdsd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„€)
Assertion
Ref Expression
fprodfvdvdsd (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd
StepHypRef Expression
1 fprodfvdvdsd.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
21adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3 diffi 9057 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ∈ Fin)
5 fprodfvdvdsd.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„€)
65adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„€)
7 fprodfvdvdsd.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
87ssdifssd 4101 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐡)
98sselda 3943 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
106, 9ffvelcdmd 7031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
1110adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
124, 11fprodzcl 15772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
135adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„€)
147sselda 3943 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1513, 14ffvelcdmd 7031 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€)
16 dvdsmul2 16096 . . . 4 ((βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
1712, 15, 16syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
1817ralrimiva 3142 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
19 neldifsnd 4752 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
20 disjsn 4671 . . . . . . 7 (((𝐴 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
2119, 20sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) ∩ {π‘₯}) = βˆ…)
22 difsnid 4769 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}) = 𝐴)
2322eqcomd 2744 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝐴 = ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
2423adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 = ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βˆͺ {π‘₯}))
2513adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„€)
267adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
2726sselda 3943 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
2825, 27ffvelcdmd 7031 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„€)
2928zcnd 12541 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3021, 24, 2, 29fprodsplit 15784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) = (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· βˆπ‘˜ ∈ {π‘₯} (πΉβ€˜π‘˜)))
31 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3215zcnd 12541 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
33 fveq2 6838 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘₯))
3433prodsn 15780 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘˜ ∈ {π‘₯} (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘₯))
3531, 32, 34syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ {π‘₯} (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘₯))
3635oveq2d 7366 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· βˆπ‘˜ ∈ {π‘₯} (πΉβ€˜π‘˜)) = (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
3730, 36eqtrd 2778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) = (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
3837breq2d 5116 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
3938ralbidva 3171 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ (βˆπ‘˜ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})(πΉβ€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
4018, 39mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063   βˆ– cdif 3906   βˆͺ cun 3907   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  {csn 4585   class class class wbr 5104  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  Fincfn 8817  β„‚cc 10983   Β· cmul 10990  β„€cz 12433  βˆcprod 15723   βˆ₯ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-prod 15724  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  fproddvdsd  16152  aks4d1p9  40431  fmtnodvds  45436
  Copyright terms: Public domain W3C validator