Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfvdvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfvdvdsd 15695
 Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodfvdvdsd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b (𝜑𝐴𝐵)
fprodfvdvdsd.f (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
Assertion
Ref Expression
fprodfvdvdsd (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd
StepHypRef Expression
1 fprodfvdvdsd.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 diffi 8752 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5 fprodfvdvdsd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
65adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7 fprodfvdvdsd.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
87ssdifssd 4073 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
98sselda 3917 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘𝐵)
106, 9ffvelrnd 6839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1110adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
124, 11fprodzcl 15320 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
135adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
147sselda 3917 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1513, 14ffvelrnd 6839 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
16 dvdsmul2 15644 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1712, 15, 16syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1817ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
19 neldifsnd 4689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20 disjsn 4610 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
2119, 20sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22 difsnid 4706 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
2322eqcomd 2804 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2423adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2513adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
267adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
2726sselda 3917 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
2825, 27ffvelrnd 6839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
2928zcnd 12096 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3021, 24, 2, 29fprodsplit 15332 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)))
31 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3215zcnd 12096 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
33 fveq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3433prodsn 15328 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3531, 32, 34syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3635oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3730, 36eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3837breq2d 5046 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
3938ralbidva 3161 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
4018, 39mpbird 260 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  {csn 4528   class class class wbr 5034  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Fincfn 8510  ℂcc 10542   · cmul 10549  ℤcz 11989  ∏cprod 15271   ∥ cdvds 15619 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-prod 15272  df-dvds 15620 This theorem is referenced by:  fproddvdsd  15696  fmtnodvds  44229
 Copyright terms: Public domain W3C validator