MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volun 25062
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volun (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)))

Proof of Theorem volun
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 mblss 25048 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ dom vol)
5 mblss 25048 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom vol → 𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
73, 6unssd 4187 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
8 readdcl 11193 . . . . . . . 8 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
98adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
10 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
11 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)
12 ovolun 25016 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
133, 10, 6, 11, 12syl22anc 838 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
14 ovollecl 25000 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
157, 9, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
16 mblsplit 25049 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))))
171, 7, 15, 16syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))))
18 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) = ∅)
19 indir 4276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
20 inidm 4219 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐴) = 𝐴
21 incom 4202 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴) = (𝐴𝐵)
2220, 21uneq12i 4162 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴 ∪ (𝐴𝐵))
23 unabs 4255 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
2422, 23eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐴
2519, 24eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐴) = 𝐴)
2726fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → (vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) = (vol*‘𝐴))
28 uncom 4154 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
2928difeq1i 4119 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = ((𝐵𝐴) ∖ 𝐴)
30 difun2 4481 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) ∖ 𝐴) = (𝐵𝐴)
3129, 30eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = (𝐵𝐴)
3221eqeq1i 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝐵) = ∅)
33 disj3 4454 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵𝐴))
3432, 33sylbb1 236 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) = ∅ → 𝐵 = (𝐵𝐴))
3531, 34eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴𝐵) ∖ 𝐴) = 𝐵)
3635fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) = ∅ → (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴)) = (vol*‘𝐵))
3727, 36oveq12d 7427 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
3818, 37syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘((𝐴𝐵) ∩ 𝐴)) + (vol*‘((𝐴𝐵) ∖ 𝐴))) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
3917, 38eqtrd 2773 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
4039ex 414 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
41 mblvol 25047 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4241eleq1d 2819 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
43 mblvol 25047 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom vol → (vol‘𝐵) = (vol*‘𝐵))
4443eleq1d 2819 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom vol → ((vol‘𝐵) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
4542, 44bi2anan9 638 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
46453adant3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)))
47 unmbl 25054 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴𝐵) ∈ dom vol)
48 mblvol 25047 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
4947, 48syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (vol‘(𝐴𝐵)) = (vol*‘(𝐴𝐵)))
5041, 43oveqan12d 7428 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
5149, 50eqeq12d 2749 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → ((vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) ↔ (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
52513adant3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)) ↔ (vol*‘(𝐴𝐵)) = ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵))))
5340, 46, 523imtr4d 294 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵))))
5453imp 408 1 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol ∧ (𝐴𝐵) = ∅) ∧ ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol‘(𝐴𝐵)) = ((vol‘𝐴) + (vol‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109   + caddc 11113  cle 11249  vol*covol 24979  volcvol 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by:  volinun  25063  volfiniun  25064  volsup  25073  ovolioo  25085  ismblfin  36529  volioc  44688  volico  44699
  Copyright terms: Public domain W3C validator