MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volun 25594
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volun (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)))

Proof of Theorem volun
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 mblss 25580 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
5 mblss 25580 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
73, 6unssd 4202 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
8 readdcl 11236 . . . . . . . 8 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
10 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
11 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
12 ovolun 25548 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
133, 10, 6, 11, 12syl22anc 839 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
14 ovollecl 25532 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
157, 9, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
16 mblsplit 25581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))))
171, 7, 15, 16syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))))
18 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) = ∅)
19 indir 4292 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
20 inidm 4235 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐴) = 𝐴
21 incom 4217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
2220, 21uneq12i 4176 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴 ∪ (𝐴𝐵))
23 unabs 4271 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
2422, 23eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐴
2519, 24eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴)
2726fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → (vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) = (vol*‘𝐴))
28 uncom 4168 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
2928difeq1i 4132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = ((𝐵𝐴) ∖ 𝐴)
30 difun2 4487 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) ∖ 𝐴) = (𝐵𝐴)
3129, 30eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = (𝐵𝐴)
3221eqeq1i 2740 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝐵) = ∅)
33 disj3 4460 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵𝐴))
3432, 33sylbb1 237 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) = ∅ → 𝐵 = (𝐵𝐴))
3531, 34eqtr4id 2794 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = 𝐵)
3635fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴)) = (vol*‘𝐵))
3727, 36oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
3818, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
3917, 38eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
4039ex 412 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
41 mblvol 25579 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4241eleq1d 2824 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
43 mblvol 25579 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
4443eleq1d 2824 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom vol → ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
4542, 44bi2anan9 638 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
46453adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
47 unmbl 25586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
48 mblvol 25579 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
4947, 48syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
5041, 43oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
5149, 50eqeq12d 2751 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) ↔ (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
52513adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) ↔ (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
5340, 46, 523imtr4d 294 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵))))
5453imp 406 1 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156  cle 11294  vol*covol 25511  volcvol 25512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-ovol 25513  df-vol 25514
This theorem is referenced by:  volinun  25595  volfiniun  25596  volsup  25605  ovolioo  25617  ismblfin  37648  volioc  45928  volico  45939
  Copyright terms: Public domain W3C validator