MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volun 25061
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volun (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)))

Proof of Theorem volun
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 mblss 25047 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
5 mblss 25047 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
73, 6unssd 4186 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
8 readdcl 11192 . . . . . . . 8 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
10 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
11 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
12 ovolun 25015 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
133, 10, 6, 11, 12syl22anc 837 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
14 ovollecl 24999 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
157, 9, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
16 mblsplit 25048 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))))
171, 7, 15, 16syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))))
18 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) = ∅)
19 indir 4275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
20 inidm 4218 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐴) = 𝐴
21 incom 4201 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
2220, 21uneq12i 4161 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴 ∪ (𝐴𝐵))
23 unabs 4254 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
2422, 23eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐴
2519, 24eqtri 2760 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴)
2726fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → (vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) = (vol*‘𝐴))
28 uncom 4153 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
2928difeq1i 4118 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = ((𝐵𝐴) ∖ 𝐴)
30 difun2 4480 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) ∖ 𝐴) = (𝐵𝐴)
3129, 30eqtri 2760 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = (𝐵𝐴)
3221eqeq1i 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝐵) = ∅)
33 disj3 4453 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵𝐴))
3432, 33sylbb1 236 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) = ∅ → 𝐵 = (𝐵𝐴))
3531, 34eqtr4id 2791 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = 𝐵)
3635fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴)) = (vol*‘𝐵))
3727, 36oveq12d 7426 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
3818, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
3917, 38eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
4039ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
41 mblvol 25046 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4241eleq1d 2818 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
43 mblvol 25046 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
4443eleq1d 2818 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom vol → ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
4542, 44bi2anan9 637 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
46453adant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
47 unmbl 25053 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
48 mblvol 25046 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
4947, 48syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
5041, 43oveqan12d 7427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
5149, 50eqeq12d 2748 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) ↔ (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
52513adant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) ↔ (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
5340, 46, 523imtr4d 293 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵))))
5453imp 407 1 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  cfv 6543  (class class class)co 7408  cr 11108   + caddc 11112  cle 11248  vol*covol 24978  volcvol 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-ovol 24980  df-vol 24981
This theorem is referenced by:  volinun  25062  volfiniun  25063  volsup  25072  ovolioo  25084  ismblfin  36524  volioc  44678  volico  44689
  Copyright terms: Public domain W3C validator