Theorem fprodfvdvdsd 16303

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodfvdvdsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
fprodfvdvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fprodfvdvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodfvdvdsd.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		diffi 9109	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5		fprodfvdvdsd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7		fprodfvdvdsd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8	7	ssdifssd 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
9	8	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
10	6, 9	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
11	10	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
12	4, 11	fprodzcl 15919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
13	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
14	7	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ)
16		dvdsmul2 16247	. . . 4 ⊢ ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
17	12, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
18	17	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
19		neldifsnd 4738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20		disjsn 4655	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
21	19, 20	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22		difsnid 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
23	22	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
25	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
26	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	26	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐵)
28	25, 27	ffvelcdmd 7037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	21, 24, 2, 29	fprodsplit 15931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)))
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32	15	zcnd 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
33		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
34	33	prodsn 15927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
35	31, 32, 34	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
36	35	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹‘𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
37	30, 36	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥)))
38	37	breq2d 5097	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
39	38	ralbidva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹‘𝑘) · (𝐹‘𝑥))))
40	18, 39	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036   · cmul 11043  ℤcz 12524  ∏cprod 15868   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  fproddvdsd  16304  aks4d1p9  42527  fmtnodvds  48007