MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfvdvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfvdvdsd 16372
Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodfvdvdsd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b (𝜑𝐴𝐵)
fprodfvdvdsd.f (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
Assertion
Ref Expression
fprodfvdvdsd (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd
StepHypRef Expression
1 fprodfvdvdsd.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 diffi 9216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5 fprodfvdvdsd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7 fprodfvdvdsd.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
87ssdifssd 4146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
98sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘𝐵)
106, 9ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1110adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
124, 11fprodzcl 15991 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
135adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
147sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1513, 14ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
16 dvdsmul2 16317 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1712, 15, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1817ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
19 neldifsnd 4792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20 disjsn 4710 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
2119, 20sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22 difsnid 4809 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
2322eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2513adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
267adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
2726sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
2825, 27ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
2928zcnd 12725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3021, 24, 2, 29fprodsplit 16003 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)))
31 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3215zcnd 12725 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
33 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3433prodsn 15999 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3531, 32, 34syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3635oveq2d 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3730, 36eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3837breq2d 5154 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
3938ralbidva 3175 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
4018, 39mpbird 257 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154   · cmul 11161  cz 12615  cprod 15940  cdvds 16291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941  df-dvds 16292
This theorem is referenced by:  fproddvdsd  16373  aks4d1p9  42090  fmtnodvds  47536
  Copyright terms: Public domain W3C validator